(bất đẳng thức Minkowski).

Bất đẳng thức (1) là hiển nhiên khi một trong các số hạng của vế thứ hai bằng $+\infty$. Trong trường hợp ngược lại, $f$ và $g$ hữu hạn hầu khắp nơi ($§ 2$, No. 3, Prop. 7). Nếu $f_1$ và $g_1$ là các hàm dương hữu hạn tương đương lần lượt với $f$ và $g$, thì $f_1^p, g_1^p$ và $(f_1 + g_1)^p$ lần lượt tương đương với $f^p, g^p$ và $(f + g)^p$, và vì các hàm dương tương đương có cùng tích phân trên ($§ 2$, No. 3, Prop. 6), ta quy về việc chứng minh bất đẳng thức (1) trong trường hợp $f$ và $g$ hữu hạn khắp nơi; nhưng trong trường hợp này bất đẳng thức là một trường hợp riêng của bất đẳng thức Minkowski tổng quát đã được chứng minh trong Ch. I, No. 2, Prop. 3.

Ta cũng sẽ có dịp sử dụng bất đẳng thức sơ cấp sau đây: nếu $p \geqslant 1$ thì, với mọi số $a \geqslant 0,\ b \geqslant 0$,

Bất đẳng thức là hiển nhiên nếu $a = b = 0$ hoặc nếu một trong hai số $a, b$ bằng $+\infty$; nếu $a, b$ hữu hạn và $a + b > 0$, nó có thể viết thành

điều này suy ra từ

(3)

(4)

Thật vậy, quan hệ (3) suy ra ngay lập tức từ Định nghĩa 1 và sự kiện rằng $|\mu|^*$ là thuần nhất dương; mặt khác, vì $|f + g| \leq |f| + |g|$, bất đẳng thức (4) suy ra từ bất đẳng thức Minkowski (1) và sự kiện rằng $|\mu|^*$ là tăng.

Ta mở rộng Định nghĩa 1 sang trường hợp các hàm số, hữu hạn hoặc không, xác định trên $X$, bằng cách một lần nữa đặt

đối với một hàm như vậy $f$. Ta thấy ngay lập tức rằng các quan hệ (3) và (4) cũng đúng đối với các hàm này khi $f + g$ được xác định trên $X$ và $\alpha \neq 0$. Hơn nữa:

(5)

Đặt $f = \sum_{n=1}^\infty f_n$; $f$ là bao trên của dãy tăng các hàm $g_n = \sum_{k=1}^n f_k$; định nghĩa của $N_p(f)$, và Định lý 3 của §1, No. 3, cho thấy rằng $N_p(f) = \sup_n N_p(g_n)$. Nhưng $N_p(g_n) \leq \sum_{k=1}^n N_p(f_k)$ theo Mệnh đề 1, do đó bất đẳng thức (5).

Mệnh đề suy ra ngay lập tức từ Định lý 1 của §2, No. 3.

Nếu f và g là hai ánh xạ tương đương từ X vào F, thì $N_p(f) = N_p(g)$ với mọi $p \geq 1$ (§ 2, No. 3, Mệnh đề 6); do đó, $N_p(f)$ chỉ phụ thuộc vào lớp $\tilde{f}$ của f, và ta đặt, theo định nghĩa, $N_p(\tilde{f}) = N_p(f)$. Vì các lớp các ánh xạ từ X vào F tạo thành một không gian vectơ (§ 2, No. 4), các quan hệ (3) và (4) cũng có thể được viết

Ta định nghĩa tương tự $N_p(\tilde{f})$ cho mọi lớp các hàm số tương đương (hữu hạn hoặc không).

Khi đó ta có thể định nghĩa $N_p(f)$ cho một hàm có giá trị trong F (tương ứng trong $\overline{\mathbf{R}}$) được xác định hầu khắp nơi trong X, bằng cách đặt $N_p(f) = N_p(\tilde{f})$; khi đó hiển nhiên rằng các quan hệ (3) và (4) lại đúng (giả sử $\alpha \neq 0$ và $f + g$ được xác định hầu khắp nơi, trong trường hợp các hàm số, hữu hạn hoặc không).

