Bourbaki

§ 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương

Trong toàn bộ mục này, chỉ xét các không gian vectơ trên trường số thực. Theo không gian lồi địa phương, ta hiểu một không gian vectơ tôpô trên R\mathbf{R} tách được và lồi địa phương. Đối ngẫu tôpô của một không gian lồi địa phương E sẽ được ký hiệu là E′E'; với x∈Ex \in E và x′∈E′x' \in E', ta viết ⟨x,x′⟩=x′(x)\langle x, x' \rangle = x'(x).

1. Promeasure trên một không gian lồi địa phương

Cho E là một không gian lồi địa phương. Ta ký hiệu bởi F(E)\mathscr{F}(E) tập hợp các không gian con tuyến tính đóng của E có đối chiều hữu hạn, được sắp thứ tự bởi quan hệ ⊃\supset. Với mọi V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E), pVp_V ký hiệu ánh xạ chính tắc từ E lên E/VE/V. Cho V và W là hai phần tử của F(E)\mathscr{F}(E) sao cho V⊃WV \supset W; ta ký hiệu bởi pVWp_{VW} ánh xạ từ E/WE/W vào E/VE/V suy ra từ ánh xạ đồng nhất của E bằng cách chuyển sang các thương. Họ Q(E)=(E/V,pVW)\mathscr{Q}(E) = (E/V, p_{VW}) là một hệ ngược các không gian lồi địa phương, được đánh chỉ số bởi F(E)\mathscr{F}(E). Nó được gọi là hệ ngược các thương hữu hạn chiều của E.

Có thể chỉ ra rằng giới hạn ngược của hệ ngược Q(E)\mathscr{Q}(E) đẳng cấu chính tắc với đối ngẫu đại số E′∗E'{}^* của E′E', được trang bị tôpô yếu σ(E′∗,E′)\sigma(E'{}^*, E').

Định nghĩa 1

Cho EE là một không gian lồi địa phương. Ta gọi promeasure trên EE là mọi hệ ngược(1)^{(1)} các độ đo (§ 4, No. 2, Def. 1) trên hệ ngược các thương hữu hạn chiều của EE.

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Định nghĩa 1, IX § 4, Mệnh đề 7

Nói cách khác, một promeasure μ\mu trên EE là một họ (μV)V∈F(E)(\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)}, trong đó μV\mu_V là một độ đo bị chặn (dương) trên không gian hữu hạn chiều E/VE/V, và trong đó μV=pVW(μW)\mu_V = p_{VW}(\mu_W) khi V⊃WV \supset W. Tất cả các độ đo μV\mu_V đều có cùng tổng khối lượng, được gọi là tổng khối lượng của promeasure μ\mu.

Để một không gian con VV của EE thuộc F(E)\mathscr{F}(E), điều kiện cần và đủ là tồn tại một số hữu hạn phần tử x1′,…,xn′x'_1, \ldots, x'_n của E′E' sao cho VV gồm các x∈Ex \in E thỏa mãn ⟨x,xi′⟩=0\langle x, x'_i \rangle = 0 với 1≤i≤n1 \leq i \leq n (TVS, II, § 6, No. 3, Cor. 2 of Th. 1 and No. 5, Cor. 2 of Prop. 7). Hơn nữa, trên một không gian vectơ hữu hạn chiều chỉ tồn tại một và chỉ một tôpô không gian vectơ tôpô Hausdorff (TVS, I, § 2, No. 3, Th. 2). Do đó, khái niệm promeasure trên EE chỉ phụ thuộc vào đối ngẫu E′E' của EE.

Cho λ\lambda là một độ đo bị chặn trên EE. Với mỗi V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E), ta ký hiệu bởi λ~V\widetilde{\lambda}_V ảnh của λ\lambda qua ánh xạ chính tắc pVp_V từ EE lên E/VE/V. Ta có pV=pVW∘pWp_V = p_{VW} \circ p_W với mọi phần tử VV và WW của F(E)\mathscr{F}(E) sao cho V⊃WV \supset W; do đó, họ λ~=(λ~V)V∈F(E)\widetilde{\lambda} = (\widetilde{\lambda}_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} là một prođộ đo trên EE. Ta sẽ nói rằng λ~\widetilde{\lambda} là prođộ đo liên kết với độ đo λ\lambda. Ta thấy ngay lập tức rằng λ\lambda và λ~\widetilde{\lambda} có cùng tổng khối lượng.

Mệnh đề 1

Cho EE là một không gian lồi địa phương. Ánh xạ λ↦λ~\lambda \mapsto \widetilde{\lambda} là một song ánh từ tập hợp các độ đo bị chặn trên EE lên tập hợp các prođộ đo (μV)V∈F(E)(\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} trên EE thỏa mãn điều kiện sau:

Với mọi ε>0\varepsilon > 0, tồn tại một tập con compact KK của EE sao cho μV(E/V−pV(K))≤ε\mu_V(E/V - p_V(K)) \leq \varepsilon với mọi V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E).

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Định lý 1 (Prokhorov), IX § 4, Mệnh đề 2

Được trích dẫn bởi Định lý 2 (Minlos)

Ta biết rằng giao các hạt nhân của các dạng tuyến tính liên tục trên EE bằng 0 (TVS, II, § 4, No. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2); do đó ⋂V∈F(E)V={0}\bigcap_{V \in \mathscr{F}(E)} V = \{0\} và họ (pV)V∈F(E)(p_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} là tương thích và phân ly. Khi đó mệnh đề suy ra từ Định lý 1 của § 4, No. 2.

Đặc biệt, ánh xạ λ↦λ~\lambda \mapsto \widetilde{\lambda} là đơn ánh. Nếu μ\mu là một prođộ đo trên EE, và nếu tồn tại một độ đo bị chặn λ\lambda trên EE sao cho μ=λ~\mu = \widetilde{\lambda}, thì do lạm dụng ngôn ngữ, ta sẽ nói rằng μ\mu là một độ đo. Nếu EE là hữu hạn chiều, mọi prođộ đo μ=(μV)V∈F(E)\mu = (\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} đều là một độ đo: thật vậy, {0}∈F(E)\{0\} \in \mathscr{F}(E), E/{0}=EE/\{0\} = E và pV,{0}=pVp_{V,\{0\}} = p_V, do đó μV=pV(μ{0})\mu_V = p_V(\mu_{\{0\}}) với mọi V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E); nói cách khác, μ=λ~\mu = \widetilde{\lambda} với λ=μ{0}\lambda = \mu_{\{0\}}.

(1) Cũng được gọi là một 'hệ xạ ảnh'.

Mệnh đề 2

— Cho T là một tập hợp đếm được, và E là không gian vectơ các hàm thực trên T, được trang bị tôpô của sự hội tụ điểm một. Mọi prođộ đo trên E đều là một độ đo.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 3

Trích dẫn đến Định lý 2, IX § 4, Mệnh đề 8

Được trích dẫn bởi § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương, Mệnh đề 1, Mệnh đề 10

Với mọi t∈Tt \in T, gọi εt\varepsilon_t là dạng tuyến tính f↦f(t)f \mapsto f(t) trên E. Ta biết (TVS, II, §6, No. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 8) rằng họ (εt)t∈T(\varepsilon_t)_{t \in T} là một cơ sở của không gian vectơ E′E'. Ký hiệu bởi Φ\Phi tập hợp các tập con hữu hạn của 'T', và với mọi J∈ΦJ \in \Phi gọi EJE_J là tập các hàm trên T bằng không tại mọi điểm của J. Cho F∈F(E)F \in \mathscr{F}(E); vì trực giao F∘F^\circ của F là một không gian con hữu hạn chiều của E′E', tồn tại một J∈ΦJ \in \Phi sao cho F∘F^\circ được chứa trong không gian con tuyến tính G của E′E' sinh bởi các εt\varepsilon_t với t∈Jt \in J. Vì F∘⊂GF^\circ \subset G, ta có EJ=G∘⊂F∘∘=FE_J = G^\circ \subset F^{\circ\circ} = F và họ đếm được (EJ)J∈Φ(E_J)_{J \in \Phi} là đồng cuối trong F(E)\mathscr{F}(E). Khi đó mệnh đề suy ra từ Định lý 2 của §4, No. 3.

2. Ảnh của một promeasure

Cho E và E1E_1 là hai không gian lồi địa phương, và uu là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E1E_1. Với mọi V1∈F(E1)V_1 \in \mathscr{F}(E_1), không gian con V=u‾−1(V1)V = \overline{u}^{-1}(V_1) của E thuộc về F(E)\mathscr{F}(E), và uu xác định, bằng cách chuyển sang các thương, một ánh xạ tuyến tính uV1u_{V_1} từ E/VE/V vào E1/V1E_1/V_1. Cho V1V_1 và W1W_1 trong F(E1)\mathscr{F}(E_1) sao cho V1⊃W1V_1 \supset W_1; đặt V=u‾−1(V1)V = \overline{u}^{-1}(V_1) và W=u‾−1(W1)W = \overline{u}^{-1}(W_1). Ta có V⊃WV \supset W, và một biểu đồ giao hoán

E→pwE/W→pvwE/V↓u↓uW1↓uV1E1→pw1E1/W1→pv1W1E1/V1 \begin{array}{ccccc} E & \xrightarrow{pw} & E/W & \xrightarrow{pvw} & E/V \\ \downarrow u & & \downarrow u_{W_1} & & \downarrow u_{V_1} \\ E_1 & \xrightarrow{pw_1} & E_1/W_1 & \xrightarrow{pv_{1W_1}} & E_1/V_1 \end{array}

Bây giờ cho μ=(μV)V∈F(E)\mu = (\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} là một promeasure trên E. Với mọi V1∈F(E1)V_1 \in \mathscr{F}(E_1), đặt

(1)

νV1=uV1(μu−1(V1)). \nu_{V_1} = u_{V_1}(\mu_{u^{-1}(V_1)}).

Tính giao hoán của biểu đồ trên cho thấy rằng họ ν=(νV1)V1∈F(E1)\nu = (\nu_{V_1})_{V_1 \in \mathscr{F}(E_1)} là một promeasure trên E1E_1. Ta nói rằng ν\nu là ảnh của μ\mu dưới uu, và ký hiệu nó bởi u(μ)u(\mu).

Cho λ\lambda là một độ đo bị chặn trên E, và u(λ)u(\lambda) là độ đo trên E1E_1 là ảnh của λ\lambda dưới uu. Nếu promeasure μ\mu liên kết với λ\lambda, thì promeasure u(μ)u(\mu) liên kết với u(λ)u(\lambda). Điều này suy ra từ tính giao hoán của biểu đồ trên.

Cho V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E). Ngay lập tức thấy rằng ảnh của tiền độ đo trên E/VE/V của tiền độ đo μ\mu theo ánh xạ chính tắc pV:E→E/Vp_V : E \to E/V liên kết với độ đo μV\mu_V.

Cho u1u_1 là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E1E_1 vào một không gian lồi địa phương E2E_2. Ta thiết lập không khó khăn quan hệ

(u1∘u)(μ)=u1(u(μ)) (u_1 \circ u)(\mu) = u_1(u(\mu))

(tính bắc cầu của các ảnh của các tiền độ đo).

3. Biến đổi Fourier của một tiền độ đo

Cho EE là một không gian lồi địa phương và μ=(μV)V∈F(E)\mu = (\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} là một tiền độ đo trên EE. Với mọi dạng tuyến tính liên tục x′x' trên EE, ta ký hiệu μx′\mu_{x'} là độ đo trên R\mathbf{R} là ảnh theo x′x' của tiền độ đo μ\mu trên EE. Biến đổi Fourier của μ\mu là hàm Fμ\mathscr{F}\mu trên E′E' được xác định bởi

(Fμ)(x′)=∫Reitdμx′(t). (\mathscr{F}\mu)(x') = \int_{\mathbf{R}} e^{it} d\mu_{x'}(t).

Cho λ\lambda là một độ đo bị chặn trên EE. Biến đổi Fourier của λ\lambda là hàm trên E′E' được xác định bởi

(Fλ)(x′)=∫Eei⟨x,x′⟩dλ(x). (\mathscr{F}\lambda)(x') = \int_E e^{i\langle x, x' \rangle} d\lambda(x).

Cho μ\mu là tiền độ đo liên kết với λ\lambda. Với mọi x′∈E′x' \in E', độ đo μx′\mu_{x'} trên R\mathbf{R} là ảnh theo x′:E→Rx' : E \to \mathbf{R} của độ đo λ\lambda trên EE; từ các công thức (2) và (3), ta ngay lập tức suy ra Fμ=Fλ\mathscr{F}\mu = \mathscr{F}\lambda.

Cho μ\mu là một tiền độ đo bất kỳ trên EE, và uu là một ánh xạ tuyến tính liên tục của EE vào một không gian lồi địa phương E1E_1. Ký hiệu tu^t u là ánh xạ tuyến tính của E1′E'_1 vào E′E' là chuyển vị của uu, và ký hiệu ν\nu là tiền độ đo u(μ)u(\mu) trên E1E_1. Với mọi x1′∈E1′x'_1 \in E'_1, ta có tu(x1′)=x1′∘u^t u(x'_1) = x'_1 \circ u, do đó

νx1′=x1′(ν)=x1′(u(μ))=(x1′∘u)(μ)=μtu(x1′). \nu_{x'_1} = x'_1(\nu) = x'_1(u(\mu)) = (x'_1 \circ u)(\mu) = \mu_{^t u(x'_1)}.

Do đó,

F(u(μ))=(Fμ)∘tu. \mathscr{F}(u(\mu)) = (\mathscr{F}\mu) \circ {}^t u.

Đặc biệt, ta lấy uu là ánh xạ chính tắc pVp_V của EE lên E/VE/V (với V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E)). Độ đo tiền pV(μ)p_V(\mu) trên E/VE/V liên kết với độ đo μV\mu_V, và tpV^t p_V là một đẳng cấu từ đối ngẫu của E/VE/V lên không gian con V∘V^\circ của E′E' vuông góc với VV. Nếu (E/V)′(E/V)' được đồng nhất với V∘V^\circ bằng tpV^t p_V, thì

(Fμ)(x′)=∫E′/Vei⟨x,x′⟩dμV(x) (\mathscr{F}\mu)(x') = \int_{E'/V} e^{i\langle x, x' \rangle} d\mu_V(x)

với mọi x′∈V∘x' \in V^\circ. Ta có E′=⋃V∈F(E)V∘E' = \bigcup_{V \in \mathscr{F}(E)} V^\circ, do đó công thức trước đó đặc trưng hàm Fμ\mathscr{F}\mu trên E′E'. Cuối cùng, nếu đặt x′=0x' = 0 trong (5), ta thấy khối lượng toàn phần của μ\mu bằng (Fμ)(0)(\mathscr{F}\mu)(0).

