Thật vậy, nếu hạn chế của $\mu$ trên một tập mở $U$ là không, thì hạn chế của $|\mu|$ cũng vậy (tương ứng của $\mu^+$ và $\mu^-$ khi $\mu$ là thực), và ngược lại.

Chú ý rằng các giá của $\mu^+$ và $\mu^-$ có thể khác rỗng và trùng nhau (xem Ch. V, § 5, Exer. 5).

Thật vậy, nếu hạn chế của $\nu$ trên một tập mở bằng không, thì hạn chế của $\mu$ cũng vậy.

Thật vậy, nếu các hạn chế của hai độ đo trên một tập mở đều bằng không, thì điều tương tự cũng đúng với hạn chế của tổng của chúng.

Nếu $\mu$ và $\nu$ là hai độ đo dương, thì giá của $\lambda = \mu + \nu$ là bằng hợp của các giá của $\mu$ và $\nu$; thật vậy, nếu $x_0$ là một điểm của hợp ấy và $V$ là một lân cận bất kỳ của $x_0$, thì tồn tại một hàm liên tục $f \geq 0$ có giá được chứa trong $V$ và sao cho một trong hai số $\mu(f)$, $\nu(f)$ là $> 0$; a fortiori, $\lambda(f) = \mu(f) + \nu(f) > 0$.

Mệnh đề là hiển nhiên từ các định nghĩa.

Thật vậy, đó là giao của các siêu phẳng đóng theo tôpô mờ có phương trình $\mu(f) = 0$, trong đó $f$ chạy qua tập hợp các hàm trong $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ mà giá của chúng không giao với $F$.

Giả sử $X$ không compact: với một bộ lọc $\Phi$ trên không gian $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ các độ đo trên $X$, ta sẽ nói rằng giá của một độ đo $\mu$ lùi ra vô hạn dọc theo $\Phi$ nếu, với mọi tập con compact $K$ của $X$, tồn tại một tập $M \in \Phi$ sao cho $\mathrm{Supp}(\mu) \cap K = \varnothing$ đối với mọi độ đo $\mu \in M$.

Cho $f$ là một hàm bất kỳ trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ và $K$ là giá của nó. Theo giả thiết, tồn tại một tập hợp $M \in \Phi$ sao cho với mọi độ đo $\mu \in M$, $\operatorname{Supp}(\mu) \cap K = \varnothing$; suy ra $\mu(f) = 0$ với mọi $\mu \in M$, điều này chứng minh mệnh đề.

Đặt $K = \operatorname{Supp}(f)$, $S = \operatorname{Supp}(\mu)$. Cho một số $\varepsilon > 0$, gọi $V$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $|f(x)| < \varepsilon$; $V$ là một tập mở chứa $S$ theo giả thiết, do đó $CS$ là một lân cận của tập compact $CV$. Suy ra tồn tại một ánh xạ liên tục $h$ từ $X$ vào $[0, 1]$, bằng 1 trên $CV$ và có giá được chứa trong $CS$ (§ 1, No. 2, Bổ đề 1). Vì giá của $fh$ không giao với $S$ nên $\mu(fh) = 0$. Mặt khác, $f = fh$ trên $K \cap CV$, và $|fh| \leq |f|$ trên $X$, do đó $|f - fh| \leq 2\varepsilon$ trên $X$, bởi lựa chọn $V$. Cuối cùng, nhận thấy rằng tồn tại một số $M_K$ sao cho $|\mu(g)| \leq M_K \|g\|$ với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ mà giá của nó được chứa trong $K$; vì giá của $f - fh$ được chứa trong $K$, nên $|\mu(f - fh)| \leq 2M_K \varepsilon$ và do đó $|\mu(f)| = |\mu(f - fh)| \leq 2M_K \varepsilon$; vì $\varepsilon$ là tùy ý, $\mu(f) = 0$.

Quả vậy, $f = |f|$ trên $\operatorname{Supp}(\mu)$, do đó $\mu(f) = \mu(|f|) \geq 0$ theo Hệ quả 1.

Thật vậy, $\operatorname{Supp}(|\mu|) = \operatorname{Supp}(\mu)$, và nếu $h$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $[0, 1]$, bằng 1 trên $\operatorname{Supp}(f)$ và có giá compact, thì $|f(x)| \leq ah(x)$ trên $\operatorname{Supp}(\mu)$, do đó

theo Hệ quả 2; khi đó kết luận suy ra từ công thức (13) của § 1, No. 6.

