(i) Không gian lồi địa phương $\mathscr{K}(X; E)$ là Hausdorff. Với mọi tập con compact $K$ của $X$, tôpô trên $\mathscr{K}(X, K; E)$ cảm sinh bởi tôpô của $\mathscr{K}(X; E)$ là tôpô hội tụ đều trên $K$, và mỗi không gian con $\mathscr{K}(X, K; E)$ đều đóng trong $\mathscr{K}(X; E)$.

(ii) Nếu $E$ là tích của một số hữu hạn các không gian lồi địa phương $E_i$ ($1 \leq i \leq n$), thì ánh xạ $f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)$ là một đẳng cấu của không gian $\mathscr{K}(X; E)$ lên không gian tích $\prod_{1 \leq i \leq n} \mathscr{K}(X; E_i)$.

(iii) Nếu $X$ là tổng của một họ $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ các không gian compact địa phương, thì ánh xạ $f \mapsto (f|X_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một đẳng cấu của không gian $\mathscr{K}(X; E)$ lên không gian tổng trực tiếp tôpô của họ $(\mathscr{K}(X_\lambda; E))_{\lambda \in L}$.

(i) Chú ý rằng, trên $\mathscr{K}(X; E)$, tôpô hội tụ đều trên $X$ là tương thích với cấu trúc không gian vectơ của $\mathscr{K}(X; E)$ bởi vì, với mọi $f \in \mathscr{K}(X; E)$, có giá compact là $S$, tập $f(X) = f(S) \cup \{0\}$ là compact, do đó bị chặn trong $E$ (TVS, III, §3, No. 1, Prop. 1). Vì tôpô này $\mathscr{T}_0$ là lồi địa phương và cảm sinh trên mỗi $\mathscr{K}(X, K; E)$ tôpô hội tụ đều trên $K$, nên điều đó cũng đúng đối với tôpô giới hạn trực tiếp $\mathscr{T}$ trên $\mathscr{K}(X; E)$ (TVS, II, §4, No. 4, Nhận xét); hơn nữa, $\mathscr{T}$ mịn hơn $\mathscr{T}_0$ và $\mathscr{T}_0$ là Hausdorff, vì vậy $\mathscr{T}$ là Hausdorff. Sau cùng, giả sử rằng một hàm $f \in \mathscr{K}(X; E)$ thuộc bao đóng của $\mathscr{K}(X, K; E)$; theo các định nghĩa, tồn tại một tập con compact $K' \supset K$ của $X$ sao cho $f \in \mathscr{K}(X, K'; E)$. Theo điều vừa nói trên, $f$ thuộc bao đóng của $\mathscr{K}(X, K; E)$ trong không gian $\mathscr{K}(X, K'; E)$, do đó thuộc $\mathscr{K}(X, K; E)$.

(ii) Tiêu chuẩn về tính liên tục trong một giới hạn trực tiếp (TVS, II, §4, No. 4, Prop. 5) cho thấy ngay rằng ánh xạ $f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)$ là liên tục và điều tương tự cũng đúng với ánh xạ nghịch đảo (đối với ánh xạ sau, chỉ cần chú ý rằng nếu, với mọi hàm $f_i \in \mathscr{K}(X; E_i)$, ta ký hiệu bởi $f'_i$ ánh xạ

² Limite quy nạp, được dịch là "giới hạn trực tiếp" trong S, A và GT.

từ X vào E sao cho $\mathrm{pr}_i \circ f'_i = f_i$ và $\mathrm{pr}_j \circ f'_i = 0$ với $j \neq i$, thì mỗi ánh xạ $f_i \mapsto f'_i$ đều liên tục).