Mệnh đề 3

Cho EE là một không gian lồi địa phương. Ánh xạ μ↦Fμ\mu \mapsto \mathscr{F}\mu từ tập hợp các độ đo tiền trên EE vào tập hợp các hàm trên E′E' là đơn ánh.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 4

Trích dẫn đến Mệnh đề 8, Mệnh đề 12, IX § 5

Được trích dẫn bởi Nhận xét, Mệnh đề 4, Mệnh đề 5, Định lý 4

Công thức (5) cho phép quy về trường hợp EE là hữu hạn chiều; vì mọi không gian hữu hạn chiều đều đẳng cấu với một không gian Rn\mathbf{R}^n, ta thậm chí có thể giả sử tồn tại một số nguyên n⩾0n \geqslant 0 sao cho E=RnE = \mathbf{R}^n. Do đó ta phải chứng minh rằng nếu μ\mu là một độ đo bị chặn (không nhất thiết dương) trên Rn\mathbf{R}^n và nếu

∫Rnei⟨x,y⟩dμ(x)=0 \int_{\mathbf{R}^n} e^{i\langle x, y \rangle} d\mu(x) = 0

với mọi dạng tuyến tính yy trên Rn\mathbf{R}^n, thì μ=0\mu = 0.

Với mọi số nguyên m⩾0m \geqslant 0, gọi GmG_m là nhóm con m⋅Znm \cdot \mathbf{Z}^n của Rn\mathbf{R}^n. Ký hiệu Cm\mathscr{C}_m là không gian vectơ các hàm liên tục ff trên Rn\mathbf{R}^n sao cho f(x+a)=f(x)f(x + a) = f(x) với x∈Rnx \in \mathbf{R}^n và a∈Gma \in G_m. Theo Mệnh đề 8 của GT, X, §4, No. 4, mọi hàm trong Cm\mathscr{C}_m là giới hạn đều của các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm kiểu x↦e2πi⟨x,q⟩x \mapsto e^{2\pi i \langle x, q \rangle} với q∈m−1⋅Znq \in m^{-1} \cdot \mathbf{Z}^n. Do đó μ(f)=0\mu(f) = 0 với mọi hàm f∈Cmf \in \mathscr{C}_m.

Cho ff là một hàm liên tục trên Rn\mathbf{R}^n có support compact. Với mọi số nguyên m⩾0m \geqslant 0, đặt fm(x)=∑q∈Gmf(x+q)f_m(x) = \sum_{q \in G_m} f(x + q). Ngay lập tức thấy rằng với mọi x∈Rnx \in \mathbf{R}^n, chuỗi trên chỉ có hữu hạn số hạng, và fmf_m thuộc Cm\mathscr{C}_m. Hơn nữa, dễ thấy rằng dãy (fm)(f_m) hội tụ đều tới ff trên mọi tập compact, và tồn tại một hằng C⩾0C \geqslant 0 sao cho ∣fm∣⩽C|f_m| \leqslant C với mọi mm. Do đó, μ(f)=lim⁡m→∞μ(fm)\mu(f) = \lim_{m \to \infty} \mu(f_m) theo Mệnh đề 12 của §5, No. 6. Vì fm∈Cmf_m \in \mathscr{C}_m, ta có μ(fm)=0\mu(f_m) = 0, do đó cuối cùng μ(f)=0\mu(f) = 0. Vậy μ=0\mu = 0.

Nhận xét

— Khi EE hữu hạn chiều, mọi đặc trưng của EE đều có dạng x↦ei⟨x,x′⟩x \mapsto e^{i\langle x, x' \rangle} với x′∈E′x' \in E' (Théor. spect., Ch. II, §1, No. 9, Hệ quả 3 của Mệnh đề 12). Trong trường hợp này, Mệnh đề 3 suy ra từ định lý duy nhất đối với phép biến đổi Fourier (loc. cit., §1, No. 6, Hệ quả của Mệnh đề 6).

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 3

4. Tính các tích phân Gauss

Bổ đề 1

Với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0,

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến IX § 1. Độ đo sơ bộ và các độ đo trên một không gian tôpô

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 10, Mệnh đề 6

∫R∣x∣ne−x2/2dx=2n+12Γ(n+12) \int_{\mathbf{R}} |x|^n e^{-x^2/2} dx = 2^{n+1 \over 2} \Gamma \left( {n+1 \over 2} \right)
(6)

∫Rx2ne−x2/2dx=(2π)1/2(2n)!2nn! \int_{\mathbf{R}} x^{2n} e^{-x^2/2} dx = (2\pi)^{1/2} \frac{(2n)!}{2^n n!}
(7)

∫Rx2n+1e−x2/2dx=0. \int_{\mathbf{R}} x^{2n+1} e^{-x^2/2} dx = 0.
(8)

Nhắc lại công thức

Γ(s)=∫0∞us−1e−udu \Gamma(s) = \int_0^\infty u^{s-1} e^{-u} du
(9)

đúng với mọi số thực s>0s > 0 (FRV, VII, §1, No. 3, Mệnh đề 3). Khi thực hiện phép thay đổi biến x=(2u)1/2x = (2u)^{1/2}, từ (9) suy ra rằng

∫0∞xne−x2/2dx=∫0∞(2u)n/2e−u1221/2u−1/2du=2n−12Γ(n+12), \int_0^\infty x^n e^{-x^2/2} dx = \int_0^\infty (2u)^{n/2} e^{-u} {1 \over 2} 2^{1/2} u^{-1/2} du = 2^{n-1 \over 2} \Gamma \left( {n+1 \over 2} \right),

do đó có công thức (6) vì

∫R∣x∣ne−x2/2dx=2∫0∞xne−x2/2dx. \int_{\mathbf{R}} |x|^n e^{-x^2/2} dx = 2 \int_0^\infty x^n e^{-x^2/2} dx.

Công thức (7) suy ra từ (6) và quan hệ

Γ(n+12)=π1/2(2n)!22nn!. \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) = \pi^{1/2} \frac{(2n)!}{2^{2n} n!}.
(10)

Với n=0n = 0, quan hệ này thu về Γ(12)=π1/2\Gamma(\frac{1}{2}) = \pi^{1/2}, tức là công thức (21) của FRV, VII, §1, No. 3. Trường hợp tổng quát sau đó suy ra bằng quy nạp theo nn, có kể đến quan hệ Γ(x+1)=x⋅Γ(x)\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) (loc. cit., §1, No. 1).

Cuối cùng, công thức (8) suy ra từ việc hàm x↦x2n+1e−x2/2x \mapsto x^{2n+1} e^{-x^2/2} là lẻ.

Bổ đề 2

Với mọi số phức yy,

Được trích dẫn bởi 3

Được trích dẫn bởi Nhận xét, Mệnh đề 10, Mệnh đề 4

(2π)−1/2∫Re−x2/2eixydx=e−y2/2. (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} e^{ixy} dx = e^{-y^2/2}.
(11)

Đặc biệt,

(2π)−1/2∫Re−x2/2dx=1. (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} dx = 1.

Phép thay đổi biến x↦−xx \mapsto -x cho

(2π)−1/2∫Re−x2/2eixydx=(2π)−1/2∫Re−x2/2e−ixydx; (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} e^{i xy} dx = (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} e^{-ixy} dx;

vì cos⁡u=eiu+e−iu2\cos u = \frac{e^{iu} + e^{-iu}}{2} với mọi số phức uu, nên suy ra rằng

(12)(2π)−1/2∫Re−x2/2eixydx=(2π)−1/2∫Re−x2/2cos⁡xy dx. (12) \quad (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} e^{i xy} dx = (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} \cos xy \, dx .

Với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0, đặt

gn(x)=(−1)n(2π)−1/2(xy)2n(2n)!e−x2/2. g_n(x) = (-1)^n (2\pi)^{-1/2} \frac{(xy)^{2n}}{(2n)!} e^{-x^2/2}.

Theo (7),

(13)∫R∣gn(x)∣ dx=1n!(∣y∣22)n (13) \quad \int_{\mathbf{R}} |g_n(x)| \, dx = \frac{1}{n!} \left( \frac{|y|^2}{2} \right)^n
(14)∫Rgn(x) dx=1n!(−y22)n, (14) \quad \int_{\mathbf{R}} g_n(x) \, dx = \frac{1}{n!} \left( -\frac{y^2}{2} \right)^n,

do đó

∑n=0∞∫R∣gn(x)∣ dx=e∣y∣2/2<+∞. \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\mathbf{R}} |g_n(x)| \, dx = e^{|y|^2/2} < +\infty.

Hơn nữa, vì

(2π)−1/2e−x2/2cos⁡xy=∑n=0∞gn(x), (2\pi)^{-1/2} e^{-x^2/2} \cos xy = \sum_{n=0}^{\infty} g_n(x),

nên đẳng thức này có thể được tích phân từng số hạng, do đó

(2π)−1/2∫Re−x2/2cos⁡xy dx=∑n=0∞∫Rgn(x) dx=e−y2/2 (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{-x^2/2} \cos xy \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\mathbf{R}} g_n(x) \, dx = e^{-y^2/2}

theo (14). Công thức (11) khi đó suy ra từ (12).

5. Promesure và mesure Gauss

Mệnh đề 4

Cho E là một không gian lồi địa phương. Với mọi dạng toàn phương dương Q trên E', tồn tại một và chỉ một promeasure ΓQ\Gamma_Q trên E sao cho FΓQ=e−Q/2\mathscr{F} \Gamma_Q = e^{-Q/2}. Khối lượng toàn phần của ΓQ\Gamma_Q bằng 1.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 3, Bổ đề 2

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 3, IX § 3, § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương

Tính duy nhất của ΓQ\Gamma_Q suy ra từ Mệnh đề 3 của No. 3. Khối lượng toàn phần của ΓQ\Gamma_Q bằng (FΓQ)(0)=e−Q(0)/2=1(\mathscr{F}\Gamma_Q)(0) = e^{-Q(0)/2} = 1. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại theo từng giai đoạn.

A) E có số chiều hữu hạn nn, và Q không suy biến.

Theo Bổ đề 2 của No. 4, độ đo γ1\gamma_1 trên R\mathbf{R} có mật độ t↦(2π)−1/2e−t2/2t \mapsto (2\pi)^{-1/2}e^{-t^2/2} là bị chặn, có tổng khối lượng bằng 1. Đặt γ=γ1⊗⋯⊗γ1\gamma = \gamma_1 \otimes \cdots \otimes \gamma_1 (nn thừa số). Từ Bổ đề 2 của No. 4, suy ra

∫Rnei(a1t1+⋯+antn)dγ(t1,…,tn)=∏j=1n∫Reiajtdγ1(t) \int_{\mathbf{R}^n} e^{i(a_1 t_1 + \cdots + a_n t_n)} d\gamma(t_1, \ldots, t_n) = \prod_{j=1}^n \int_{\mathbf{R}} e^{ia_j t} d\gamma_1(t)
=∏j=1n(2π)−1/2∫Reiajte−t2/2dt = \prod_{j=1}^n (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} e^{ia_j t} e^{-t^2/2} dt
=∏j=1ne−aj2/2 = \prod_{j=1}^n e^{-a_j^2/2}
=exp⁡(−12(a12+⋯+an2)). = \exp \left( -\frac{1}{2}(a_1^2 + \cdots + a_n^2) \right).

Vì Q dương và không suy biến, tồn tại một cơ sở (e1′,…,en′)(e'_1, \ldots, e'_n) của E' trực chuẩn đối với Q (Alg., Ch. IX, §7, No. 1). Ký hiệu bởi f đẳng cấu x↦(e1′(x),…,en′(x))x \mapsto (e'_1(x), \ldots, e'_n(x)) từ E lên Rn\mathbf{R}^n, và bởi ΓQ\Gamma_Q độ đo f−1(γ)f^{-1}(\gamma) trên E. Cho x′=a1e1′+⋯+anen′x' = a_1 e'_1 + \cdots + a_n e'_n thuộc E'; khi đó x′(f−1(t1,…,tn))=∑j=1ntjajx'(f^{-1}(t_1, \ldots, t_n)) = \sum_{j=1}^n t_j a_j với t1,…,tnt_1, \ldots, t_n thực, do đó

∫Eei⟨x,x′⟩dΓQ(x)=∫Rnei(a1t1+⋯+antn)dγ(t1,…,tn) \int_E e^{i\langle x, x' \rangle} d\Gamma_Q(x) = \int_{\mathbf{R}^n} e^{i(a_1 t_1 + \cdots + a_n t_n)} d\gamma(t_1, \ldots, t_n)
=exp⁡(−12(a12+⋯+an2))=exp⁡(−12Q(x′)). = \exp \left( -\frac{1}{2}(a_1^2 + \cdots + a_n^2) \right) = \exp \left( -\frac{1}{2}Q(x') \right).

Do đó, FΓQ=e−Q/2\mathscr{F}\Gamma_Q = e^{-Q/2}.

B) E hữu hạn chiều.

Cho N là không gian con tuyến tính của E' gồm các x′x' sao cho Q(x′)=0Q(x') = 0. Ký hiệu bởi M trực giao của N trong E, và bởi j đơn ánh chính tắc từ M vào E. Ánh xạ tuyến tính tj:E′→M′{}^t j : E' \to M' là toàn ánh, với hạt nhân N, vì vậy tồn tại trên M′M' một dạng toàn phương dương không suy biến q sao cho Q=q∘tjQ = q \circ {}^t j. Theo điều đã nói trên, tồn tại một độ đo bị chặn Γ\Gamma trên M sao cho FΓ=e−q/2\mathscr{F}\Gamma = e^{-q/2}. Đặt ΓQ=j(Γ)\Gamma_Q = j(\Gamma), ta có

FΓQ=(FΓ)∘tj=exp⁡(−q∘tj/2)=e−Q/2 \mathscr{F}\Gamma_Q = (\mathscr{F}\Gamma) \circ {}^t j = \exp(-q \circ {}^t j/2) = e^{-Q/2}

theo công thức (4) của No. 3.

