Phụ lục

Bổ sung về các không gian Hilbert

1. Vết của một dạng toàn phương đối với một dạng khác $^{(1)}$

Trong No. này, ta ký hiệu bởi $E$ một không gian vectơ thực và bởi $Q, H$ hai dạng toàn phương dương trên $E$ . Tồn tại hai dạng song tuyến tính đối xứng $(x, y) \mapsto (x|y)_Q$ và $(x, y) \mapsto (x|y)_H$ được đặc trưng bởi

Q(x) = (x|x)_Q , \quad H(x) = (x|x)_H

với mọi

x \in E

Ta gọi là vết của Q đối với H và ký hiệu bởi $\operatorname{Tr}(Q/H)$ số thực dương, hữu hạn hoặc không, được xác định như sau:

a) Nếu tồn tại một $x \in E$ sao cho $H(x) = 0$ và $Q(x) \neq 0$ , ta đặt $\operatorname{Tr}(Q/H) = +\infty$ .

b) Trong trường hợp ngược lại, $\operatorname{Tr}(Q/H)$ là cận trên đúng của tập hợp các số có dạng $\sum_{i=1}^p Q(e_i)$ , trong đó $(e_1, \ldots, e_p)$ chạy qua tập hợp các dãy hữu hạn các phần tử của $E$ trực chuẩn đối với $H$ .

Cho $E$ là một không gian Hilbert thực và $Q$ là một dạng toàn phương dương trên $E$ . Đặt $H(x) = \|x\|^2$ với mọi $x \in E$ ; khi đó $H$ là một dạng toàn phương dương trên $E$ . Người ta nói rằng $Q$ là hạt nhân nếu $\operatorname{Tr}(Q/H)$ là hữu hạn. Với mọi $x \in E$ có chuẩn bằng 1, ta có $Q(x) \leq \operatorname{Tr}(Q/H)$ , do đó $Q \leq \operatorname{Tr}(Q/H) \cdot H$ ; đặc biệt, mọi dạng hạt nhân $Q$ đều liên tục.

Nhận xét

— 1) Với mọi không gian con $F$ của $E$ , ký hiệu $Q_F$ là hạn chế của $Q$ trên $F$ , và $H_F$ là hạn chế của $H$ . Khi đó $\operatorname{Tr}(Q_F/H_F) \leq \operatorname{Tr}(Q/H)$ và $\operatorname{Tr}(Q/H)$ là cận trên đúng của các số $\operatorname{Tr}(Q_F/H_F)$ với $F \subset E$ hữu hạn chiều.

2) Cho $E_1$ là một không gian vectơ thực, $Q_1$ và $H_1$ là hai dạng toàn phương dương trên $E_1$ , và $\pi : E \to E_1$ là một ánh xạ tuyến tính toàn ánh. Nếu $Q = Q_1 \circ \pi$ và $H = H_1 \circ \pi$ , thì chứng minh rằng $\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(Q_1/H_1)$ .

(1) Xem TVS, V, §4, No. 9.

Mệnh đề 1

— *Giả sử rằng E hữu hạn chiều và H không suy biến.

a) Tồn tại một tự đồng cấu u của E được đặc trưng bởi $(x|y)_Q = (u(x)|y)_H$ với x, y thuộc E.

b) $\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(u)$ .

c) $\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i)$ đối với mọi cơ sở $(e_1, \ldots, e_m)$ của E trực chuẩn đối với H.

a) suy ra từ việc dạng song tuyến tính $(x, y) \mapsto (x|y)_H$ là không suy biến. Mọi dãy trong E trực chuẩn đối với H đều có thể được bổ sung thành một cơ sở của E trực chuẩn đối với H. Do đó, $\operatorname{Tr}(Q/H)$ là cận trên đúng của tập hợp các số có dạng $\sum_{i=1}^m Q(e_i)$ khi $(e_1, \ldots, e_m)$ chạy qua mọi cơ sở của E trực chuẩn đối với H. Để chứng minh b) và c), chỉ cần chỉ ra rằng $\sum_{i=1}^m Q(e_i) = \operatorname{Tr}(u)$ đối với mọi cơ sở như thế. Đặt $a_{ij} = (u(e_i)|e_j)_H = (e_i|e_j)_Q$ với $1 \leq i, j \leq m$ ; khi đó $u(e_i) = \sum_{j=1}^m a_{ij} e_j$ với $1 \leq i \leq m$ , do đó

\operatorname{Tr}(u) = \sum_{i=1}^m a_{ii} = \sum_{i=1}^m (e_i|e_i)_Q = \sum_{i=1}^m Q(e_i).