(iii) Mỗi tập compact K của X chỉ cắt các $X_\lambda$ của một họ con hữu hạn $(X_\lambda)_{\lambda \in H}$ của $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$, và ngay lập tức thấy rằng nếu đặt $K_\lambda = K \cap X_\lambda$ với $\lambda \in H$, thì ánh xạ $f \mapsto (f|X_\lambda)_{\lambda \in H}$ là một đẳng cấu từ $\mathscr{K}(X, K; E)$ lên $\prod_{\lambda \in H} \mathscr{K}(X_\lambda, K_\lambda; E)$. Ngược lại, với mọi hàm $f_\lambda \in \mathscr{K}(X_\lambda; E)$, gọi $f''_\lambda$ là ánh xạ từ X vào E sao cho $f''_\lambda|X_\lambda = f_\lambda$ và $f''_\lambda|X_\mu = 0$ nếu $\mu \neq \lambda$; ngay lập tức thấy rằng ánh xạ $f_\lambda \mapsto f''_\lambda$ từ $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$ vào $\mathscr{K}(X; E)$ là liên tục. Mệnh đề (iii) suy ra từ các nhận xét này và tiêu chuẩn về tính liên tục trong các giới hạn trực tiếp (TVS, II, §4, No. 4, Prop. 5).

(i) Nếu E là một không gian Fréchet, thì không gian $\mathscr{K}(X; E)$ là tròn.

(ii) Nếu X là paracompact thì, với mọi tập bị chặn B trong $\mathscr{K}(X; E)$, tồn tại một tập compact K của X sao cho $B \subset \mathscr{K}(X, K; E)$.

Giả sử E là một không gian Fréchet. Khi đó, với mọi tập compact K của X, $\mathscr{K}(X, K; E)$ là một không gian Fréchet, nên là tròn, và ta biết rằng giới hạn trực tiếp của các không gian tròn là tròn (TVS, III, §4, No. 1, Cor. 3 of Prop. 3), do đó suy ra (i).

Nếu X là paracompact, ta biết (GT, I, §9, No. 10, Th. 5) rằng X là tổng của một họ $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ các không gian địa phương compact và đếm được ở vô cùng; do đó (Prop. 1, (iii)), $\mathscr{K}(X; E)$ là tổng trực tiếp tôpô của họ các không gian con $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$ ($\lambda \in L$). Theo đặc trưng hóa của các tập bị chặn trong một tổng trực tiếp tôpô (TVS, III, §1, No. 4, Prop. 5), mọi tập bị chặn trong $\mathscr{K}(X; E)$ đều được chứa trong tổng của một số hữu hạn các không gian con $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$, và chỉ cần chứng minh rằng mọi tập bị chặn trong $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$ đều được chứa trong một không gian con $\mathscr{K}(X_\lambda, K_\lambda; E)$, với $K_\lambda$ compact trong $X_\lambda$. Như vậy ta được quy về trường hợp X đếm được ở vô cùng, nói cách khác là hợp của một dãy các tập mở tương đối compact $U_n$ sao cho $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ (GT, I, §9, No. 9, Prop. 15). Nhưng khi đó $\mathscr{K}(X; E)$ là giới hạn trực tiếp ngặt của dãy các không gian $\mathscr{K}(X, \overline{U}_n; E)$, do đó suy ra mệnh đề (ii) (TVS, III, §1, No. 4, Prop. 6).

Ta sẽ nói rằng một tập con H của $\mathscr{K}(X; E)$ là compact ngặt nếu nó compact và nếu tồn tại một tập compact K của X sao cho $H \subset \mathscr{K}(X, K; E)$. Suy ra ngay từ Mệnh đề 2 rằng nếu X là một không gian địa phương compact paracompact và nếu E là Hausdorff, thì mọi tập compact trong $\mathscr{K}(X; E)$ đều là compact ngặt. Có thể cho các ví dụ về những không gian địa phương compact

3 Dénombrable à l'infini, cũng được dịch là "σ-compact" (GT, I, §9, No. 9, Def. 5).

$X$ (không paracompact) sao cho tồn tại những tập trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ compact nhưng không compact ngặt (Bài tập 3 và 4).

Ta nhắc lại rằng, theo định lý Ascoli (GT, X, §2, No. 5, Cor. 3 of Th. 2), một tập con compact ngặt $H$ của $\mathscr{K}(X; E)$ được chứa trong $\mathscr{K}(X, K; E)$ được đặc trưng bởi các điều kiện sau đây: $1^\circ$ nó đóng; $2^\circ$ nó đồng liên tục; $3^\circ$ với mọi $x \in K$, tập $H(x)$ là tương đối compact trong $E$.