C) Trường hợp tổng quát. Cho V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E). Ký hiệu bởi pVp_V ánh xạ chính tắc từ EE lên E/VE/V, và bởi QVQ_V dạng toàn phương dương Q∘tpVQ \circ {}^t p_V trên (E/V)′(E/V)'; sau cùng, cho μV\mu_V là độ đo trên E/VE/V có biến đổi Fourier là e−QV/2e^{-Q_V/2} (xem B)). Nếu W∈F(E)W \in \mathscr{F}(E) được chứa trong VV, thì pV=pVW∘pWp_V = p_{VW} \circ p_W, do đó QV=QW∘tpVWQ_V = Q_W \circ {}^t p_{VW}; theo công thức (4) của No. 3, độ đo pVW(μW)p_{VW}(\mu_W) có biến đổi Fourier là hàm (e−QW/2)∘tpVW=e−QV/2(e^{-Q_W/2}) \circ {}^t p_{VW} = e^{-Q_V/2}, vì thế bằng μV\mu_V. Vậy họ (μV)V∈F(E)(\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} là một prođộ đo μ\mu trên EE. Công thức (5) của No. 3 cho thấy rằng Fμ\mathscr{F}\mu bằng e−Q/2e^{-Q/2}.

Định nghĩa 2

Cho EE là một không gian vectơ tôpô lồi. Với mọi dạng bậc hai dương QQ trên E′E', tiền đo trên EE có biến đổi Fourier bằng e−Q/2e^{-Q/2} được gọi là tiền đo Gauss trên EE với phương sai QQ, và được ký hiệu ΓQ\Gamma_Q. Một tiền đo μ\mu trên EE được gọi là Gauss nếu tồn tại một dạng bậc hai dương QQ trên E′E' sao cho μ=ΓQ\mu = \Gamma_Q.

Được trích dẫn bởi 3

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 14, IX § 1, Mệnh đề 9, IX § 2, Hệ quả 2, IX § 5

Theo lối nói mở rộng, một độ đo bị chặn μ\mu trên EE sẽ được gọi là Gauss với phương sai QQ nếu tiền đo liên kết μ~\widetilde{\mu} bằng ΓQ\Gamma_Q.

Nhận xét

— 1) Cho EE là một không gian vectơ hữu hạn chiều, và cho μ\mu là một độ đo dương trên EE có khối lượng 1, sao cho mọi dạng tuyến tính trên EE đều thuộc L2(E,μ)\mathscr{L}^2(E, \mu). Người ta xác định một phần tử mm của EE và một dạng bậc hai dương VV trên E′E' bởi các công thức

⟨m,x′⟩=∫E⟨x,x′⟩dμ(x),V(x′)=∫E⟨x−m,x′⟩2dμ(x). \langle m, x' \rangle = \int_E \langle x, x' \rangle d\mu(x), \quad V(x') = \int_E \langle x - m, x' \rangle^2 d\mu(x).
Theo thuật ngữ truyền thống của Lý thuyết Xác suất, mm được gọi là trung bình và VV là phương sai của μ\mu; μ\mu được gọi là có tâm nếu m=0m = 0.

Bây giờ cho aa là một phần tử của EE và QQ là một dạng bậc hai dương trên E′E'. Ký hiệu Γa,Q\Gamma_{a,Q} là ảnh của độ đo ΓQ\Gamma_Q qua phép tịnh tiến x↦x+ax \mapsto x + a. Dễ thấy rằng Γa,Q\Gamma_{a,Q} là một độ đo dương trên EE có khối lượng 1, với biến đổi Fourier x′↦ei⟨a,x′⟩−12Q(x′)x' \mapsto e^{i\langle a, x' \rangle - \frac{1}{2} Q(x')} và trung bình là aa. Hơn nữa, Mệnh đề 6 dưới đây suy ra rằng QQ là phương sai của Γa,Q\Gamma_{a,Q}. Theo truyền thống, người ta nói rằng Γa,Q\Gamma_{a,Q} là độ đo Gauss có trung bình aa và phương sai QQ, và rằng ΓQ=Γ0,Q\Gamma_Q = \Gamma_{0,Q} là độ đo Gauss có tâm với phương sai QQ. Vì chúng ta sẽ chỉ xét các độ đo Gauss có tâm, nên ta sẽ bỏ qua định ngữ này.

2) Cho QQ là một dạng toàn phương trên đối ngẫu E′E' của một không gian lồi địa phương EE. Nếu tồn tại một tiền độ đo trên EE có biến đổi Fourier bằng e−Q/2e^{-Q/2}, thì dạng toàn phương QQ tất yếu là dương: thật vậy, hàm e−Q/2e^{-Q/2} bị chặn trên E′E'; do đó, với mọi x′∈E′x' \in E', hàm t↦e−t2Q(x′)/2=e−Q(tx′)/2t \mapsto e^{-t^2 Q(x')/2} = e^{-Q(tx')/2} trên R\mathbf{R} bị chặn, do đó Q(x′)≥0Q(x') \geq 0.

3) Đối ngẫu của R\mathbf{R} đẳng cấu chính tắc với R\mathbf{R} và các dạng toàn phương dương trên R\mathbf{R} là các hàm có dạng t↦at2t \mapsto at^2 với a≥0a \geq 0. Vậy, với mỗi a≥0a \geq 0, tồn tại một và chỉ một độ đo bị chặn γa\gamma_a trên R\mathbf{R} mà biến đổi Fourier bằng hàm t↦e−at2/2t \mapsto e^{-at^2/2}; theo một cách dùng từ không nghiêm ngặt, γa\gamma_a được gọi là độ đo Gauss trên R\mathbf{R} có phương sai aa.

Biến đổi Fourier của γ0\gamma_0 là hằng 1, do đó γ0=ε0\gamma_0 = \varepsilon_0 (khối lượng đơn vị tại gốc của R\mathbf{R}). Giả sử a>0a > 0 và ký hiệu bởi uau_a ánh xạ tuyến tính x↦a1/2xx \mapsto a^{1/2} x; khi đó Fγa=Fγ1∘tua\mathscr{F}\gamma_a = \mathscr{F}\gamma_1 \circ {}^t u_a, do đó γa=ua(γ1)\gamma_a = u_a(\gamma_1). Bổ đề 2 cho thấy rằng γ1\gamma_1 là độ đo có mật độ x↦(2π)−1/2e−x2/2x \mapsto (2\pi)^{-1/2} e^{-x^2/2} đối với độ đo Lebesgue; từ đó, ta dễ dàng suy ra

(15)dγa(x)=(2πa)−1/2e−x2/2adx. (15) \quad d\gamma_a(x) = (2\pi a)^{-1/2} e^{-x^2/2a} dx .

Ảnh của một tiền độ đo Gauss dưới một ánh xạ tuyến tính liên tục là một tiền độ đo Gauss. Chính xác hơn, ta có kết quả sau:

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 6, Bổ đề 2

Mệnh đề 5

Cho E và E₁ là hai không gian lồi địa phương, và u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E₁. Cho Q là một dạng toàn phương dương trên E', và Q₁ là dạng toàn phương dương Q ∘tu\circ {}^t u trên E'₁. Khi đó u(ΓQ)=ΓQ1u(\Gamma_Q) = \Gamma_{Q_1}.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 3

Được trích dẫn bởi § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương

Đặt μ=u(ΓQ)\mu = u(\Gamma_Q). Theo công thức (4) của No. 3,

Fμ=(FΓQ)∘tu=e−Q/2∘tu=e−Q1/2=FΓQ1, \mathscr{F}\mu = (\mathscr{F}\Gamma_Q) \circ {}^t u = e^{-Q/2} \circ {}^t u = e^{-Q_1/2} = \mathscr{F}\Gamma_{Q_1} ,

do đó μ=ΓQ1\mu = \Gamma_{Q_1} theo Mệnh đề 3 của No. 3.

Hệ quả

Cho E là một không gian lồi địa phương và Q là một dạng toàn phương dương trên E'. Với mọi x′∈E′x' \in E', ảnh của ΓQ\Gamma_Q dưới x′x' là độ đo Gauss trên R\mathbf{R} có phương sai Q(x′)Q(x').

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 6

Mệnh đề 6

Cho E là một không gian lồi địa phương, và μ\mu là một độ đo Gauss trên E, có phương sai Q. Với mọi số nguyên n≥0n \geq 0 và mọi x′∈E′x' \in E', ta có các hệ thức

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 6

Trích dẫn đến Bổ đề 1, Hệ quả

Được trích dẫn bởi § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương, Bổ đề 3, Bổ đề 4, Bổ đề 6, Nhận xét, Mệnh đề 7

(16)∫E∣⟨x,x′⟩∣ndμ(x)=π−1/22n/2Γ(n+12)Q(x′)n/2(17)∫E⟨x,x′⟩2ndμ(x)=(2n)!2nn!Q(x′)n(18)∫E⟨x,x′⟩2n+1dμ(x)=0. \begin{align*} (16) & \quad \int_E |\langle x, x' \rangle|^n d\mu(x) = \pi^{-1/2} 2^{n/2} \Gamma\left( \frac{n+1}{2} \right) Q(x')^{n/2} \\ (17) & \quad \int_E \langle x, x' \rangle^{2n} d\mu(x) = \frac{(2n)!}{2^n n!} Q(x')^n \\ (18) & \quad \int_E \langle x, x' \rangle^{2n+1} d\mu(x) = 0 . \end{align*}

Đặc biệt,

(19)∫E⟨x,x′⟩2dμ(x)=Q(x′)(x′∈E′). (19) \quad \int_E \langle x, x' \rangle^2 d\mu(x) = Q(x') \qquad (x' \in E') .

Nếu các công thức này đúng với một phần tử x′x' của E′E', thì chúng đúng với mọi bội của nó t⋅x′t \cdot x' (với tt thực). Vì vậy, ta có thể bằng lòng với việc thiết lập chúng khi Q(x′)Q(x') bằng 0 hoặc 1.

a) Giả sử Q(x′)=0Q(x') = 0. Độ đo x′(μ)x'(\mu) bằng γ0=ε0\gamma_0 = \varepsilon_0, do đó x′x' bằng không μ\mu-hầu khắp nơi; khi đó các công thức (16) đến (19) là hiển nhiên.

b) Giả sử Q(x′)=1Q(x') = 1, do đó x′(μ)=γ1x'(\mu) = \gamma_1. Khi đó

∫E∣⟨x,x′⟩∣ndμ(x)=∫R∣t∣ndγ1(t)=(2π)−1/2∫R∣t∣ne−t2/2dt \int_E |\langle x, x' \rangle|^n d\mu(x) = \int_{\mathbf{R}} |t|^n d\gamma_1(t) = (2\pi)^{-1/2} \int_{\mathbf{R}} |t|^n e^{-t^2/2} dt
và (16) suy ra ngay lập tức từ (6) (No 4, Bổ đề 1). Tương tự, các công thức (17) và (18) suy ra từ (7) và (8). Cuối cùng, (19) thu được bằng cách đặt n=1n = 1 trong (17).

Bây giờ ta có thể chứng minh mệnh đề đảo lại của Hệ quả của Mệnh đề 5.

Mệnh đề 7

Cho E là một không gian lồi địa phương và μ\mu là một tiền độ đo trên E. Giả sử rằng x′(μ)x'(\mu) là một độ đo Gauss trên R\mathbf{R} với mọi x′∈E′x' \in E'. Khi đó μ\mu là một tiền độ đo Gauss trên E.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 6

Được trích dẫn bởi Định nghĩa 1

Với mọi x′∈E′x' \in E', gọi Q(x′)Q(x') là phương sai của độ đo Gauss x′(μ)x'(\mu) trên R\mathbf{R}. Ta có x′(μ)=γQ(x′)x'(\mu) = \gamma_{Q(x')}, do đó

(Fμ)(x′)=∫Reit⋅1dγQ(x′)(t)=e−Q(x′)⋅12/2 (\mathscr{F}\mu)(x') = \int_{\mathbf{R}} e^{it \cdot 1} d\gamma_{Q(x')}(t) = e^{-Q(x') \cdot 1^2 / 2}
theo định nghĩa của Fμ\mathscr{F}\mu (No. 3, công thức (2)). Nói cách khác, Fμ=e−Q/2\mathscr{F}\mu = e^{-Q/2}, và còn phải chứng minh rằng QQ là một dạng toàn phương dương trên E′E'.

Với mọi không gian con tuyến tính đóng V của E có đối chiều hữu hạn, ký hiệu pVp_V là ánh xạ chính tắc từ E lên E/VE/V, ký hiệu μV\mu_V là độ đo pV(μ)p_V(\mu) trên E/VE/V, và đặt QV=Q∘tpVQ_V = Q \circ {}^t p_V. Vì E′=⋃V∈F(E)Im⁡(tpV)E' = \bigcup_{V \in \mathscr{F}(E)} \operatorname{Im}({}^t p_V) và tpV{}^t p_V là đơn ánh, chỉ cần chứng minh rằng QVQ_V là một dạng toàn phương dương trên (E/V)′(E/V)'. Lấy u∈(E/V)′u \in (E/V)' và x′=tpV(u)x' = {}^t p_V(u). Ta có

u(μV)=u(pV(μ))=x′(μ)=γQ(x′); u(\mu_V) = u(p_V(\mu)) = x'(\mu) = \gamma_{Q(x')} ;
Mệnh đề 6 khi đó suy ra
QV(u)=Q(x′)=∫Rt2dγQ(x′)(t)=∫E/Vu(x)2dμV(x), Q_V(u) = Q(x') = \int_{\mathbf{R}} t^2 d\gamma_{Q(x')}(t) = \int_{E/V} u(x)^2 d\mu_V(x),
do đó QVQ_V là một dạng toàn phương dương trên (E/V)′(E/V)'.

6. Các ví dụ về tiền độ đo Gauss

1) Cho E là một không gian Hilbert thực. Ánh xạ x′↦∥x′∥2x' \mapsto \|x'\|^2 là một dạng toàn phương dương trên E′E'. Tiền độ đo Gauss tương ứng được gọi là tiền độ đo Gauss chính tắc trên E. Có thể chứng minh rằng tiền độ đo này không phải là một độ đo nếu E vô hạn chiều.