Đ.P.C.M.

Mệnh đề 2

— Giả sử rằng E là hữu hạn chiều. Tồn tại một cơ sở $(e_1, \ldots, e_n)$ của E và một số nguyên m với $0 \leq m \leq n$ *sao cho

\operatorname{H}\left( \sum_{i=1}^n t_i e_i \right) = \sum_{i=1}^m t_i^2

với $t_1, \ldots, t_n$ thực. Nếu hơn nữa, quan hệ $\operatorname{H}(x) = 0$ kéo theo $Q(x) = 0$ đối với $x \in E$ , thì $\operatorname{Tr}(Q/H) = \sum_{i=1}^m Q(e_i)$ .

Tồn tại một cơ sở $(e'_1, \ldots, e'_n)$ của E trực giao đối với H. Có thể giả sử cơ sở được đánh chỉ số sao cho $\operatorname{H}(e'_i) > 0$ với $1 \leq i \leq m$ và $\operatorname{H}(e'_i) = 0$ với $m < i \leq n$ . Khi đó đặt $e_i = e'_i / \operatorname{H}(e'_i)^{1/2}$ với $1 \leq i \leq m$ và $e_i = e'_i$ với $m < i \leq n$ ; quan hệ (1) được thỏa mãn.

Cho F là không gian con của E sinh bởi $e'_{m+1}, \ldots, e'_n$ ; đó là tập hợp các $x \in E$ sao cho $\operatorname{H}(x) = 0$ . Ký hiệu $\pi$ là ánh xạ chính tắc từ E lên $E_1 = E/F$ . Vì Q và H bằng không trên F, tồn tại hai dạng toàn phương dương $Q_1$ và $H_1$ trên $E_1$ sao cho $Q = Q_1 \circ \pi$ và $H = H_1 \circ \pi$ . Hơn nữa, $(\pi(e_1), \ldots, \pi(e_m))$ là một cơ sở của $E_1$ trực chuẩn đối với $H_1$ , và do đó $H_1$ là không suy biến.

Theo Mệnh đề 1 và Nhận xét 2,

\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(Q_1/H_1) = \sum_{i=1}^m Q_1(\pi(e_i)) = \sum_{i=1}^m Q(e_i).

Phải chứng minh điều đó.

Nhận xét 3

— Giả sử E hữu hạn chiều và H không suy biến. Cho $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở của E. Đặt $q = ((e_i|e_j)_Q)_{1 \leq i,j \leq n}$ và $h = ((e_i|e_j)_H)_{1 \leq i,j \leq n}$ . Với các ký hiệu như trong Mệnh đề 1, ma trận của $u$ đối với cơ sở $(e_1, \ldots, e_n)$ của E bằng $h^{-1}q$ , do đó

(2)

\operatorname{Tr}(Q/H) = \operatorname{Tr}(h^{-1}q) = \operatorname{Tr}(qh^{-1}).

2. Ánh xạ Hilbert–Schmidt $^{(2)}$

Cho E là một không gian Hilbert thực, trong đó tích vô hướng được ký hiệu bởi $(x|y)$ . Tồn tại một đẳng cự $j_E$ của E lên đối ngẫu của nó, được đặc trưng bởi công thức

(3)

(x|y) = \langle x, j_E(y) \rangle \quad \text{với } x, y \text{ trong E}

(TVS, V, §1, No. 7, Định lý 3).