Cho $x$ là một điểm của $X$ sao cho $f(x) > 0$; hãy chỉ ra rằng $x$ không thuộc $\mathrm{Supp}(\mu)$. Thật vậy, tồn tại một lân cận compắc $V$ của $x$ và một số $a > 0$ sao cho $f(y) \geq a$ trên $V$. Nếu $g$ là một hàm liên tục bất kỳ $\geq 0$ với giá đỡ được chứa trong $V$, hãy chỉ ra rằng $\mu(g) = 0$; thật vậy, nếu đặt $b = \|g\|$ thì $g \leq bf/a$, do đó $\mu(g) \leq b\mu(f)/a = 0$.

Đặt $S = \mathrm{Supp}(\mu)$; lấy $x_0$ là một điểm không thuộc $T$; tồn tại một lân cận mở $V$ của $x_0$ sao cho tại mọi điểm của $V \cap S$, $g$ bằng không; nếu $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong $V$, thì $fg$ bằng không trên $S$, do đó (Mệnh đề 8) $\mu(gf) = 0$; nói cách khác, hạn chế của $g \cdot \mu$ trên $V$ bằng không.

Ngược lại, giả sử rằng hạn chế của $g \cdot \mu$ trên một lân cận mở $W$ của một điểm $x_0 \in X$ là không, hãy chứng minh rằng không tồn tại điểm nào của $W \cap S$ tại đó $g$ là $\neq 0$. Thật vậy, nếu có một điểm như vậy $y$, thì sẽ tồn tại một lân cận compact $U$ của $y$, được chứa trong $W$, sao cho tại mọi điểm $x$ của nó ta có $g(x) \neq 0$; nhưng khi đó mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ với giá được chứa trong $U$ đều có thể được viết dưới dạng $f = gh$, trong đó $h \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong $U \subset W$; do đó suy ra $\mu(f) = \mu(gh) = 0$, trái với giả thiết $y \in S$.

Chú ý rằng $T$ được chứa trong giao của giá $S$ của $\mu$ và giá của $g$, nhưng không nhất thiết bằng giao này. Ví dụ, nếu $X = \mathbf{R}$, $\mu$ là độ đo Dirac tại điểm 0, và $g(x) = x$, thì $g \cdot \mu = 0$ mặc dù giao của các giá của $g$ và $\mu$ thu về điểm 0, do đó là khác rỗng.

Thật vậy, $|\mu|$ cũng là một độ đo có giá compact, do đó ta có thể chỉ xét trường hợp $\mu \geq 0$; nếu $h$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $[0, 1]$, có giá compact và bằng 1 trên $\mathrm{Supp}(\mu)$, thì với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ ta có $|f(x)| \leq \|f\| h(x)$ trên $\mathrm{Supp}(\mu)$, do đó (Hệ quả 2 của Mệnh đề 8) $\mu(|f|) \leq \mu(h)\|f\|$, điều này chứng minh mệnh đề (§ 1, No. 8).

Thật vậy, một độ đo như thế $\mu$ bằng không trên mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ thỏa mãn $n$ hệ thức $f(a_i) = 0$ (No. 3, Mệnh đề 8); vì các hệ thức này có thể được viết là $\varepsilon_{a_i}(f) = 0$, nên $\mu$ là một tổ hợp tuyến tính của các $\varepsilon_{a_i}$ (A, II, §7, No. 5, Hệ quả 1 của Định lý 7).

Đặc biệt, mọi độ đo có giá hoặc rỗng hoặc thu về một điểm duy nhất $x$ đều có dạng $\alpha \varepsilon_x$, trong đó $\alpha$ là một số phức; một độ đo như vậy được gọi là một độ đo điểm; do đó mọi độ đo có giá hữu hạn đều là một tổng các độ đo điểm.

Chỉ cần chứng minh rằng $\mu$ trực giao với không gian con $V^\circ$ của $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ trực giao với $V$ (TVS, II, §6, No. 3, Hệ quả 2 của Định lý 1), nghĩa là các hệ thức $\langle f, \varepsilon_a \rangle = 0$, trong đó $a$ chạy qua giá của $\mu$, kéo theo $\langle f, \mu \rangle = 0$; nhưng đó chính là Mệnh đề 8 của No. 3.