Cho AA là một toán tử tuyến tính liên tục trên EE. Ánh xạ x′↦∥tA⋅x′∥2x' \mapsto \|{}^tA \cdot x'\|^2 là một dạng toàn phương dương trên E′E'. Tiền độ đo tương ứng μA\mu_A trên EE là một độ đo khi và chỉ khi AA là một toán tử Hilbert–Schmidt (xem No. 11, Hệ quả 2 của Định lý 3).

2) Hạt nhân kiểu dương. Cho TT là một tập hợp và E=RTE = \mathbf{R}^T là không gian vectơ các hàm thực trên TT, được trang bị tôpô của hội tụ từng điểm. Với mọi t∈Tt \in T, ký hiệu εt\varepsilon_t là dạng tuyến tính f↦f(t)f \mapsto f(t) trên EE. Họ (εt)t∈T(\varepsilon_t)_{t \in T} là một cơ sở của E′E' (TVS, II, §6, No. 6, Hệ quả 2 của Mệnh đề 8).

Ta gọi hạt nhân (thực) kiểu dương trên TT là mọi hàm thực KK trên T×TT \times T thỏa mãn các hệ thức

(20)K(t,t′)=K(t′,t)với t,t′ trong T, \text{(20)} \qquad K(t, t') = K(t', t) \quad \text{với } t, t' \text{ trong } T,
(21)∑i,j=1pcicjK(ti,tj)⩾0 \text{(21)} \qquad \sum_{i,j=1}^p c_i c_j K(t_i, t_j) \geqslant 0

với mọi số nguyên dương pp, các phần tử t1,…,tpt_1, \ldots, t_p của TT, và các số thực c1,…,cpc_1, \ldots, c_p. Nếu đúng như vậy, công thức

(22)q(∑t∈Tctεt)=∑t,t′∈Tctct′K(t,t′) \text{(22)} \qquad q\left( \sum_{t \in T} c_t \varepsilon_t \right) = \sum_{t,t' \in T} c_t c_{t'} K(t, t')

xác định một dạng toàn phương dương trên E′E'. Ngược lại, nếu qq là một dạng toàn phương dương trên E′E', thì công thức

(23)K(t,t′)=12[q(εt+εt′)−q(εt)−q(εt′)] \text{(23)} \qquad K(t, t') = \frac{1}{2} [q(\varepsilon_t + \varepsilon_{t'}) - q(\varepsilon_t) - q(\varepsilon_{t'})]

xác định một hạt nhân KK kiểu dương trên TT. Do đó ta thu được hai song ánh nghịch đảo lẫn nhau giữa tập hợp các hạt nhân kiểu dương trên TT và tập hợp các dạng toàn phương dương trên E′E'.

Cho KK là một hạt nhân kiểu dương trên TT, và qq là dạng toàn phương liên kết trên E′E'. Tiền độ đo Gauss trên EE có phương sai qq cũng được gọi là tiền độ đo Gauss trên EE có hiệp phương sai KK. Nếu TT là đếm được, Mệnh đề 2 của No. 1 suy ra rằng tiền độ đo này là một độ đo.

3) Cho TT là một tập hợp đếm được. Một hạt nhân δ\delta trên TT kiểu dương được xác định bằng cách đặt

(24)δ(t,t′)={1neˆˊu t=t′0neˆˊu t≠t′. \text{(24)} \qquad \delta(t, t') = \begin{cases} 1 & \text{nếu } t = t' \\ 0 & \text{nếu } t \neq t'. \end{cases}

Dạng toàn phương tương ứng được cho bởi q(∑t∈Tctεt)=∑t∈Tct2q\left( \sum_{t \in T} c_t \varepsilon_t \right) = \sum_{t \in T} c_t^2. Với mọi t∈Tt \in T, ký hiệu μt\mu_t là độ đo Gauss trên R\mathbf{R} có phương sai 1;

ta dễ dàng chứng minh rằng độ đo Gauss trên RT\mathbf{R}^T có hiệp phương sai δ\delta bằng ⨂t∈Tμt\bigotimes_{t \in T} \mu_t.

4) Cho n≥1n \geq 1 là một số nguyên. Một ma trận vuông C=(cij)C = (c_{ij}) cấp nn được gọi là đối xứng dương nếu nó đối xứng và ∑i,j=1ncijxixj≥0\sum_{i,j=1}^n c_{ij} x_i x_j \geq 0 với mọi số thực x1,…,xnx_1, \ldots, x_n; nói như vậy cũng tương đương với việc ánh xạ (i,j)↦cij(i, j) \mapsto c_{ij} là một hạt nhân kiểu dương trên tập hợp {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}. Do đó ta có thể nói đến độ đo Gauss γC\gamma_C trên Rn\mathbf{R}^n, có hiệp phương sai CC; nó được đặc trưng bởi công thức

(25)∫Rnei(x1t1+⋯+xntn)dγC(t1,…,tn)=exp⁡(−12∑j,k=1ncjkxjxk), (25) \quad \int_{\mathbf{R}^n} e^{i(x_1 t_1 + \cdots + x_n t_n)} d\gamma_C(t_1, \ldots, t_n) = \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^n c_{jk} x_j x_k \right),

với x1,…,xnx_1, \ldots, x_n là các số thực. Từ Mệnh đề 6 của No. 5 (công thức (19)), suy ra

(26)∫RntjtkdγC(t1,…,tn)=cjk(1≤j,k≤n). (26) \quad \int_{\mathbf{R}^n} t_j t_k d\gamma_C(t_1, \ldots, t_n) = c_{jk} \quad (1 \leq j, k \leq n).

Từ Mệnh đề 5 của No. 5, suy ra công thức

(27)u(γC)=γUCtU, (27) \quad u(\gamma_C) = \gamma_{UC^t U},

trong đó uu là một ánh xạ tuyến tính từ Rn\mathbf{R}^n vào Rm\mathbf{R}^m có ma trận là UU. Hơn nữa, ta cũng dễ thấy (xem phần đầu của chứng minh Mệnh đề 4 của No. 5) rằng nếu InI_n là ma trận đơn vị cấp nn, thì độ đo γIn\gamma_{I_n} có mật độ

(2π)−n/2exp⁡(−12(t12+⋯+tn2)) (2\pi)^{-n/2} \exp \left( - \frac{1}{2}(t_1^2 + \cdots + t_n^2) \right)

đối với độ đo Lebesgue λn\lambda_n trên Rn\mathbf{R}^n.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu ma trận CC là khả nghịch, có nghịch đảo D=(djk)D = (d_{jk}), thì

(28)dγC(t1,…,tn)=(2π)−n/2(det⁡D)1/2(exp⁡(−12∑j,k=1ndjktjtk))dt1⋯dtn. (28) \quad d\gamma_C(t_1, \ldots, t_n) = (2\pi)^{-n/2} (\det D)^{1/2} \left( \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^n d_{jk} t_j t_k \right) \right) dt_1 \cdots dt_n.

Vì, nếu CC khả nghịch, thì dạng toàn phương qq trên Rn\mathbf{R}^n được xác định bởi

q(x1,…,xn)=∑j,k=1ncjkxjxk q(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{j,k=1}^n c_{jk} x_j x_k

là không suy biến. Dùng sự tồn tại của một cơ sở của Rn\mathbf{R}^n trực chuẩn đối với qq, người ta chứng minh được sự tồn tại của một ma trận vuông UU cấp nn sao cho C=U⋅tUC = U \cdot {}^tU, do đó γC=u(γIn)\gamma_C = u(\gamma_{I_n}) theo (27) (trong đó uu ký hiệu tự đẳng cấu của Rn\mathbf{R}^n có ma trận là UU). Gọi QQ là dạng toàn phương trên Rn\mathbf{R}^n được xác định bởi

Q(t1,…,tn)=t12+⋯+tn2; Q(t_1, \ldots, t_n) = t_1^2 + \cdots + t_n^2;
khi đó
γIn=(2π)−n/2e−Q/2⋅λn, \gamma_{I_n} = (2\pi)^{-n/2} e^{-Q/2} \cdot \lambda_n,
do đó
u(γIn)=(2π)−n/2e−(Qou−1)/2⋅u(λn). u(\gamma_{I_n}) = (2\pi)^{-n/2} e^{-(Qou^{-1})/2} \cdot u(\lambda_n).
Ngay lập tức thấy rằng dạng toàn phương Q∘u−1Q \circ u^{-1} trên Rn\mathbf{R}^n nhận giá trị ∑j,k=1ndjktjtk\sum_{j,k=1}^n d_{jk} t_j t_k tại điểm (t1,…,tn)(t_1, \ldots, t_n), và Mệnh đề 15 của Ch. VII, §1, No. 10 cho thấy rằng
u(λn)=(det⁡U)−1⋅λn=(det⁡D)1/2⋅λn. u(\lambda_n) = (\det U)^{-1} \cdot \lambda_n = (\det D)^{1/2} \cdot \lambda_n.
Công thức (28) suy ra từ đó.

7. Độ đo Wiener

Trong No. này, ta ký hiệu bởi TT khoảng ]0,1]]0, 1] của R\mathbf{R} và bởi H\mathscr{H} không gian Hilbert các hàm thực trên TT khả tích bình phương đối với độ đo Lebesgue, trong đó tích vô hướng được ký hiệu là (f∣g)(f|g). Ta cũng ký hiệu bởi C\mathscr{C} không gian các hàm thực liên tục trên TT tiến tới 0 tại điểm 0; ta trang bị cho C\mathscr{C} chuẩn ∥f∥=sup⁡t∈T∣f(t)∣\|f\| = \sup_{t \in T} |f(t)|. Khoảng compact [0,1]=T∪{0}[0, 1] = T \cup \{0\} là compact hóa Alexandroff của khoảng địa phương compact nhưng không compact TT; do đó, tập hợp các hàm liên tục trên TT có hỗ compact là trù mật trong C\mathscr{C}, và đối ngẫu của C\mathscr{C} có thể được đồng nhất với không gian M1\mathscr{M}^1 các độ đo bị chặn (không nhất thiết dương) trên TT (Ch. III, §1, No. 8, Định nghĩa 3).

Với mọi hàm f∈Hf \in \mathscr{H}, ta xác định một hàm PfPf trên TT bởi

(Pf)(t)=∫0tf(x) dx=(f∣It), (Pf)(t) = \int_0^t f(x) \, dx = (f|I_t),
trong đó ItI_t là hàm đặc số của khoảng ]0,t]]0, t]. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz kéo theo các bất đẳng thức
∣(Pf)(t)∣≤∥f∥2⋅t1/2 |(Pf)(t)| \leq \|f\|_2 \cdot t^{1/2}
∣(Pf)(t)−(Pf)(t′)∣≤∥f∥2⋅∣t−t′∣1/2; |(Pf)(t) - (Pf)(t')| \leq \|f\|_2 \cdot |t - t'|^{1/2};

do đó, PfPf thuộc C\mathscr{C}, và ánh xạ tuyến tính PP từ H\mathscr{H} vào C\mathscr{C} là liên tục với chuẩn ⩽1\leqslant 1.

Hãy đồng nhất không gian Hilbert H\mathscr{H} với đối ngẫu của nó (TVS, V, §1, No. 7, Định lý 3), và ký hiệu bởi Π:M1→H\Pi : \mathscr{M}^1 \to \mathscr{H} ánh xạ chuyển vị của P:H→CP : \mathscr{H} \to \mathscr{C}. Với mọi độ đo μ∈M1\mu \in \mathscr{M}^1 và mọi hàm f∈Hf \in \mathscr{H}, ta có

(Πμ∣f)=μ(Pf)=∫Tdμ(t)∫TIt(x)f(x) dx (\Pi \mu | f) = \mu(Pf) = \int_{\mathbf{T}} d\mu(t) \int_{\mathbf{T}} I_t(x) f(x) \, dx
=∫Tf(x) dx∫TIt(x) dμ(t) = \int_{\mathbf{T}} f(x) \, dx \int_{\mathbf{T}} I_t(x) \, d\mu(t)

theo định lý Lebesgue–Fubini. Bây giờ,

It(x)={1neˆˊu 0<x≤t≤10neˆˊu khoˆng, I_t(x) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } 0 < x \leq t \leq 1 \\ 0 & \text{nếu không}, \end{cases}

do đó sau cùng

(34)

(Πμ)(x)=μ([x,1])với x∈T. (\Pi \mu)(x) = \mu([x, 1]) \quad \text{với } x \in \mathbf{T}.

Cho μ,ν\mu, \nu thuộc M1\mathscr{M}^1. Khi đó

(Πμ∣Πν)=∫TΠμ(x)Πν(x) dx=∫Tdx∫TIt(x) dμ(t)∫TIt′(x) dν(t′) (\Pi \mu | \Pi \nu) = \int_{\mathbf{T}} \Pi \mu(x) \Pi \nu(x) \, dx = \int_{\mathbf{T}} dx \int_{\mathbf{T}} I_t(x) \, d\mu(t) \int_{\mathbf{T}} I_{t'}(x) \, d\nu(t')
=∫T∫Tdμ(t) dν(t′)∫TIt(x)It′(x) dx. = \int_{\mathbf{T}} \int_{\mathbf{T}} d\mu(t) \, d\nu(t') \int_{\mathbf{T}} I_t(x) I_{t'}(x) \, dx.

Bây giờ, It⋅It′I_t \cdot I_{t'} là hàm đặc trưng của khoảng ]0,t]∩]0,t′]]0, t] \cap ]0, t'], do đó ngay lập tức

(35)

∫TIt(x)It′(x) dx=inf⁡(t,t′). \int_{\mathbf{T}} I_t(x) I_{t'}(x) \, dx = \inf(t, t').

Suy ra rằng

(36)

(Πμ∣Πν)=∫T∫Tinf⁡(t,t′) dμ(t) dν(t′). (\Pi \mu | \Pi \nu) = \int_{\mathbf{T}} \int_{\mathbf{T}} \inf(t, t') \, d\mu(t) \, d\nu(t').

Theo kết quả trước đó, người ta định nghĩa một dạng toàn phương dương WW trên M1\mathscr{M}^1 bởi công thức

(37)

W(μ)=∫T∫Tinf⁡(t,t′) dμ(t) dμ(t′)=∥Πμ∥22. W(\mu) = \int_{\mathbf{T}} \int_{\mathbf{T}} \inf(t, t') \, d\mu(t) \, d\mu(t') = \| \Pi \mu \|_2^2.