Cho $E_1$ và $E_2$ là hai không gian Hilbert thực và $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E_1$ vào $E_2$ . Người ta gọi liên hợp của u là ánh xạ tuyến tính liên tục $u^* = j_{E_1}^{-1} \circ {}^t u \circ j_{E_2}$ từ $E_2$ vào $E_1$ . Ánh xạ $u^*$ được đặc trưng bởi quan hệ

(4)

(u(x_1)|x_2) = (x_1|u^*(x_2)) \quad \text{với } x_1 \in E_1,\ x_2 \in E_2.

Nếu $v$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E_2$ vào một không gian Hilbert $E_3$ , thì ta có $(v \circ u)^* = u^* \circ v^*$ .

Cho $E_1$ và $E_2$ là hai không gian Hilbert thực và $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E_1$ vào $E_2$ . Người ta định nghĩa hai dạng toàn phương dương H và Q trên $E_1$ bởi các công thức

H(x) = \|x\|^2,\quad Q(x) = \|u(x)\|^2 \quad (x \in E_1).

Mệnh đề 3

Giả sử u liên tục. Cho $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_1$ và $(f_j)_{j \in J}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_2$ . Khi đó

\operatorname{Tr}(Q|H) = \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{j \in J} \|u^*(f_j)\|^2 = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} (u(e_i)|f_j)^2.

(2) Xem TVS, V, §4, No. 7.

Với mọi $x \in E_1$ , ta có $\|x\|^2 = \sum_{i \in I} (x|e_i)^2$ , và tương tự $\|y\|^2 = \sum_{j \in J} (y|f_j)^2$ với mọi $y \in E_2$ . Do đó,

\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} (u(e_i)|f_j)^2 \\ = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} (e_i|u^*(f_j))^2 \\ = \sum_{j \in J} \|u^*(f_j)\|^2 .

Đặc biệt, số $\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2$ độc lập với cơ sở trực chuẩn $(e_i)_{i \in I}$ của $E_1$ .

Đặt $t = \operatorname{Tr}(Q|H)$ . Với mọi tập con hữu hạn $I'$ của $I$ , theo định nghĩa

\sum_{i \in I'} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{i \in I'} Q(e_i) \leq t ,

do đó $\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 \leq t$ . Cho $(e'_1, \ldots, e'_p)$ là một dãy trực chuẩn hữu hạn trong $E$ . Dãy này có thể được bổ sung thành một cơ sở trực chuẩn $(e'_\alpha)_{\alpha \in A}$ của $E_1$ . Khi đó

\sum_{\alpha=1}^p \|u(e'_\alpha)\|^2 \leq \sum_{\alpha \in A} \|u(e'_\alpha)\|^2 = \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2

và, chuyển qua cận trên đúng trên mọi $(e'_1, \ldots, e'_p)$ , ta thu được bất đẳng thức $t \leq \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2$ . Như vậy ta đã thiết lập được đẳng thức $t = \sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2$ .

Điều phải chứng minh.

Người ta nói rằng $u$ là một ánh xạ Hilbert–Schmidt từ $E_1$ vào $E_2$ nếu dạng toàn phương dương $Q : x \mapsto \|u(x)\|^2$ trên $E_1$ là hạch. Khi điều đó đúng, ta có $Q \leq \operatorname{Tr}(Q/H) \cdot H$ , do đó $u$ liên tục và

\|u\| \leq \operatorname{Tr}(Q/H)^{1/2} .

Cho $u : E_1 \to E_2$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Theo Mệnh đề 3, $u$ là một ánh xạ Hilbert–Schmidt khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_i)_{i \in I}$ của $E_1$ sao cho $\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 < +\infty$ . Khi điều này đúng, mọi cơ sở trực chuẩn của $E_1$ đều có cùng tính chất đó. Hơn nữa, nếu $u$ là một ánh xạ Hilbert–Schmidt, thì liên hợp $u^*$ của nó cũng vậy nhờ công thức $\sum_{i \in I} \|u(e_i)\|^2 = \sum_{j \in J} \|u^*(f_j)\|^2$ (Mệnh đề 3).

Bài tập

Xem các bài tập cho phụ lục 0.