Chỉ cần, theo Mệnh đề 2, (ii), chú ý rằng với mọi tập compact $K$ của $X$, $\mathscr{K}(X, K; E)$ là một không gian con đóng của $C(K; E)$, mà không gian này là quasi-đầy đủ vì mọi tập con bị chặn của $C(K; E)$ đều gồm những hàm nhận giá trị trong cùng một tập con bị chặn của $E$.

Thật vậy, gọi $X'$ là không gian compact thu được bằng cách thêm vào $X$ một điểm ở vô cực $\omega$ (GT, I, §9, No. 8, Đl. 4); các tập hợp $V_0 = X' - K$ và $V_k$ ($1 \leq k \leq n$) tạo thành một phủ mở của $X'$. Gọi $(f_k)_{0 \leq k \leq n}$ là một phân hoạch đơn vị liên tục phụ thuộc phủ này của $X'$ (GT, IX, §4, No. 3, Mệnh đề 3); các hàm $f_k$ với chỉ số $k \geq 1$ thỏa mãn các điều kiện của bổ đề.

Với mọi $y$ thuộc biên của $K$, ta có $f(y) = 0$ với mọi $f \in \Phi$, do đó tồn tại một lân cận mở $V_y$ của $y$ trong $X$ sao cho, với mọi $z \in V_y$ và mọi $f \in \Phi$, ta có $q(f(z)) \leq \varepsilon/2$. Gọi $K'$ là tập hợp các điểm của $K$ không thuộc bất kỳ $V_y$ nào khi $y$ chạy trên biên của $K$; $K'$ là compact và được chứa trong phần trong của $K$. Tập hợp $\Phi$ là liên tục đều đồng bậc trong $K$; do đó, tồn tại một phủ mở hữu hạn $(U_j)_{1 \leq j \leq n}$ của $K'$ gồm các tập mở trong $X$ được chứa trong $K$, sao cho với mọi cặp điểm $x, y$ của cùng một $U_j$, ta có $q(f(x) - f(y)) \leq \varepsilon/2$ với mọi $f \in \Phi$. Theo Bổ đề 1, tồn tại $n$ ánh xạ liên tục $\varphi_j$ từ $X$ vào $[0, 1]$ ($1 \leq j \leq n$) sao cho $\operatorname{Supp}(\varphi_j) \subset U_j$ và sao cho

Với $x_j \in \operatorname{Supp}(\varphi_j)$ ($1 \leq j \leq n$) và $f \in \Phi$, do đó ta có, với mọi $x \in U_j$, và quan hệ này vẫn đúng nếu $x \notin U_j$ vì khi đó $\varphi_j(x) = 0$. Bằng phép cộng ta suy ra rằng, với mọi $x \in X$, trong đó $\varphi_0 = 1 - \sum_{j=1}^n \varphi_j$; do đó suy ra (1) với $x \in K'$, vì khi đó $\varphi_0(x) = 0$; (1) cũng đúng với $x \notin K$, khi đó số hạng thứ nhất bằng không. Cuối cùng, với $x \in K - K'$ ta có $q(f(x)\varphi_0(x)) \leq \varepsilon/2$ theo định nghĩa của $K'$, do đó quan hệ này và (2) lại suy ra (1) trong trường hợp này.

Cho $X$ là một không gian compact địa phương; với mỗi không gian Banach $E$ (thực hoặc phức) ta ký hiệu bởi $\mathscr{C}^b(X; E)$ không gian vectơ của các ánh xạ liên tục và bị chặn từ $X$ vào $E$; ta biết rằng tôpô hội tụ đều trong $X$ là tương thích với cấu trúc không gian vectơ (thực, tương ứng phức) của $\mathscr{C}^b(X; E)$, và nó được xác định bởi chuẩn

Hơn nữa, không gian định chuẩn được xác định như vậy là một không gian Banach (GT, X, §3, No. 2, và No. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2); tôpô được xác định bởi chuẩn này trên $\mathscr{K}(X; E)$ (nói cách khác, tôpô hội tụ đều trong $X$) thô hơn tôpô giới hạn trực tiếp trên $\mathscr{K}(X; E)$ được xác định trong No. 1.