Đặc biệt, nếu t1,…,tnt_1, \ldots, t_n là các phần tử của T, và c1,…,cnc_1, \ldots, c_n là các số thực, thì

W(∑j=1ncjεtj)=∑j,k=1ncjckinf⁡(tj,tk) W \left( \sum_{j=1}^n c_j \varepsilon_{t_j} \right) = \sum_{j,k=1}^n c_j c_k \inf(t_j, t_k)
và vì W là dương, hàm (t,t′)↦inf⁡(t,t′)(t, t') \mapsto \inf(t, t') là một hạt nhân kiểu dương trên T.

ĐỊNH LÝ 1 (Wiener). — Cho w là ảnh qua P:H→CP : \mathscr{H} \to \mathscr{C} của tiền độ đo Gauss chính tắc trên không gian Hilbert H\mathscr{H}. Khi đó w là một độ đo Gauss trên C\mathscr{C} có phương sai W.

Theo phép dựng, W(μ)=∥tP(μ)∥22W(\mu) = \|^tP(\mu)\|_2^2; Mệnh đề 5 của No. 5 cho thấy w là một tiền độ đo Gauss có phương sai W. Còn phải chứng minh rằng w là một độ đo trên C\mathscr{C}.

A) Phép dựng một không gian đo được phụ^{(2)} (Ω,m)(\Omega, m): Với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0, ký hiệu bởi DnD_n tập hợp các số có dạng k/2nk/2^n với k=1,2,3,…,2nk = 1, 2, 3, \ldots, 2^n. Đặt D=⋃n⩾0DnD = \bigcup_{n \geqslant 0} D_n (tập hợp các số nhị phân được chứa trong T) và Ω=RD\Omega = \mathbf{R}^D. Với mỗi t∈Dt \in D, ký hiệu bởi X(t)X(t) dạng tuyến tính f↦f(t)f \mapsto f(t) trên Ω\Omega.

Với t,t′t, t' thuộc D, đặt M(t,t′)=inf⁡(t,t′)M(t, t') = \inf(t, t'); ta đã thấy rằng M là một hạt nhân kiểu dương trên D. Vì tập hợp D là đếm được, ta có thể định nghĩa độ đo Gauss m trên Ω\Omega với hiệp phương sai M (No. 6, Ví dụ 2).

Bổ đề 3

Với mọi t,t′t, t' thuộc D,

∫Ω∣X(t+t′2)−X(t)+X(t′)2∣3dm=1(8π)1/2∣t−t′∣3/2. \int_\Omega \left| X\left( \frac{t + t'}{2} \right) - \frac{X(t) + X(t')}{2} \right|^3 dm = \frac{1}{(8\pi)^{1/2}} |t - t'|^{3/2}.
Chú ý rằng t+t′2\frac{t + t'}{2} thuộc D. Ta biết (No. 6, Ví dụ 2) rằng họ (X(t))t∈D(X(t))_{t \in D} là một cơ sở của đối ngẫu tôpô Ω′\Omega' của Ω\Omega; vì thế tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng M^\widehat{M} trên Ω′×Ω′\Omega' \times \Omega' được đặc trưng bởi M^(X(t),X(t′))=inf⁡(t,t′)\widehat{M}(X(t), X(t')) = \inf(t, t'). Theo phép dựng, phương sai của độ đo Gauss m trên Ω\Omega là dạng toàn phương ξ↦M^(ξ,ξ)\xi \mapsto \widehat{M}(\xi, \xi) trên Ω′\Omega'. Đặt, đặc biệt,
ξ=X(t+t′2)−X(t)+X(t′)2; \xi = X\left( \frac{t + t'}{2} \right) - \frac{X(t) + X(t')}{2};
một phép tính dễ dàng cho
M^(ξ,ξ)=∣t−t′∣4. \widehat{M}(\xi, \xi) = \frac{|t - t'|}{4}.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến IX § 2. Các phép toán trên các độ đo, Mệnh đề 6

Được trích dẫn bởi Bổ đề 4

(2) Không gian đo được: một không gian compact địa phương được trang bị một độ đo (Ch. III, ấn bản thứ nhất, §2, No. 2, p. 52).

Theo Mệnh đề 6 của No. 5 (công thức (16)),

∫Ω∣ξ∣3 dm=π−1/223/2Γ(2)M^(ξ,ξ)3/2; \int_{\Omega} |\xi|^3 \, dm = \pi^{-1/2} 2^{3/2} \Gamma(2) \widehat{M}(\xi, \xi)^{3/2};

bổ đề suy ra ngay lập tức từ các công thức (40) và (41).

B) Phép dựng một ánh xạ u từ Ω\Omega vào C\mathscr{C}: Với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0, ký hiệu EnE_n là không gian con của C\mathscr{C} gồm các hàm afin trên mỗi khoảng [k−12n,k2n]\left[ \frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n} \right] với 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2^n. Một hàm afin trên một khoảng compắc I của R\mathbf{R} đạt các cận của nó tại các đầu mút của I; do đó,

∥f∥=sup⁡1⩽k⩽2n∣f(k2n)∣ \|f\| = \sup_{1 \leqslant k \leqslant 2^n} \left| f\left( \frac{k}{2^n} \right) \right|

với f∈Enf \in E_n.

Với mọi hàm g∈Ωg \in \Omega và mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0, tồn tại một và chỉ một hàm un(g)u_n(g) thuộc EnE_n và trùng với gg tại mọi điểm của DnD_n; ta sẽ viết Tng=un+1(g)−un(g)T_n g = u_{n+1}(g) - u_n(g). Vì DnD_n là hữu hạn, ánh xạ TnT_n từ Ω\Omega vào C\mathscr{C} là liên tục, do đó mm-đo được.

Bổ đề 4

— *Với mọi số nguyên n⩾0n \geqslant 0,

∫Ω∥Tng∥3 dm(g)⩽1(8π)1/22−n/2. \int_{\Omega} \|T_n g\|^3 \, dm(g) \leqslant \frac{1}{(8\pi)^{1/2}} 2^{-n/2}.
Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến Bổ đề 3, IV § 3. Các không gian l$^p$, Mệnh đề 6

Cho g∈Ωg \in \Omega và n∈Nn \in \mathbf{N}. Ta có En⊂En+1E_n \subset E_{n+1}; do đó, hàm TngT_n g thuộc En+1E_{n+1} và bằng không tại mọi điểm của DnD_n; vì thế, theo (42),

∥Tng∥3=sup⁡1⩽k⩽2n∣Tng(2k−12n+1)∣3⩽∑k=12n∣Tng(2k−12n+1)∣3. \|T_n g\|^3 = \sup_{1 \leqslant k \leqslant 2^n} \left| T_n g\left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) \right|^3 \leqslant \sum_{k=1}^{2^n} \left| T_n g\left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) \right|^3.

Ta đặt theo quy ước g(0)=0g(0) = 0. Phép dựng un(g)u_n(g) bằng nội suy tuyến tính của gg kéo theo các hệ thức

Tng(2k−12n+1)=g(2k−12n+1)−12(g(k−12n)+g(k2n)) T_n g\left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) = g\left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) - \frac{1}{2} \left( g\left( \frac{k-1}{2^n} \right) + g\left( \frac{k}{2^n} \right) \right)

với 1⩽k⩽2n1 \leqslant k \leqslant 2^n. Từ đó suy ra, bằng cách lấy tích phân,

∫Ω∣Tng(2k−12n+1)∣3 dm(g)=∫Ω∣X(2k−12n+1)−12(X(k−12n)+X(k2n))∣3 dm; \int_{\Omega} \left| T_n g\left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) \right|^3 \, dm(g) = \int_{\Omega} \left| X\left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) - \frac{1}{2} \left( X\left( \frac{k-1}{2^n} \right) + X\left( \frac{k}{2^n} \right) \right) \right|^3 \, dm;

!Hình 1

HÌNH 1

khi đó có thể áp dụng Bổ đề 3 với t=k−12nt = \frac{k-1}{2^n}, t′=k2nt' = \frac{k}{2^n}, do đó

∫Ω∣Tng(2k−12n+1)∣3dm(g)=1(8π)1/22−3n2. \int_{\Omega} \left| T_n g \left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) \right|^3 dm(g) = \frac{1}{(8\pi)^{1/2}} 2^{-\frac{3n}{2}} .

Theo (44), khi đó ta có

∫Ω∥Tng∥3dm(g)≤∑k=12n∫Ω∣Tng(2k−12n+1)∣3dm(g)=1(8π)1/22n⋅2−3n2, \int_{\Omega} \| T_n g \|^3 dm(g) \leq \sum_{k=1}^{2^n} \int_{\Omega} \left| T_n g \left( \frac{2k-1}{2^{n+1}} \right) \right|^3 dm(g) = \frac{1}{(8\pi)^{1/2}} 2^n \cdot 2^{-\frac{3n}{2}} ,

do đó suy ra bổ đề.

Theo Bổ đề 4, ánh xạ TnT_n từ Ω\Omega vào không gian Banach C\mathscr{C} thuộc LC3(Ω,m)L^3_{\mathscr{C}}(\Omega, m) và N3(Tn)≤1(8π)1/6(2−1/6)nN_3(T_n) \leq \frac{1}{(8\pi)^{1/6}} (2^{-1/6})^n, do đó ∑n=0∞N3(Tn)<+∞\sum_{n=0}^{\infty} N_3(T_n) < +\infty. Theo Mệnh đề 6 của Chương IV, §3, No. 3, tồn tại một tập hợp Ω0⊂Ω\Omega_0 \subset \Omega sao cho Ω−Ω0\Omega - \Omega_0 là mm-không đáng kể và sao cho chuỗi ∑n=0∞Tn(g)\sum_{n=0}^{\infty} T_n(g) hội tụ tuyệt đối trong C\mathscr{C} với mọi g∈Ω0g \in \Omega_0. Khi đó ta định nghĩa một ánh xạ mm-đo được uu từ Ω\Omega vào C\mathscr{C} bởi

u(g)={∑n=0∞Tng=lim⁡n→∞un(g)với g∈Ω00với g∈Ω−Ω0. u(g) = \begin{cases} \sum_{n=0}^{\infty} T_n g = \lim_{n \to \infty} u_n(g) & \text{với } g \in \Omega_0 \\ 0 & \text{với } g \in \Omega - \Omega_0 . \end{cases}

Vì un(g)u_n(g) và gg trùng nhau trên Dm⊂DnD_m \subset D_n với 0≤m≤n0 \leq m \leq n, nên ngay lập tức suy ra rằng hạn chế của u(g)u(g) lên DD bằng gg với mọi g∈Ω0g \in \Omega_0.

C) Phép dựng một độ đo Gaussian trên C\mathscr{C}: Cho w′w' là độ đo bị chặn trên C\mathscr{C} là ảnh của mm qua ánh xạ mm-đo được u:Ω→Cu : \Omega \to \mathscr{C}. Ta sẽ chứng minh rằng w′w' là một độ đo Gaussian trên C\mathscr{C}, với phương sai WW, do đó w=w′w = w'. Kí hiệu D\mathscr{D} là không gian con tuyến tính của M1\mathscr{M}^1 sinh bởi các độ đo εt\varepsilon_t khi tt chạy qua DD.

Bổ đề 5

Với mọi độ đo μ∈D\mu \in \mathscr{D},

∫Cei⟨f,μ⟩ dw′(f)=e−W(μ)/2. \int_{\mathscr{C}} e^{i \langle f, \mu \rangle} \, dw'(f) = e^{-W(\mu)/2}.
Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Bổ đề 6

Đặt μ=c1εt1+c2εt2+⋯+cnεtn\mu = c_1 \varepsilon_{t_1} + c_2 \varepsilon_{t_2} + \cdots + c_n \varepsilon_{t_n} với t1,…,tnt_1, \ldots, t_n trong DD và c1,…,cnc_1, \ldots, c_n trong R\mathbf{R}. Với mọi g∈Ω0g \in \Omega_0, hàm u(g)u(g) trùng với gg trên DD; do đó

⟨u(g),μ⟩=∑j=1ncjg(tj)(g∈Ω0). \langle u(g), \mu \rangle = \sum_{j=1}^n c_j g(t_j) \qquad (g \in \Omega_0).

Mặt khác,

W(μ)=∑j,k=1ncjckinf⁡(tj,tk), W(\mu) = \sum_{j,k=1}^n c_j c_k \inf(t_j, t_k),

và, vì mm là độ đo Gaussian trên Ω\Omega với hiệp phương sai MM, và Ω−Ω0\Omega - \Omega_0 là mm-không đáng kể, ta có

∫Ω0ei∑j=1ncjg(tj) dm(g)=exp⁡(−12∑j,k=1ncjckinf⁡(tj,tk)). \int_{\Omega_0} e^{i \sum_{j=1}^n c_j g(t_j)} \, dm(g) = \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^n c_j c_k \inf(t_j, t_k) \right).

Bây giờ, Ω−Ω0\Omega - \Omega_0 là mm-không đáng kể và w′=u(m)w' = u(m); suy ra rằng

∫Cei⟨f,μ⟩ dw′(f)=∫Ω0ei⟨u(g),μ⟩ dm(g). \int_{\mathscr{C}} e^{i \langle f, \mu \rangle} \, dw'(f) = \int_{\Omega_0} e^{i \langle u(g), \mu \rangle} \, dm(g).

Công thức (48) suy ra ngay lập tức từ các công thức (49) đến (52).

Bổ đề 6

Cho μ∈M1\mu \in \mathscr{M}^1. Tồn tại một dãy các độ đo μn∈D\mu_n \in \mathscr{D} sao cho μ(f)=lim⁡n→∞μn(f)\mu(f) = \lim_{n \to \infty} \mu_n(f) với mọi f∈Cf \in \mathscr{C} và W(μ)=lim⁡n→∞W(μn)W(\mu) = \lim_{n \to \infty} W(\mu_n).