Nếu $0 < p < 1$, ta lại đặt $N_p(f) = (\int^* |f|^p d|\mu|)^{1/p}$, nhưng các bất đẳng thức (4) và (5) không còn đúng nữa (xem Ch. I, Bài tập 6 và Ch. IV, §6, Bài tập 13).

Điều này tương đương với việc nói rằng, trên tập hợp các ánh xạ $f \in \mathscr{F}_\mathbf{F}^p$ có giá được chứa trong một tập compact cố định, tôpô hội tụ đều là mịn hơn tôpô hội tụ trung bình cấp $p$.

Do đó, cho $h$ là một ánh xạ liên tục của X vào $[0,1]$, có giá compact, bằng 1 trên K (Ch. III, §1, No. 2, Bổ đề 1). Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $M \in \mathscr{B}$ sao cho, với mọi ánh xạ $f \in M$, $|f(x) - f_0(x)| \leq \varepsilon h(x)$ với mọi $x \in X$. Từ đó, suy ra rằng $N_p(f - f_0) \leq \varepsilon N_p(h)$, do đó có mệnh đề.

Vì không gian Hausdorff liên kết với $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$ là một không gian chuẩn, chỉ cần chứng minh rằng mọi dãy Cauchy $(f_n)$ trong $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$ đều có một giới hạn đối với tôpô hội tụ theo trung bình cấp $p$ (GT, IX, §2, No. 6, Mệnh đề 9). Theo giả thiết, với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một số nguyên $m_0$ sao cho các quan hệ $m \geq m_0,\ n \geq m_0$ kéo theo $N_p(f_n - f_m) \leq \varepsilon$. Do đó, có thể định nghĩa, bằng quy nạp theo $k$, một dãy tăng ngặt $(n_k)$ các số nguyên $\geq 0$ sao cho $N_p(f_{n_{k+1}} - f_{n_k}) \leq 2^{-k}$. Nếu ta chứng minh rằng chuỗi với số hạng tổng quát $g_k = f_{n_{k+1}} - f_{n_k}$ ($k \geq 1$) là hội tụ theo trung bình cấp $p$, thì nó sẽ có một tổng $g \in \mathscr{F}_\mathbf{F}^p$, và $f = g + f_{n_1}$ sẽ là giới hạn của dãy $(f_{n_k})$ trong $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$; khi đó $f$ sẽ là một điểm tụ của dãy $(f_n)$; vì dãy này là một dãy Cauchy, nó sẽ có $f$ làm giới hạn, và Mệnh đề 5 sẽ được chứng minh (GT, II, §3, No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 5).

Mệnh đề 5 do đó là một hệ quả của mệnh đề sau:

Xét hàm dương (hữu hạn hoặc không) $g(x) = \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|$. Theo định lý lồi đếm được (No. 2, Định lý 1),

do đó $g$ hữu hạn hầu khắp nơi (§ 2, No. 3, Mệnh đề 7), điều đó có nghĩa là chuỗi có số hạng tổng quát $f_n(x)$ hội tụ tuyệt đối hầu khắp nơi. Vì $\mathbf{F}$ là đầy đủ, chuỗi này hội tụ hầu khắp nơi và, với mọi $x \in X$, $|f(x)| \leqslant \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)| = g(x)$, do đó

điều này chứng minh rằng $f$ thuộc về $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$. Mặt khác, với mọi số nguyên $n$,

gần khắp nơi, do đó $N_p \left( f - \sum_{k=1}^n f_k \right) \leqslant \sum_{k=n+1}^\infty N_p(f_k)$. Theo giả thiết, chuỗi có số hạng tổng quát $N_p(f_n)$ là hội tụ; do đó, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $\sum_{k=n+1}^{\infty} N_p(f_k) \leq \varepsilon$, và bất đẳng thức (8) chứng minh rằng $f$ là tổng của chuỗi có số hạng tổng quát $f_n$, đối với tôpô hội tụ theo trung bình cấp $p$.