Định lý 4), và E là một không gian Banach. Bao đóng của $\mathscr{K}(X;E)$ trong không gian định chuẩn $C^b(X;E)$ là không gian vectơ của các hàm liên tục trên X, nhận giá trị trong E và dần tới 0 tại điểm $\omega$.

Cho $f \in C^b(X;E)$ là một hàm thuộc bao đóng của $\mathscr{K}(X;E)$; với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một hàm $g \in \mathscr{K}(X;E)$ sao cho $\|f(x) - g(x)\| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in X$; nếu K là giá của g, thì suy ra rằng $\|f(x)\| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in \mathbf{C}K$, do đó $f(x)$ dần tới 0 khi $x$ dần tới $\omega$. Ngược lại, nếu f có tính chất này thì, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K \subset X$ sao cho $\|f(x)\| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in \mathbf{C}K$. Theo Bổ đề 1 tồn tại một ánh xạ liên tục h từ X vào $[0,1]$, có giá compact, bằng 1 trên K; khi đó $\|f(x)h(x)\| \leq \varepsilon$ trên $\mathbf{C}K$ và $f(x) = f(x)h(x)$ trên K; vì $fh$ có giá compact và $\|f(x) - f(x)h(x)\| \leq 2\varepsilon$ với mọi $x \in X$, mệnh đề được chứng minh.

Ta sẽ ký hiệu bởi $C^0(X;E)$ không gian con của $C^b(X;E)$ tạo bởi các hàm dần tới không tại điểm ở vô cực $\omega$; do đó nó là phần bù của không gian định chuẩn $\mathscr{K}(X;E)$.

Với mỗi tập compact $K \subset X$, tồn tại một hàm $h \in \mathscr{K}(X;\mathbf{R})$ bằng 1 trên K, theo Bổ đề 1; với mỗi hàm $f \in C(X;E)$ hàm $hf$, thuộc $\mathscr{K}(X;E)$, bằng f trên K, do đó có mệnh đề của ta.

Vì khẳng định thứ hai là một hệ quả hiển nhiên của khẳng định thứ nhất, chỉ cần chứng minh khẳng định sau. Ta áp dụng Bổ đề 2 với $\Phi$ thu gọn về một phần tử duy nhất $f$ của $\mathscr{K}(X,K;E)$; khi đó, với mọi $x \in X$,

trong đó các $\varphi_j$ thuộc $\mathscr{K}(X,K;\mathbf{R})$; vì ánh xạ $x \mapsto \sum_{j=1}^n \varphi_j(x)f(x_j)$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc với phần tử $\sum_{j=1}^n \varphi_j \otimes f(x_j)$, điều này chứng minh mệnh đề, theo định nghĩa của tôpô của $\mathscr{K}(X,K;E)$.

đối với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X, K_\alpha; \mathbf{C})$.

Điều kiện này hiển nhiên là cần, chỉ cần chứng minh rằng (5) kéo theo (4) đối với mọi tập con compact $K$ của $X$. Bây giờ, $K$ được phủ bởi một số hữu hạn các tập mở $\overset{\circ}{K}_{\alpha_i}$ ($1 \leq i \leq n$); áp dụng Bổ đề 1 của No. 2 cho $K$ và cho các $\overset{\circ}{K}_{\alpha_i}$, tồn tại các hàm liên tục $g_i \geq 0$ trên $X$ sao cho $\operatorname{Supp}(g_i) \subset K_{\alpha_i}$, $0 \leq \sum_{i=1}^n g_i(x) \leq 1$ với mọi $x \in X$ và $\sum_{i=1}^n g_i(x) = 1$ với $x \in K$. Với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$, do đó ta có thể viết $f = \sum_{i=1}^n f g_i$ và ta có $f g_i \in \mathscr{K}(X, K_{\alpha_i}; \mathbf{C})$ và $\| f g_i \| \leq \| f \|$; nếu $M_K = \sum_{i=1}^n M_{\alpha_i}$, khi đó ta có quan hệ (4).

Ta ký hiệu bởi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, hoặc đơn giản là $\mathscr{M}(X)$ nếu không thể gây nhầm lẫn, không gian vectơ các độ đo trên $X$, nói cách khác, đối ngẫu của $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$.