Trích dẫn đến 8

Trích dẫn đến Mệnh đề 13, III § 1, Mệnh đề 15, III § 1, Mệnh đề 17, III § 1, Hệ quả 1, III § 2, Hệ quả 2, III § 3, Mệnh đề 6, Định lý 2, IV § 4, Bổ đề 5

Đặt I=[0,1]I = [0, 1]. Không gian M1\mathscr{M}^1 của các độ đo bị chặn trên T=]0,1[T = ]0, 1[ sẽ được đồng nhất với không gian con của M(I)\mathscr{M}(I) gồm các độ đo không đặt trọng số tại 00. (3) Ta trang bị cho M(I)\mathscr{M}(I) tôpô mơ hồ. Ánh xạ

(3) Tức là, các độ đo trên II tập trung trên T=I−{0}T = I - \{0\}.

Ánh xạ t↦εtt \mapsto \varepsilon_t từ II vào M(I)\mathscr{M}(I) là liên tục (Ch. III, §1, No. 9, Mệnh đề 13); vì D trù mật trong I, bao đóng D‾\overline{\mathscr{D}} của D\mathscr{D} chứa tất cả các độ đo điểm. Đặt A là tập các độ đo ν∈D\nu \in \mathscr{D} sao cho ∥ν∥≤∥μ∥\| \nu \| \leq \| \mu \|; độ đo μ\mu nằm trong bao đóng của A (Ch. III, §2, No. 4, Hệ quả 1 của Định lý 1). Tập A tương đối compact trong M(I)\mathscr{M}(I) (Ch. III, §1, No. 9, Mệnh đề 15) và các tập con compact của M(I)\mathscr{M}(I) đều khả metric (TVS, III, §3, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 6,(4) và GT, X, §3, No. 3, Định lý 1). Vì thế tồn tại một dãy độ đo μn∈A\mu_n \in A hội tụ đến μ\mu trong M(I)\mathscr{M}(I). Vì C\mathscr{C} được đồng nhất với không gian con các hàm liên tục trên I bằng không tại gốc, ta có μ(f)=lim⁡n→∞μn(f)\mu(f) = \lim_{n \to \infty} \mu_n(f) với mọi f∈Cf \in \mathscr{C}. Hơn nữa, vì C(I)⊗C(I)\mathscr{C}(I) \otimes \mathscr{C}(I) trù mật trong không gian chuẩn C(I×I)\mathscr{C}(I \times I) (Ch. III, §4, No. 1, Bổ đề 1), các quan hệ lim⁡n→∞μn=μ\lim_{n \to \infty} \mu_n = \mu và ∥μn∥≤∥μ∥\| \mu_n \| \leq \| \mu \| suy ra lim⁡n→∞(μn⊗μn)=μ⊗μ\lim_{n \to \infty} (\mu_n \otimes \mu_n) = \mu \otimes \mu (Ch. III, §1, No. 10, Mệnh đề 17); vì các độ đo μn\mu_n và μ\mu không đặt trọng số tại 0, ta có

W(μn)=∫I∫Iinf⁡(t,t′)dμn(t)dμn(t′), W(\mu_n) = \int_I \int_I \inf(t, t') d\mu_n(t) d\mu_n(t'),
W(μ)=∫I∫Iinf⁡(t,t′)dμ(t)dμ(t′), W(\mu) = \int_I \int_I \inf(t, t') d\mu(t) d\mu(t'),

do đó lim⁡n→∞W(μn)=W(μ)\lim_{n \to \infty} W(\mu_n) = W(\mu).

Còn phải chứng minh rằng biến đổi Fourier của w′w' bằng e−W/2e^{-W/2}. Cho μ∈M1\mu \in \mathscr{M}^1; chọn các độ đo μn∈D\mu_n \in \mathscr{D} như trong Bổ đề 6. Độ đo w′w' bị chặn, và ∣ei⟨f,μn⟩∣=1|e^{i \langle f, \mu_n \rangle}| = 1 với mọi nn; Bổ đề 5 và định lý hội tụ của Lebesgue (Ch. IV, §4, No. 3, Định lý 2) suy ra

∫Cei⟨f,μ⟩dw′(f)=lim⁡n→∞∫Cei⟨f,μn⟩dw′(f)=lim⁡n→∞e−W(μn)/2=e−W(μ)/2. \int_{\mathscr{C}} e^{i \langle f, \mu \rangle} dw'(f) = \lim_{n \to \infty} \int_{\mathscr{C}} e^{i \langle f, \mu_n \rangle} dw'(f) = \lim_{n \to \infty} e^{-W(\mu_n)/2} = e^{-W(\mu)/2}.

Q.E.D.

Độ đo ww trên C\mathscr{C} có biến đổi Fourier bằng e−W/2e^{-W/2} được gọi là độ đo Wiener trên C\mathscr{C}.

Nhận xét

— Với mọi khoảng nửa mở J=]a,b]J = ]a, b] được chứa trong T, ta đặt l(J)=b−al(J) = b - a (độ dài của J) và ký hiệu AJA_J là dạng tuyến tính f↦f(b)−f(a)f \mapsto f(b) - f(a) trên C\mathscr{C}. Có thể chứng minh rằng độ đo Wiener được đặc trưng bởi tính chất sau:

Cho J1,…,JnJ_1, \ldots, J_n là các khoảng nửa mở được chứa trong T và rời nhau từng đôi một. Ảnh của độ đo w qua ánh xạ tuyến tính f↦(AJ1(f),…,AJn(f))f \mapsto (A_{J_1}(f), \ldots, A_{J_n}(f)) từ C\mathscr{C} vào Rn\mathbf{R}^n bằng γa1⊗⋯⊗γan\gamma_{a_1} \otimes \cdots \otimes \gamma_{a_n} với ai=l(Ji)1/2a_i = l(J_i)^{1/2} cho 1≤i≤n1 \leq i \leq n.

8. Tính liên tục của biến đổi Fourier

Mệnh đề 8

— Cho E là một không gian lồi địa phương, μ\mu là một tiền độ đo trên E, và Φ\Phi là biến đổi Fourier của μ\mu. Ta có các bất đẳng thức

∣Φ(x′)∣≤Φ(0) |\Phi(x')| \leq \Phi(0)
∣Φ(x′)−Φ(y′)∣2≤2Φ(0)(Φ(0)−ℜΦ(x′−y′)) |\Phi(x') - \Phi(y')|^2 \leq 2\Phi(0)\left(\Phi(0) - \Re \Phi(x' - y')\right)

với x′,y′x', y' trong E′E'.

Được trích dẫn bởi 4

Được trích dẫn bởi § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương, Mệnh đề 2, Mệnh đề 3, Định lý 2 (Minlos)

Công thức (5) của No. 3 cho phép rút về trường hợp E hữu hạn chiều và μ\mu là một độ đo. Khi đó

∣Φ(x′)∣=∣∫Eei⟨x,x′⟩dμ(x)∣≤∫E∣ei⟨x,x′⟩∣dμ(x)=∫Edμ(x)=Φ(0), |\Phi(x')| = \left| \int_E e^{i\langle x, x' \rangle} d\mu(x) \right| \leq \int_E |e^{i\langle x, x' \rangle}| d\mu(x) = \int_E d\mu(x) = \Phi(0),

do đó (53). Hơn nữa, nếu aa và bb là các số thực, thì

∣eia−eib∣2=∣eib∣2∣ei(a−b)−1∣2=(ei(a−b)−1)(e−i(a−b)−1)=2−2cos⁡(a−b); |e^{ia} - e^{ib}|^2 = |e^{ib}|^2|e^{i(a-b)} - 1|^2 = (e^{i(a-b)} - 1)(e^{-i(a-b)} - 1) = 2 - 2\cos(a - b);

theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có

∣Φ(x′)−Φ(y′)∣2=∣∫E(ei⟨x,x′⟩−ei⟨x,y′⟩)dμ(x)∣2 |\Phi(x') - \Phi(y')|^2 = \left| \int_E (e^{i\langle x, x' \rangle} - e^{i\langle x, y' \rangle}) d\mu(x) \right|^2
≤∫E∣ei⟨x,x′⟩−ei⟨x,y′⟩∣2dμ(x)∫E12dμ(x) \leq \int_E |e^{i\langle x, x' \rangle} - e^{i\langle x, y' \rangle}|^2 d\mu(x) \int_E 1^2 d\mu(x)
=∫E(2−2cos⁡⟨x,x′−y′⟩))dμ(x)⋅Φ(0) = \int_E (2 - 2\cos\langle x, x' - y' \rangle)) d\mu(x) \cdot \Phi(0)
=2Φ(0)(Φ(0)−ℜΦ(x′−y′)), = 2\Phi(0)\left(\Phi(0) - \Re \Phi(x' - y')\right),

do đó (54).

Hệ quả

— Trang bị cho E′E' một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của nó. Để Φ\Phi liên tục, điều kiện cần và đủ là phần thực ℜΦ\Re \Phi của nó liên tục tại gốc, khi đó Φ\Phi liên tục đều.

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 9

Điều này suy ra từ bất đẳng thức (54).

Cho F là một không gian lồi địa phương. Ta trang bị cho đối ngẫu F′F' của F một tôpô tương thích với tính đối ngẫu giữa F và F′F', và đồng nhất F với đối ngẫu của F′F'. Do đó, biến đổi Fourier của một độ đo bị chặn μ\mu trên F′F' là hàm Fμ\mathscr{F}\mu trên F được xác định bởi

(Fμ)(x)=∫F′ei⟨x,x′⟩dμ(x′). (\mathscr{F}\mu)(x) = \int_{F'} e^{i\langle x, x' \rangle} d\mu(x').

Mệnh đề 9

— Nếu F là barreled, thì biến đổi Fourier của mọi độ đo bị chặn trên F' là một hàm liên tục đều trên F.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Định lý 1, III § 4, Hệ quả

Được trích dẫn bởi Hệ quả, Mệnh đề 11

Cho μ\mu là một độ đo bị chặn trên F′F' và Φ\Phi là biến đổi Fourier của nó. Cho ε>0\varepsilon > 0. Tồn tại một tập con compact K của F′F' sao cho μ(F′−K)≤ε\mu(F' - K) \leq \varepsilon. Bây giờ, K là compact đối với tôpô yếu σ(F′,F)\sigma(F', F), do đó là đều liên tục vì F là barreled (TVS, III, §4, No. 2, Định lý 1). Vì thế tồn tại một lân cận đối xứng U của 0 trong F sao cho cực U∘U^\circ chứa K. Lấy x thuộc εU\varepsilon U; khi đó

Φ(0)−ℜΦ(x)=∫F′(1−cos⁡⟨x,x′⟩)dμ(x′). \Phi(0) - \Re \Phi(x) = \int_{F'} (1 - \cos \langle x, x' \rangle) d\mu(x').

Khi đó, 0≤1−cos⁡⟨x,x′⟩≤20 \leq 1 - \cos \langle x, x' \rangle \leq 2 với mọi x′∈F′−Kx' \in F' - K, và

1−cos⁡⟨x,x′⟩≤12⟨x,x′⟩2≤ε22 1 - \cos \langle x, x' \rangle \leq \frac{1}{2} \langle x, x' \rangle^2 \leq \frac{\varepsilon^2}{2}

với x′∈K⊂U∘x' \in K \subset U^\circ; suy ra rằng

0≤Φ(0)−ℜΦ(x)≤2μ(F′−K)+ε22μ(K)≤2ε+ε22μ(F′). 0 \leq \Phi(0) - \Re \Phi(x) \leq 2 \mu(F' - K) + \frac{\varepsilon^2}{2} \mu(K) \leq 2\varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{2} \mu(F').

Vế thứ hai của bất đẳng thức này tiến tới 0 khi ε\varepsilon tiến tới 0; do đó ℜΦ\Re \Phi liên tục tại 0 và mệnh đề suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 8.

9. Bổ đề Minlos

Cho T là một không gian vectơ hữu hạn chiều và μ\mu là một độ đo bị chặn trên T′T'; ta sẽ đồng nhất T với đối ngẫu của T′T', sao cho biến đổi Fourier Φ\Phi của μ\mu là một hàm trên T. Giả sử cho trước hai dạng toàn phương dương h và q trên T và một số ε>0\varepsilon > 0. Với mọi số thực r>0r > 0, ta ký hiệu CrC_r là tập hợp các x′∈T′x' \in T' sao cho ⟨x,x′⟩2≤r2h(x)\langle x, x' \rangle^2 \leq r^2 h(x) với mọi x∈Tx \in T.

Mệnh đề 10

— *Dưới giả thiết Φ(0)−ℜΦ≤ε+q\Phi(0) - \Re \Phi \leq \varepsilon + q, ta có

μ(T′−Cr)≤3(ε+r−2Tr⁡(q/h)) \mu(T' - C_r) \leq 3 (\varepsilon + r^{-2} \operatorname{Tr}(q/h))
Trích dẫn đến 3 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Bổ đề 2, Bổ đề 1, Mệnh đề 2

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 3, IX § 3, Định lý 2 (Minlos)

với mọi r>0r > 0.

Ta viết Tr⁡(q/h)\operatorname{Tr}(q/h) để chỉ vết của q theo h (xem Phụ lục, No. 1). Công thức (55) là tầm thường khi Tr⁡(q/h)\operatorname{Tr}(q/h) vô hạn. Từ đây trở đi, ta giả sử rằng Tr⁡(q/h)\operatorname{Tr}(q/h) là hữu hạn, do đó h(x)=0h(x) = 0 kéo theo q(x)=0q(x) = 0 với x∈Tx \in T.

Cho a1,…,ana_1, \ldots, a_n là các phần tử của TT, và DD là tập hợp các x′∈T′x' \in T' sao cho ∑j=1n⟨aj,x′⟩2>1\sum_{j=1}^n \langle a_j, x' \rangle^2 > 1. Với mọi số thực t≥0t \geq 0 ta có 3(1−e−t/2)≥03(1 - e^{-t/2}) \geq 0, và thậm chí còn có

3(1−e−t/2)≥3(1−e−1/2)≥3(1−(94)−1/2)=1 3(1 - e^{-t/2}) \geq 3(1 - e^{-1/2}) \geq 3\left(1 - \left(\frac{9}{4}\right)^{-1/2}\right) = 1

với t>1t > 1, vì e>94e > \frac{9}{4}. Áp dụng các bất đẳng thức này cho t=∑j=1n⟨aj,x′⟩2t = \sum_{j=1}^n \langle a_j, x' \rangle^2, ta được

μ(D)≤3∫T′(1−exp⁡(−12∑j=1n⟨aj,x′⟩2))dμ(x′). \mu(D) \leq 3 \int_{T'} \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \langle a_j, x' \rangle^2\right)\right) d\mu(x').