Các Mệnh đề 5 và 6 do đó đã được chứng minh hoàn toàn.

Nói cách khác, các hàm trong $\mathscr{L}_\mathbf{F}^p$ là các giới hạn của các dãy hàm liên tục có giá compact, đối với tôpô hội tụ theo trung bình cấp $p$.

Thật vậy, $f$ là hữu hạn hầu khắp nơi và $N_p(f - g) \leq N_p(h - g) \leq \varepsilon$; Mệnh đề 7 do đó cho thấy rằng $f$ là khả tích theo lũy thừa $p$.

Vì, theo định nghĩa, $\mathscr{L}_\mathbf{F}^p$ là một không gian con đóng của $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$, và vì không gian sau là đầy đủ (No. 3, Mệnh đề 5), ta có kết quả sau (GT, II, §3, No. 4, Mệnh đề 8):

Trong không gian $L_\mathbf{F}^p$, chuẩn $N_p(\tilde{\mathbf{f}})$ của một lớp lại được ký hiệu là $\| \tilde{\mathbf{f}} \|_p$.

Định lý 2 có thể được làm sắc hơn như sau:

Như trong chứng minh của Mệnh đề 5 của No. 3, chỉ cần định nghĩa dãy $(n_k)$ bằng quy nạp, sao cho $N_p(\mathbf{f}_{n_{k+1}} - \mathbf{f}_{n_k}) \leq 2^{-k}$; các phần 2° và 3° khi đó suy ra từ Mệnh đề 6 của No. 3 và sự kiện rằng $\mathscr{L}_\mathbf{F}^p$ là đóng trong $\mathscr{F}_\mathbf{F}^p$. Mặt khác, nếu $h(x)$ là tổng của chuỗi có số hạng tổng quát $|\mathbf{f}_{n_{k+1}}(x) - \mathbf{f}_{n_k}(x)|$, Định lý 1 của No. 2 cho thấy rằng $N_p(h) < +\infty$; do đó, theo định nghĩa của $|\mu|^*$, tồn tại một hàm nửa liên tục dưới $g \geq h + |\mathbf{f}_{n_1}|$ sao cho $N_p(g) < +\infty$, điều này hoàn tất chứng minh.

Thật vậy, tồn tại một dãy con $(f_{n_k})$ của $(f_n)$ sao cho $(f_{n_k}(x))$ hội tụ hầu khắp nơi đến $g(x)$, trong đó $g$ là một hàm trong $\mathscr{L}_F^p$ sao cho $(f_n)$ hội tụ theo trung bình cấp $p$ đến $g$. Các giả thiết do đó kéo theo rằng $f(x) = g(x)$ hầu khắp nơi, do đó có hệ quả.

1° dãy $(g_n)$ hội tụ theo trung bình cấp $p$ đến $f$; 2° đối với hầu hết mọi $x \in X$, dãy $(g_n(x))$ hội tụ đến $f(x)$.

Thật vậy, vì không gian $\mathscr{L}_F^p$ là mêtric hóa được, tồn tại một dãy Cauchy $(f_n)$ trong $\mathscr{L}_F^p$ gồm các hàm trong $\mathscr{E}$ và hội tụ theo trung bình cấp $p$ đến $f$ (GT, IX, §2, No. 6, Mệnh đề 8); chỉ cần áp dụng Định lý 3 cho dãy này.

Hệ quả 2 áp dụng đặc biệt cho trường hợp $\mathscr{E}$ được lấy là không gian $\mathscr{K}_F$ gồm các hàm liên tục có giá compact.

Cho $f \in \mathscr{L}_F^p$; với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một hàm $g \in \mathscr{K}_F$ sao cho $N_p(f - g) \leq \varepsilon$; vì $|u \circ f - u \circ g| \leq \|u\| \cdot |f - g|$, ta có

và vì $u \circ g$ liên tục với giá compact, định lý được chứng minh.

Điều này suy ra từ sự kiện rằng ánh xạ $t \mapsto a t$ từ $\mathbf{R}$ vào F là liên tục.