Ta biết rằng với mọi tập hợp $\mathscr{S}$ các tập con bị chặn của $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$, có xác định trên $\mathscr{M}(X;\mathbf{C})$ tôpô $\mathscr{S}$, tôpô này lồi địa phương (TVS, III, §3, No. 1, Hệ quả của Mệnh đề 1). Ta ký hiệu không gian vectơ tôpô thu được bằng cách trang bị cho $\mathscr{M}(X;\mathbf{C})$ tôpô $\mathscr{S}$ bởi $\mathscr{M}_{\mathscr{S}}(X;\mathbf{C})$ hoặc $\mathscr{M}_{\mathscr{S}}(X)$.

Điều này suy ra từ việc $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$ là thùng (TVS, III, §4, No. 2, Hệ quả 4 của Định lý 1).

Các ví dụ về độ đo. — I. Các độ đo nguyên tử. Cho X là một không gian compact địa phương, $a$ là một điểm của X; ánh xạ $f\mapsto f(a)$ từ $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$ vào $\mathbf{C}$ hiển nhiên thỏa mãn điều kiện (4) với $M_K=1$ đối với mọi tập con compact K của X chứa $a$, do đó là một độ đo trên X, được ký hiệu bởi $\varepsilon_a$; nó được gọi là độ đo Dirac tại điểm $a$, hoặc độ đo được xác định bởi một khối lượng đơn vị đặt tại điểm $a$.

Tổng quát hơn, cho $\alpha$ là một ánh xạ từ X vào $\mathbf{C}$ sao cho, với mọi tập con compact K của X,

Khi đó, với mọi hàm $f\in\mathscr{K}(X,K;\mathbf{C})$, tổng được xác định, vì nó bằng rõ ràng $\mu$ là một dạng tuyến tính trên $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$ và, với $f\in\mathscr{K}(X,K;\mathbf{C})$, nói cách khác điều kiện (4) được thỏa mãn.

Một độ đo $\mu$ trên X được gọi là nguyên tử nếu tồn tại một ánh xạ $\alpha$ từ X vào $\mathbf{C}$ sao cho

đối với mọi tập con compact K của X, và sao cho $\mu$ bằng độ đo được xác định như trên. Nếu N là tập hợp các $x\in X$ sao cho $\alpha(x)\neq0$, điều kiện đặt lên $\alpha$ kéo theo rằng với mọi tập con compact K của X, $K\cap N$ là đếm được. Người ta cũng nói rằng $\mu$ được xác định bởi các khối lượng $\alpha(x)$ đặt tại các điểm $x\in N$. Nếu giả sử rằng $N\cap K$ là hữu hạn đối với mọi tập compact $K\subset X$, thì hiển nhiên điều đó tương đương với việc nói rằng N là một không gian con đóng và rời rạc của X, vì khi đó mọi điểm của X đều có một lân cận compact chỉ chứa một số hữu hạn điểm của N, và ngược lại, nếu điều này đúng, thì mọi tập con compact của X có thể được phủ bởi một số hữu hạn lân cận như thế. Khi N đóng và rời rạc, mọi độ đo nguyên tử được xác định bởi một hàm $\alpha$ sao cho $\alpha(x)=0$ trên $\mathbf C N$ được gọi là một độ đo rời rạc trên X (xem §2, No. 5).

Vì, cho $\mu$ là một dạng tuyến tính dương trên $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ và cho $K$ là một tập con compắc của $X$. Tồn tại một ánh xạ liên tục $f_0$ từ $X$ vào $[0, 1]$, có giá compact, sao cho $f_0(x) = 1$ trên $K$ (No. 2, Bổ đề 1). Với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{R})$, do đó ta có $-\|g\|f_0 \leq g \leq \|g\|f_0$, do đó $|\mu(g)| \leq \|g\| \cdot \mu(f_0)$, điều này chứng minh định lý.

Ta ký hiệu bởi $\mathscr{M}_+(X)$ nón lồi nhọn của các độ đo dương trên $X$ (hay, điều quy về cùng một điều, nón các dạng tuyến tính dương trên không gian Riesz $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$).