Cho γ\gamma là độ đo trên R\mathbf{R} có mật độ t↦(2π)−1/2e−t2/2t \mapsto (2\pi)^{-1/2} e^{-t^2/2} đối với độ đo Lebesgue. Theo Bổ đề 2 của No. 4,

∫Reiutdγ(t)=e−u2/2 \int_{\mathbf{R}} e^{iut} d\gamma(t) = e^{-u^2/2}

với mọi số thực uu. Do đó,

1−exp⁡(−12∑j=1n⟨aj,x′⟩2)=∫⋯∫(1−ei∑j=1n⟨aj,x′⟩tj)dγ(t1)⋯dγ(tn) \begin{align*} 1 - \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \langle a_j, x' \rangle^2\right) \\ &= \int \cdots \int \left(1 - e^{i \sum_{j=1}^n \langle a_j, x' \rangle t_j}\right) d\gamma(t_1) \cdots d\gamma(t_n) \end{align*}

với mọi x′∈T′x' \in T'. Hàm của x′,t1,…,tnx', t_1, \ldots, t_n cần được lấy tích phân ở vế thứ hai là liên tục và bị chặn trên về trị tuyệt đối bởi 2, và các độ đo μ\mu và γ\gamma là bị chặn; do đó ta có thể lấy tích phân hai vế của (57) đối với dμ(x′)d\mu(x') và đổi thứ tự các phép lấy tích phân đối với μ\mu và γ\gamma; ta được

∫T′(1−exp⁡(−12∑j=1n⟨aj,x′⟩2))dμ(x′)=∫⋯∫(Φ(0)−Φ(∑j=1ntjaj))dγ(t1)⋯dγ(tn). \begin{align*} \int_{T'} \left(1 - \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \langle a_j, x' \rangle^2\right)\right) d\mu(x') \\ &= \int \cdots \int \left(\Phi(0) - \Phi\left(\sum_{j=1}^n t_j a_j\right)\right) d\gamma(t_1) \cdots d\gamma(t_n). \end{align*}

Vì qq là một dạng toàn phương trên TT, tồn tại các số thực qjkq_{jk} sao cho

q(∑j=1ntjaj)=∑j,kqjktjtk q \left( \sum_{j=1}^n t_j a_j \right) = \sum_{j,k} q_{jk} t_j t_k
với t1,…,tnt_1, \ldots, t_n thực; đặc biệt, qjj=q(aj)q_{jj} = q(a_j) với 1≤j≤n1 \leq j \leq n. Hơn nữa, tích phân ∫Rtndγ(t)\int_{\mathbf{R}} t^n d\gamma(t) nhận các giá trị 1, 0, 1 tương ứng với n=0,1,2n = 0, 1, 2 (No. 4, Bổ đề 1). Từ đó, ta suy ra ngay lập tức
∫⋯∫(ε+q(∑j=1ntjaj))dγ(t1)…dγ(tn)=ε+∑j=1nq(aj). \int \cdots \int \left( \varepsilon + q \left( \sum_{j=1}^n t_j a_j \right) \right) d\gamma(t_1) \ldots d\gamma(t_n) = \varepsilon + \sum_{j=1}^n q(a_j).
Bây giờ, vế thứ nhất của (58) và Φ(0)\Phi(0) là các số thực; do đó ta có thể thay thế Φ\Phi bằng ℜΦ\Re \Phi trong vế thứ hai của (58). Bất đẳng thức Φ(0)−ℜΦ≤ε+q\Phi(0) - \Re \Phi \leq \varepsilon + q và các công thức (56), (58) và (59) khi đó suy ra
μ(D)≤3(ε+∑j=1nq(aj)). \mu(D) \leq 3 \left( \varepsilon + \sum_{j=1}^n q(a_j) \right).
Cố định số r>0r > 0. Vì dạng toàn phương hh là dương, tồn tại một cơ sở (e1,…,en)(e_1, \ldots, e_n) của TT và một số nguyên mm nằm giữa 0 và nn sao cho
h(∑j=1ntjej)=∑j=1mtj2 h \left( \sum_{j=1}^n t_j e_j \right) = \sum_{j=1}^m t_j^2
với t1,…,tnt_1, \ldots, t_n thực (Phụ lục, No. 1, Mệnh đề 2). Khi đó ngay lập tức thấy rằng CrC_r gồm các x′∈T′x' \in T' sao cho
∑j=1m⟨ej,x′⟩2≤r2,∑j=m+1n⟨ej,x′⟩2=0. \sum_{j=1}^m \langle e_j, x' \rangle^2 \leq r^2, \qquad \sum_{j=m+1}^n \langle e_j, x' \rangle^2 = 0.
Với mọi số nguyên l≥1l \geq 1, cho DlD_l là tập hợp các x′∈T′x' \in T' thỏa mãn bất đẳng thức
∑j=1m⟨r−1ej,x′⟩2+∑j=m+1n⟨lej,x′⟩2>1. \sum_{j=1}^m \langle r^{-1} e_j, x' \rangle^2 + \sum_{j=m+1}^n \langle l e_j, x' \rangle^2 > 1.
Dễ thấy rằng dãy (Dl)l≥1(D_l)_{l \geq 1} là tăng với hợp là T′−CrT' - C_r, do đó
μ(T′−Cr)=lim⁡l→∞μ(Dl). \mu(T' - C_r) = \lim_{l \to \infty} \mu(D_l).

Nhưng theo (60),

μ(Dl)≤3(ε+∑j=1mr−2q(ej)+∑j=m+1nl2q(ej)); \mu(D_l) \leq 3 \left( \varepsilon + \sum_{j=1}^m r^{-2} q(e_j) + \sum_{j=m+1}^n l^2 q(e_j) \right);

với j=m+1,…,nj = m+1, \ldots, n ta có h(ej)=0h(e_j) = 0, do đó q(ej)=0q(e_j) = 0. Hơn nữa, Tr⁡(q/h)=∑j=1mq(ej)\operatorname{Tr}(q/h) = \sum_{j=1}^m q(e_j) (Phụ lục, No. 1, Mệnh đề 2). Khi đó quan hệ (55) suy ra từ (61) và (62).

Q.E.D.

10. Các độ đo trên đối ngẫu của một không gian hạt nhân

Cho F là một không gian lồi địa phương. Gọi Ts\mathscr{T}_s là tôpô yếu σ(F′,F)\sigma(F', F) trên F′F', và Tc\mathscr{T}_c là tôpô của sự hội tụ đều trên các tập con compact lồi của F. Theo định lý Mackey (TVS, IV, §1, No. 1, Định lý 1), các tôpô Ts\mathscr{T}_s và Tc\mathscr{T}_c trên F′F' tương thích với tính đối ngẫu giữa F và F′F'; do đó điều tương tự cũng đúng với mọi tôpô lồi địa phương T\mathscr{T} trên F′F' nằm giữa Ts\mathscr{T}_s và Tc\mathscr{T}_c. Nếu T\mathscr{T} là một tôpô như vậy, và FT′F'_{\mathscr{T}} ký hiệu không gian F′F' được trang bị T\mathscr{T}, thì ta sẽ đồng nhất F với đối ngẫu của FT′F'_{\mathscr{T}}. Vì thế các tiền độ đo trên F′F' là như nhau đối với mọi tôpô T\mathscr{T} thuộc kiểu nói trên, và nếu μ\mu là một tiền độ đo như vậy thì biến đổi Fourier của nó là một hàm trên F.

Người ta gọi tôpô Sazonov trên F là tôpô lồi địa phương S\mathscr{S} được xác định bởi các nửa chuẩn liên tục N thỏa mãn điều kiện sau: N2N^2 là một dạng toàn phương dương trên F và tồn tại một dạng toàn phương dương liên tục H trên F sao cho Tr⁡(N2/H)<+∞\operatorname{Tr}(N^2/H) < +\infty. Tôpô S\mathscr{S} thô hơn tôpô đã cho trên F; nếu hai tôpô này trùng nhau thì F được gọi là hạt nhân. Lớp không gian này sẽ được nghiên cứu chi tiết về sau.

Định lý 2 (Minlos)

— *Cho F là một không gian lồi địa phương, T\mathscr{T} là một tôpô lồi địa phương trên F′F' nằm giữa Ts\mathscr{T}_s và Tc\mathscr{T}_c, và μ\mu là một tiền độ đo trên FT′F'_{\mathscr{T}}. Giả sử biến đổi Fourier Φ\Phi của μ\mu liên tục trên F đối với tôpô Sazonov. Khi đó μ\mu là một độ đo trên FT′F'_{\mathscr{T}}.

Trích dẫn đến 3 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 8, Mệnh đề 10, Mệnh đề 1

Được trích dẫn bởi § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương, Hệ quả

Cho ε>0\varepsilon > 0. Vì Φ\Phi liên tục đối với tôpô Sazonov trên F, nên tồn tại hai dạng toàn phương dương liên tục Q và H trên F sao cho Tr⁡(Q/H)<+∞\operatorname{Tr}(Q/H) < +\infty và

Φ(0)−RΦ(x)≤ε/6 \Phi(0) - \mathscr{R}\Phi(x) \leq \varepsilon/6

với mọi x∈Fx \in F sao cho Q(x)≤1Q(x) \leq 1. Theo Mệnh đề 8 của No. 8, ∣RΦ(x)∣≤Φ(0)|\mathscr{R}\Phi(x)| \leq \Phi(0) với mọi x∈Fx \in F, do đó

Φ(0)−RΦ(x)≤ε/6+2Φ(0)Q(x) \Phi(0) - \mathscr{R}\Phi(x) \leq \varepsilon/6 + 2\Phi(0)Q(x)

với mọi x∈Fx \in F.

Đặt r=(12Φ(0)Tr⁡(Q/H)ε−1)1/2r = (12\Phi(0)\operatorname{Tr}(Q/H)\varepsilon^{-1})^{1/2} và ký hiệu bởi K tập hợp các x′∈FT′x' \in F'_\mathscr{T} sao cho ⟨x,x′⟩2≤r2H(x)\langle x, x' \rangle^2 \leq r^2 H(x) với mọi x∈Fx \in F. Vì H1/2H^{1/2} là một nửa chuẩn liên tục trên FF, tập K là đồng liên tục và đóng trong FT′F'_\mathscr{T}; do đó nó là compact trong FT′F'_\mathscr{T} theo định lý Ascoli (GT, X, §2, No. 5, Hệ quả 1 của Định lý 2).

Cho V là một không gian con tuyến tính đóng của FT′F'_\mathscr{T} với đối chiều hữu hạn; khi đó, V là phần trực giao của một không gian con tuyến tính hữu hạn chiều T của F. Cho μV\mu_V là độ đo trên T′T' là ảnh của tiền độ đo μ\mu trên FT′F'_\mathscr{T} qua ánh xạ pVp_V là chuyển vị của đơn ánh chính tắc của T vào F; biến đổi Fourier của nó là sự hạn chế của Φ\Phi lên T. Cuối cùng, theo định lý Hahn–Banach (TVS, II, §3, No. 2, Hệ quả 1 của Định lý 1), pV(K)p_V(K) bằng tập hợp CrC_r của các x′∈T′x' \in T' sao cho ⟨x,x′⟩2≤r2H(x)\langle x, x' \rangle^2 \leq r^2 H(x) với mọi x∈Tx \in T. Theo bất đẳng thức (63), ta có thể áp dụng Mệnh đề 10 của No. 9 cho độ đo μV\mu_V trên T′T', khi lấy q là sự hạn chế của 2Φ(0)Q2\Phi(0)Q lên T và h là của H. Khi đó, Tr⁡(q/h)≤2Φ(0)Tr⁡Q/H)\operatorname{Tr}(q/h) \leq 2\Phi(0)\operatorname{Tr}Q/H), do đó

μV(T′−Cr)≤3(ε6+2Φ(0)Tr⁡(Q/H) r−2)=ε. \mu_V(T' - C_r) \leq 3 \left( \frac{\varepsilon}{6} + 2\Phi(0)\operatorname{Tr}(Q/H)\,r^{-2} \right) = \varepsilon.

Vì pVp_V, qua phép đi qua thương, xác định một đẳng cấu của FT′/VF'_\mathscr{T}/V lên T′T', Mệnh đề 1 của No. 1 suy ra rằng μ\mu là một độ đo trên FT′F'_\mathscr{T}.

Q.E.D.

Hệ quả

— *Cho F là một không gian barreled hạt nhân, T\mathscr{T} là một tôpô lồi địa phương trên F′F' trung gian giữa Ts\mathscr{T}_s và Tc\mathscr{T}_c, μ\mu là một tiền độ đo trên FT′F'_\mathscr{T}, và Φ\Phi là biến đổi Fourier của μ\mu. Để μ\mu là một độ đo, điều kiện cần và đủ là Φ\Phi liên tục trên F.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 9, Định lý 2 (Minlos)

Được trích dẫn bởi Hệ quả

Điều kiện cần suy ra từ Mệnh đề 9 của No. 8 và điều kiện đủ từ Định lý 2.

Nhận xét

— Cho F là một không gian barreled và T\mathscr{T} là một tôpô lồi địa phương trên F′F' trung gian giữa Ts\mathscr{T}_s và Tc\mathscr{T}_c. Mọi tập con của F′F' compact đối với T\mathscr{T} đều compact đối với tôpô yếu hơn Ts\mathscr{T}_s. Ngược lại, cho K là một tập con của F′F' compact đối với Ts\mathscr{T}_s. Vì F là barreled, K là đều liên tục (TVS, III, §4, No. 2, Định lý 1); nhưng theo định lý Ascoli, mọi tập con đều liên tục của F′F' đều tương đối compact đối với Tc\mathscr{T}_c và a fortiori đối với T\mathscr{T}, do đó K được chứa trong một tập con của F′F' compact đối với T\mathscr{T}. Không khó suy ra từ đó rằng ánh xạ đồng nhất của FT′F'_\mathscr{T} lên FTs′F'_{\mathscr{T}_s} xác định một song ánh giữa các tập hợp các độ đo trên hai không gian này.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Định lý 1, III § 4

11. Các độ đo trên một không gian Hilbert

Cho E là một không gian Hilbert thực, trong đó tích vô hướng được ký hiệu bởi (x∣y)(x|y). Tồn tại một đẳng cấu j của E lên đối ngẫu E′E', được đặc trưng bởi công thức ⟨x,j(y)⟩=(x∣y)\langle x, j(y) \rangle = (x|y) với x,yx, y trong E (TVS, V, §1, No. 7, Định lý 3). Ta sẽ đồng nhất E và E′E' nhờ j. Vì thế biến đổi Fourier của một tiền độ đo μ\mu trên E là một hàm Fμ\mathscr{F}\mu trên E; khi μ\mu là một độ đo, ta có

(64)(64)
(Fμ)(x)=∫Eei(x∣y)dμ(y)(x∈E).(\mathscr{F}\mu)(x) = \int_{E} e^{i(x|y)} d\mu(y) \quad (x \in E).