Điều này suy ra ngay từ Hệ quả 1 và 2 của Định lý 4.

Tập hợp $\mathscr{K}_F$ các ánh xạ liên tục từ X vào F có giá compact, theo định nghĩa là trù mật trong $\mathscr{L}_F^p$. Mặt khác, mọi hàm $g \in \mathscr{K}_F$ có thể được xấp xỉ đều bởi các hàm có dạng $\sum_k a_k f_k$, trong đó các $f_k$ là các hàm liên tục có giá được chứa trong một lân cận compact cố định của giá của $g$ (Ch. III, §1, No. 2, Bổ đề 2); do đó (No. 3, Mệnh đề 4) $g$ thuộc bao đóng trong $\mathscr{L}_F^p$ của tập hợp các $\sum_k a_k f_k$, do đó có mệnh đề.

Với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một hàm liên tục $g$ có giá compact, sao cho $N_p(f - g) \leq \varepsilon$; vì $||f| - |g|| \leq |f - g|$, ta có $N_p(|f| - |g|) \leq \varepsilon$, điều này chứng minh rằng $|f| \in \mathscr{L}^p$. Mặt khác, nếu $f_1, f_2$ là hai hàm trong $\mathscr{L}_F^p$ thì $N_p(|f_1| - |f_2|) \leq N_p(f_1 - f_2)$, điều này chỉ ra rằng $f \mapsto |f|$ là một ánh xạ liên tục đều.

Điều kiện là đủ vì $f = f^+ - f^-$; nó là cần thiết, bởi vì nếu $f \in \mathscr{L}^p$ thì $|f| \in \mathscr{L}^p$ (Mệnh đề 11).

Phần thứ nhất của mệnh đề suy ra ngay từ Mệnh đề 11 của No. 5; vì tập hợp các $\tilde{f} \geq 0$ cũng là tập hợp các $\tilde{f}$ sao cho $| \tilde{f} | = f$, nó là đóng, bởi vì $\tilde{f} \mapsto | \tilde{f} |$ là một ánh xạ liên tục và $L^p$ là Hausdorff.

Do đó ta thấy rằng tôpô trên $L^p$ xác định bởi chuẩn $\| \tilde{f} \|_p$ là tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của $L^p$ (TVS, II, § 2, No. 7).

Supremum của $H$ trong $L^p$ khi đó là giới hạn (trong không gian Banach $L^p$) của lọc tiết diện của $H$.

Điều kiện này rõ ràng là cần, vì $\tilde{f} \mapsto \| \tilde{f} \|_p$ là một hàm tăng trên tập hợp các phần tử $\geq 0$ của $L^p$. Để thấy rằng nó đủ, trước hết ta nhận thấy rằng nó kéo theo ảnh của $H$ qua ánh xạ $\tilde{f} \mapsto \| \tilde{f} \|_p$ có một giới hạn trong $\mathbf{R}$, theo định lý giới hạn đơn điệu; do đó ảnh của lọc tiết diện $\mathfrak{F}$ của $H$ qua ánh xạ này là một cơ sở của một lọc Cauchy trên $\mathbf{R}$. Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra rằng bản thân $\mathfrak{F}$ là một cơ sở của một lọc Cauchy trên $L^p$; vì khi đó $\mathfrak{F}$ sẽ hội tụ trong $L^p$, do $L^p$ là đầy đủ (No. 4, Th. 2), và mệnh đề sẽ suy ra từ TVS, II, § 2, No. 7, Mệnh đề 18.

Để thấy rằng $\mathfrak{F}$ là một cơ sở của một lọc Cauchy, ta sẽ sử dụng bổ đề sau:

Khi $f$ và $g$ là liên tục với giá compact, quan hệ (9) có thể được viết

và khi đó là một hệ quả của bất đẳng thức sơ cấp $(g - f)^p \leq g^p - f^p$ (No. 1, công thức (2)). Để chuyển từ điều này sang trường hợp tổng quát, chỉ cần nhận xét rằng hai vế của (9) là các hàm liên tục trên $\mathscr{L}^p \times \mathscr{L}^p$, và mọi hàm $f \geq 0$ trong $\mathscr{L}^p$ là giới hạn (đối với sự hội tụ theo trung bình cấp $p$) của một dãy các hàm liên tục $\geq 0$ có giá compact, do tính liên tục của ánh xạ $g \mapsto |g|$ trên $\mathscr{L}^p$ (Mệnh đề 11).