Để chứng minh mệnh đề thứ nhất, chỉ cần thiết lập rằng độ đo $\mu$ thuộc cực của cực $A^\circ$ của $A$ trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ (TVS, II, §6, No. 3, Định lý 1 và §8, No. 4); điều đó có nghĩa là, với $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, các hệ thức $|\langle f, \varepsilon_a \rangle| \leq 1/\| \mu \|$ với mọi $a \in \mathrm{Supp}(\mu)$ kéo theo $|\langle f, \mu \rangle| \leq 1$; nhưng đây là một hệ quả của Hệ quả 3 của Mệnh đề 8 của No. 3.

Để chứng minh mệnh đề thứ hai, ta nhận thấy rằng

vì hàm $\nu \mapsto \| \nu \|$ là nửa liên tục dưới đối với tôpô mơ hồ (§1, No. 9, Hệ quả 4 của Mệnh đề 15), và kết luận suy ra từ sự kiện là $\| \nu \| \leq \| \mu \|$ với $\nu \in A$ theo định nghĩa.

Ta có thể giả sử rằng $\mu \neq 0$. Gọi $V$ là một lân cận mở của 0 đối với tôpô mơ hồ; với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < 1$, theo Hệ quả 1, tồn tại một độ đo $\nu_0$ có giá là hữu hạn và được chứa trong $\mathrm{Supp}(\mu)$ và sao cho $\nu_0 - \mu \in V$ và $\| \mu \| \geq \| \nu_0 \| \geq (1 - \varepsilon) \| \mu \|$. Đặt $\nu = (\| \mu \| / \| \nu_0 \|) \nu_0$, ta có $\| \nu \| = \| \mu \|$ và $\| \nu - \nu_0 \| \leq \| \mu \|$; do đó, với $\varepsilon$ đủ nhỏ, ta có $\nu - \mu \in V + V$, do đó suy ra kết luận.

Cùng một lập luận như trong Hệ quả 2 cho thấy rằng ta có thể chỉ cần chứng minh rằng $\mu$ thuộc bao đóng mờ của tập lồi $B$ gồm các độ đo dương có giá hữu hạn được chứa trong $\mathrm{Supp}(\mu)$ và có chuẩn $\leq \| \mu \|$. Lại nữa, chỉ cần thiết lập rằng $\mu$ thuộc tập cực của $B^\circ$, tập cực của $B$ trong không gian $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ (TVS, II, §6, No. 3, Định lý 1); nhưng điều đó có nghĩa là với $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ thì các hệ thức $\langle f, \varepsilon_a \rangle \geq -1 / \| \mu \|$ với mọi $a \in \mathrm{Supp}(\mu)$ kéo theo $\langle f, \mu \rangle \geq -1$, điều này là một hệ quả của No. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 8.

Trên nón $\mathscr{M}_+(X)$, tôpô của sự hội tụ chặt chẽ compact đồng nhất với tôpô mơ hồ (§1, No. 10, Mệnh đề 18), và mọi độ đo trên $X$ đều có thể viết dưới dạng $\mu_1 - \mu_2 + i \mu_3 - i \mu_4$, trong đó các $\mu_j$ ($1 \leq j \leq 4$) là các độ đo dương; do đó kết luận suy ra từ Định lý 1.

Điều kiện ấy hiển nhiên là đủ theo Mệnh đề 6 của No. 2. Để thấy rằng nó là cần thiết, giả sử $x_0 \in \mathrm{Supp}(\mu)$; xét một số hữu hạn các hàm $f_k$ ($1 \leq k \leq n$) trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, và một số tùy ý $\delta > 0$; ta phải chứng minh rằng tồn tại một hàm $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ sao cho $\| g \cdot \mu \| \leq 1$ và sao cho