Định lý 3 (Prokhorov–Sazonov) — Cho E là một không gian Hilbert và Es là không gian E được trang bị tôpô yếu hơn. Cho μ là một tiền độ đo trên E, và Φ là biến đổi Fourier của nó. Các điều kiện sau là tương đương:

a) Hàm Φ liên tục trên E theo tôpô Sazonov.

b) Với mọi ε > 0, tồn tại một dạng toàn phương dương hạt nhân Q trên E sao cho Φ(0) − ℜΦ\Re \Phi ≤ ε + Q.

c) Tiền độ đo μ là một độ đo trên Es.

b)⇒a)b) \Rightarrow a): Điều này suy ra từ Mệnh đề 8 của No. 8 (xem bất đẳng thức (54)).

a)⇒c)a) \Rightarrow c): Điều này suy ra từ Định lý 2 của No. 10.

c)⇒b)c) \Rightarrow b): Giả sử rằng μ là một độ đo trên Es. Cho ε > 0. Với mọi số nguyên n≥1n \geq 1, tập BnB_n các x∈Ex \in E có chuẩn ≤n\leq n là một tập con đóng của EsE_s, và E=⋃n≥1BnE = \bigcup_{n \geq 1} B_n. Do đó tồn tại một số nguyên n≥1n \geq 1 sao cho μ(E−Bn)<ε2\mu(E - B_n) < \frac{\varepsilon}{2}. Công thức

(65)(65)
Q(x)=12∫Bn(x∣y)2dμ(y) Q(x) = \frac{1}{2} \int_{B_n} (x|y)^2 d\mu(y)

xác định một dạng toàn phương dương Q trên E. Đặt C=n22μ(Bn)C = \frac{n^2}{2} \mu(B_n). Nếu (e1,…,ep)(e_1, \ldots, e_p) là một dãy trực chuẩn hữu hạn trong E, thì

∑j=1p(ej∣y)2≤∥y∥2≤n2 \sum_{j=1}^p (e_j|y)^2 \leq \|y\|^2 \leq n^2

với mọi y∈Bny \in B_n theo bất đẳng thức Bessel. Suy ra bằng cách lấy tích phân rằng

∑j=1pQ(ej)=12∫Bn∑j=1p(ej∣y)2dμ(y)≤n22μ(Bn)=C, \sum_{j=1}^p Q(e_j) = \frac{1}{2} \int_{B_n} \sum_{j=1}^p (e_j|y)^2 d\mu(y) \leq \frac{n^2}{2} \mu(B_n) = C,

vì thế Q là hạch.

Hơn nữa, 1−cos⁡t≤inf⁡(2,t22)1 - \cos t \leq \inf \left( 2, \frac{t^2}{2} \right) với mọi số thực t, do đó

Φ(0)−ℜΦ(x)=∫E(1−cos⁡(x∣y))dμ(y) \Phi(0) - \Re \Phi(x) = \int_{E} (1 - \cos(x|y)) d\mu(y)
≤∫Bn12(x∣y)2dμ(y)+∫E−Bn2⋅dμ(y) \leq \int_{B_n} \frac{1}{2}(x|y)^2 d\mu(y) + \int_{E - B_n} 2 \cdot d\mu(y)
<Q(x)+ε < Q(x) + \varepsilon

với mọi x∈Ex \in E. Vậy b) được kiểm tra.

Q.E.D.

Hệ quả 1

— *Cho E1E_1 và E2E_2 là hai không gian Hilbert, uu là một ánh xạ Hilbert–Schmidt từ E1E_1 vào E2E_2, và μ\mu là một promeasure trên E1E_1. Giả sử rằng biến đổi Fourier Φ\Phi của μ\mu liên tục trên E1E_1. Khi đó promeasure ν=u(μ)\nu = u(\mu) là một độ đo trên E2E_2 được trang bị tôpô yếu.

Được trích dẫn bởi 4

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 10, IX § 5, Định lý 2, IX § 5, Ví dụ 8, VII § 3, Mệnh đề 1, VII § 3

Với các đồng nhất hóa của E1E_1 và E2E_2 với các đối ngẫu của chúng được đưa vào trong No. này, biến đổi Fourier của ν\nu bằng Φ∘u∗\Phi \circ u^*, trong đó u∗u^* là liên hợp của uu. Mà u∗u^* là một ánh xạ Hilbert–Schmidt từ E2E_2 vào E1E_1 (Phụ lục, No. 2), và do đó dạng toàn phương y↦∥u∗(y)∥2y \mapsto \|u^*(y)\|^2 trên E2E_2 là hạch. Nếu (E2)S(E_2)_\mathscr{S} ký hiệu E2E_2 được trang bị tôpô Sazonov, thì u∗u^* do đó là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ (E2)S(E_2)_\mathscr{S} vào E1E_1, và FV=Φ∘u∗\mathscr{F}_V = \Phi \circ u^* liên tục trên (E2)S(E_2)_\mathscr{S}; khi đó Định lý 3 cho thấy rằng ν\nu là một độ đo trên không gian E2E_2 được trang bị tôpô yếu.

Hệ quả 2

— *Cho QQ là một dạng toàn phương dương hạch trên không gian Hilbert EE. Promeasure Gauss ΓQ\Gamma_Q trên EE có phương sai QQ là một độ đo trên EsE_s.

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi § 6. Promeasure và độ đo trên một không gian lồi địa phương

Biến đổi Fourier Φ\Phi của ΓQ\Gamma_Q bằng e−Q/2e^{-Q/2}. Bây giờ, et≥1+te^t \geq 1 + t với mọi số thực tt, do đó Φ(0)−ℜΦ≤Q/2\Phi(0) - \Re \Phi \leq Q/2. Vậy điều kiện b) của Định lý 3 được kiểm tra và ΓQ\Gamma_Q là một độ đo trên EsE_s.

Nhận xét

— 1) Cho EE là một không gian Hilbert, EsE_s là không gian EE được trang bị tôpô yếu, và jj là ánh xạ đồng nhất của EE vào EsE_s. Người ta biết rằng jj xác định một song ánh từ tập hợp các tiền độ đo trên EE lên tập hợp tương ứng đối với EsE_s. Hơn nữa, nếu EE tách được, thì nó là một không gian Polish và jj xác định một song ánh từ tập hợp các độ đo bị chặn trên EE lên tập hợp các độ đo bị chặn trên EsE_s (§ 3, No. 3, Nhận xét); có thể chứng minh (định lý của Phillips) rằng định lý này vẫn còn đúng nếu EE không tách được. Do đó, Định lý 3 cung cấp các tiêu chuẩn để một tiền độ đo trên EE là một độ đo.

2) Có thể chứng minh (Phụ lục, Bài tập 7) rằng tôpô Sazonov trên một không gian Hilbert EE được xác định bởi các nửa chuẩn kiểu Q1/2Q^{1/2} trong đó QQ là một dạng toàn phương dương hạch trên EE.

12. Liên hệ với các hàm kiểu dương

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến IX § 3. Các đo và các hàm tập hợp cộng tính

Định nghĩa 3

— *Cho GG là một nhóm. Một hàm nhận giá trị phức Φ\Phi trên GG được gọi là có kiểu dương nếu bất đẳng thức

∑j,k=1pcjck‾Φ(xjxk−1)≥0 \sum_{j,k=1}^p c_j \overline{c_k} \Phi(x_j x_k^{-1}) \geq 0
Được trích dẫn bởi 2

Được trích dẫn bởi Bổ đề, IV § 4, Bài tập 5, § 3

đúng với mọi x1,…,xpx_1, \ldots, x_p trong GG và mọi số phức c1,…,cpc_1, \ldots, c_p.

Khái niệm này sẽ được nghiên cứu chi tiết về sau.

Mệnh đề 11

— Cho E là một không gian vectơ hữu hạn chiều, μ\mu là một độ đo bị chặn (dương) trên E, và Φ\Phi là biến đổi Fourier của μ\mu. Hàm Φ\Phi là liên tục và có kiểu dương trên E′E'.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 9

Được trích dẫn bởi IX § 4. Giới hạn nghịch đảo của các độ đo, Định lý 4

Tính liên tục của Φ\Phi suy ra từ Mệnh đề 9 của No. 8.

Hãy chứng minh rằng Φ\Phi có kiểu dương. Cho x1′,…,xp′x'_1, \ldots, x'_p thuộc E′E' và c1,…,cpc_1, \ldots, c_p là các số phức. Khi đó

∑j,kcjck‾Φ(xj′−xk′)=∫E∑j,kcjck‾ei⟨x,xj′−xk′⟩ dμ(x) \sum_{j,k} c_j \overline{c_k} \Phi(x'_j - x'_k) = \int_E \sum_{j,k} c_j \overline{c_k} e^{i \langle x, x'_j - x'_k \rangle} \, d\mu(x)
=∫E∣∑j=1pcjei⟨x,xj′⟩∣2 dμ(x)≥0. = \int_E \left| \sum_{j=1}^p c_j e^{i \langle x, x'_j \rangle} \right|^2 \, d\mu(x) \geq 0.

Q.E.D.

Người ta có thể chứng minh một mệnh đề đảo lại gọi là định lý Bochner: mọi hàm liên tục trên E′E' có kiểu dương đều là biến đổi Fourier của một độ đo bị chặn (dương). (*) Chúng ta sẽ thừa nhận kết quả này trong phần còn lại của No. 12.

Định lý 4

— Cho E là một không gian lồi địa phương. Phép biến đổi Fourier là một song ánh từ tập hợp các tiền độ đo trên E lên tập hợp các hàm kiểu dương trên E′E' mà hạn chế của chúng trên mọi không gian con hữu hạn chiều đều liên tục.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 11, Mệnh đề 3

Được trích dẫn bởi Hệ quả, Định lý 3, VI § 3

Ta biết (No. 3, Mệnh đề 3) rằng phép biến đổi Fourier là đơn ánh. Cho μ=(μV)V∈F(E)\mu = (\mu_V)_{V \in \mathscr{F}(E)} là một tiền độ đo trên E và Φ\Phi là biến đổi Fourier của nó. Cho T là một không gian con hữu hạn chiều của E′E' và cho V là trực giao của T trong E. Có thể đồng nhất T với đối ngẫu của E/VE/V; hạn chế ΦT\Phi_T của Φ\Phi lên T là biến đổi Fourier của độ đo bị chặn μV\mu_V trên E/VE/V. Theo Mệnh đề 11, ΦT\Phi_T liên tục và có kiểu dương trên T. Vì T là tùy ý, hiển nhiên là Φ\Phi có kiểu dương trên E′E'.

Ngược lại, cho Φ\Phi là một hàm kiểu dương trên E′E' mà hạn chế của nó trên mọi không gian con hữu hạn chiều của E′E' là liên tục. Với mọi V∈F(E)V \in \mathscr{F}(E), ta đồng nhất đối ngẫu của E/VE/V với trực giao V∘V^\circ của V trong E′E'; hạn chế ΦV\Phi_V của Φ\Phi trên V∘V^\circ là liên tục và kiểu dương, nên theo định lý Bochner, tồn tại một độ đo bị chặn (dương) μV\mu_V trên E/VE/V mà biến đổi Fourier của nó là ΦV\Phi_V. Cho V và W trong F(E)\mathscr{F}(E) sao cho W⊂VW \subset V, và cho pVWp_{VW} là ánh xạ chính tắc từ E/WE/W lên E/VE/V; với các sự đồng nhất đã thực hiện, tpVW{}^t p_{VW} là đơn ánh từ V∘V^\circ vào W∘W^\circ. Theo công thức (4) của No. 3, khi đó ta có

F(pVW(μW))=(FμW)∘tpVW=ΦW∘tpVW=ΦV=FμV, \mathscr{F}(p_{VW}(\mu_W)) = (\mathscr{F}\mu_W) \circ {}^t p_{VW} = \Phi_W \circ {}^t p_{VW} = \Phi_V = \mathscr{F}\mu_V,

(*) Vấn đề này sẽ được nghiên cứu trong một chương sắp tới của bộ sách Théories spectrales. Bạn đọc có thể tham khảo về chủ đề này cuốn sách của L.H. LOOMIS, Abstract harmonic analysis, Van Nostrand, New York, 1953.

do đó pvw(μw)=μvpvw(\mu_w) = \mu_v theo Mệnh đề 3 của No. 3. Do đó, họ μ=(μv)v∈F(E)\mu = (\mu_v)_{v \in \mathscr{F}(E)} là một promeasure trên EE; hiển nhiên Φ\Phi là biến đổi Fourier của μ\mu.

Hệ quả

— *Cho F là một không gian hạt nhân lồi địa phương đầy; trang bị cho F' một tôpô lồi địa phương T\mathscr{T} nằm giữa tôpô yếu σ(F′,F)\sigma(F', F) và tôpô hội tụ đều trên các tập con compact lồi của F. Phép biến đổi Fourier là một song ánh từ tập hợp các độ đo bị chặn (dương) trên F' lên tập hợp các hàm liên tục kiểu dương trên F.

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Hệ quả, Định lý 4

Điều này suy ra ngay lập tức từ Định lý 4 và Hệ quả của Định lý 2 của No. 10.*

Bài tập

Xem bài tập của § 6.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5.4, gpt-5-6-mini, gpt-5.4-mini, theo bảng thuật ngữ phiên bản 34. Chưa được người kiểm tra. Mô hình này là bản rút gọn của mô hình đã viết phần còn lại của ngôn ngữ này.