Sau khi bổ đề đã được thiết lập, với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại theo giả thiết một $\tilde{f} \in \mathrm{H}$ sao cho, với mọi $\tilde{g} \geq \tilde{f}$ thuộc $\mathrm{H}$, ta có $(\|\tilde{g}\|_p)^p - (\|\tilde{f}\|_p)^p \leq \varepsilon$; từ đó suy ra rằng $(\|\tilde{g} - \tilde{f}\|_p)^p \leq \varepsilon$; do đó, nếu $\tilde{g}_1$ và $\tilde{g}_2$ là hai phần tử trong $\mathrm{H}$ mà $\geq \tilde{f}$, thì $\|\tilde{g}_1 - \tilde{g}_2\|_p \leq 2\varepsilon^{1/p}$, điều này chứng minh rằng $\mathfrak{F}$ là một cơ sở lọc Cauchy trên $L^p$ và hoàn tất chứng minh của Mệnh đề 14.

Điều này suy ra từ tính liên tục của chuẩn $\|\tilde{f}\|_p$ trong $L^p$, và định lý giới hạn đơn điệu.

Mọi tập có hướng $\mathrm{H}$ trong $L^p$ (đối với quan hệ $\leq$), gồm các lớp $\geq 0$ và bị chặn trên trong $L^p$, đều có một cận trên nhỏ nhất: thật vậy, nếu $\tilde{h}$ là một cận trên của $\mathrm{H}$ trong $L^p$, thì $\|\tilde{f}\|_p \leq \|\tilde{h}\|_p$ với mọi $\tilde{f} \in \mathrm{H}$, và Mệnh đề 14 áp dụng được. Điều này chứng minh hệ quả (Ch. II, §1, No. 3, Mệnh đề 1).

Các kết luận của Mệnh đề 14 không còn đúng khi chúng được phát biểu cho các hàm trong $\mathscr{L}^p$ thay vì cho các lớp của chúng. Nói chính xác hơn, nếu $M$ là một tập con của $\mathscr{L}^p$, gồm các hàm $\geq 0$, có hướng đối với quan hệ $\leq$, và sao cho $\sup_{f \in M} N_p(f) < +\infty$, lớp của bao trên $g$ của $M$ không nhất thiết đồng nhất với cận trên nhỏ nhất trong $L^p$ của các lớp của các hàm f \in M ; đặc biệt, g không nhất thiết khả tích theo lũy thừa p, và ngay cả khi $g \in \mathscr{L}^p$, $N_p(g)$ có thể phân biệt với $\sup_{f \in M} N_p(f)$ (xem §1, No. 3, Nhận xét 1 sau Định lý 3).

Tuy nhiên, ta có định lý sau:

Điều kiện là hiển nhiên cần thiết, nên ta chỉ cần chứng minh rằng nó đủ. Bây giờ, nếu điều kiện được thỏa mãn thì Mệnh đề 14 chỉ ra rằng dãy $(\tilde{f}_n)$ là một dãy Cauchy trong $L^p$, do đó dãy $(f_n)$ là một dãy Cauchy trong $\mathscr{L}^p$; vì $f_n(x)$ tiến tới $f(x)$ với mọi $x \in X$, $f$ khả tích theo lũy thừa p và là giới hạn của dãy $(f_n)$ đối với tôpô hội tụ theo trung bình cấp $p$ (No. 4, Hệ quả 1 của Định lý 3). Do đó $N_p(f_n)$ tiến tới $N_p(f)$ vì $N_p$ là một hàm liên tục trên $\mathscr{L}^p$.