với $1 \leq k \leq n$. Gọi $U$ là một lân cận mở tương đối compact của $x_0$ sao cho độ dao động của mỗi $f_k$ ($1 \leq k \leq n$) trên $U$ là $\leq \delta / 2$. Theo giả thiết, vì $x_0 \in \mathrm{Supp}(\mu)$, tồn tại một hàm $g_0 \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong $U$ và sao cho $\mu(g_0) \neq 0$; độ đo $\nu = g_0 \cdot \mu$ khác không, vì với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ bằng 1 trên $U$, ta có $\nu(f) = \mu(g_0) \neq 0$. Hơn nữa, $\nu$ bị chặn (No. 3, Mệnh đề 11);

nhân $g_0$ với một vô hướng, ta có thể giả sử rằng $\| \nu \| = 1$. Khi đó, đặt $\alpha_k = f_k(x_0)$ ta có thể viết, với $1 \leq k \leq n$ và với mọi hàm $h \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$,

Vì $\nu$ có giá trong $U$, ta có thể đồng nhất nó với hạn chế của nó lên $U$; khi đó giả thiết $\| \nu \| = 1$ suy ra rằng tồn tại một hàm $h \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, có giá được chứa trong $U$, sao cho $\| h \| \leq 1$ và sao cho $| \alpha_k (1 - \nu(h)) | \leq \delta / 2$ với $1 \leq k \leq n$. Định nghĩa của $U$ hơn nữa cho thấy rằng $| (\alpha_k - f_k(x)) h(x) | \leq \delta / 2$ với mọi $x \in U$; vì $\| \nu \| = 1$ và $\operatorname{Supp}(\nu) \subset U$ nên do đó ta có $| \nu((\alpha_k - f_k)h) | \leq \delta / 2$ và vì thế, đặt $g = g_0 h$,

Điều này chứng minh mệnh đề, vì $\| g \cdot \mu \| = \| (g_0 h) \cdot \mu \| \leq \| g_0 \cdot \mu \| = 1$.

Thật vậy, $\operatorname{Supp}(g \cdot \mu) \subset \operatorname{Supp}(\mu)$ theo No. 3, Mệnh đề 10; do đó giá của mọi giới hạn vague của các độ đo dạng $g \cdot \mu$ cũng được chứa trong $\operatorname{Supp}(\mu)$ (No. 2, Mệnh đề 6). Ngược lại, nếu $\operatorname{Supp}(\nu) \subset \operatorname{Supp}(\mu)$ thì $\nu$ là giới hạn vague của các độ đo có giá hữu hạn được chứa trong $\operatorname{Supp}(\mu)$ (Định lý 1), nên thuộc bao đóng vague của tập hợp các độ đo $g \cdot \mu$ theo Mệnh đề 13.

Cho $\mu$ là một độ đo rời rạc trên $X$, được xác định bởi các khối lượng $h(x) \neq 0$ đặt tại các điểm $x$ của một không gian con rời rạc đóng $N$ của $X$; ta hãy chứng minh rằng $\operatorname{Supp}(\mu) = N$. Với mọi $a \in N$ và mọi lân cận $V$ của $a$, tồn tại một hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong $V$, bằng 1 tại điểm $a$ và bằng 0 tại các điểm khác của $N$, do đó $\mu(f) = h(a) \neq 0$. Mặt khác, nếu $b \notin N$ thì tồn tại một lân cận $W$ của $b$ không giao với $N$; vì vậy, với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong $W$, ta có $\mu(g) = 0$, điều này chứng tỏ rằng $b \notin \operatorname{Supp}(\mu)$.

Ngược lại, cho $\mu$ là một độ đo sao cho $\operatorname{Supp}(\mu)$ là một không gian con đóng rời rạc $N$ của $X$. Với mọi $a \in N$, tồn tại một lân cận mở $V_a$ của $a$ không chứa điểm nào của $N$ phân biệt với $a$; do đó hạn chế của $\mu$ lên $V_a$ là một độ đo điểm có giá $\{a\}$ (No. 2, Mệnh đề 5), nên (No. 4, Mệnh đề 12) có dạng $h(a)\varepsilon_a$, trong đó $h(a) \neq 0$. Đặt $h(x) = 0$ tại các điểm của $\mathbf{C}\mathbf{N}$, và ký hiệu bởi $\nu$ độ đo được xác định bởi các khối lượng $h(x)$, nguyên lý địa phương hóa cho thấy rằng $\nu = \mu$.

Do đó ta thấy rằng trên một không gian rời rạc $X$, mọi độ đo đều là rời rạc.