Cho $f \in \mathscr{F}_+(X)$ và gọi $f^0$ là mở rộng bằng 0 của $f$ lên $T$. Ta có $(\mu^\bullet)_X(f) = \mu^\bullet(f^0) = \sup_L \mu^\bullet(f^0 \varphi_L)$, trong đó $L$ chạy trên tập hợp các tập con compact của $T$ (§1, No. 2, Prop. 2); tương tự $(\mu_X)^\bullet(f) = \sup_K \mu_K^\bullet(f_K) = \sup_K \mu^\bullet(f^0 \varphi_K)$, trong đó $K$ chạy trên tập hợp các tập con compact của $X$. Do đó tất cả quy về việc chỉ ra rằng $\mu^\bullet(f^0 \varphi_L) = \sup_K \mu^\bullet(f^0 \varphi_K)$ đối với mọi tập con compact $L$ của $T$, trong đó $K$ chạy trên tập hợp các tập con compact của $L \cap X$. Bây giờ, cho $(K_n)$ là một dãy tăng các tập compact được chứa trong $L \cap X$, sao cho $(L \cap X) - \bigcup_n K_n$ là địa phương $\mu$-không đáng kể (§1, No. 8, Prop. 11); vì $f^0$ bằng không bên ngoài $X$, $f^0 \varphi_L$ bằng không bên ngoài $L \cap X$, do đó bằng địa phương hầu khắp nơi với bao trên của dãy $(f^0 \varphi_{K_n})$. Điều này suy ra rằng $\mu^\bullet(f^0 \varphi_L) = \sup_n \mu^\bullet(f^0 \varphi_{K_n})$, do đó có kết quả mong muốn.*

Thật vậy, với mọi tập compact K trong T,

bằng cách sử dụng định nghĩa của $f \cdot \mu$ và Mệnh đề 3 của Ch. V, §5, No. 3. Mệnh đề 2 suy ra từ điều này bằng cách chuyển qua giá trị lớn nhất trên K.

Bây giờ cho $x \in T$ và cho V là một lân cận của x sao cho $\mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$ (Định nghĩa 2); khi đó $(f \cdot \mu)^\bullet(V) = \mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$, do đó $f \cdot \mu$ là một độ đo.

Điều kiện này hiển nhiên là cần thiết (Mệnh đề 2). Ngược lại, giả sử rằng mọi tập compact không đáng kể theo $\mu$ đều không đáng kể theo $\nu$. Ta đưa vào một sự phân mảnh $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ của T cho độ đo $\mu + \nu$ và đặt $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$. Hiển nhiên $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một sự phân mảnh cho $\mu$ và cho $\nu$, và do đó Mệnh đề 9 của §1, No. 8 kéo theo các hệ thức sau đây với mọi $g \in \mathscr{F}_+$:

Xét một tập compact $C \subset K_\alpha$ không đáng kể theo $\mu_{K_\alpha}$; khi đó $C$ không đáng kể địa phương theo $\mu$, do đó không đáng kể địa phương theo $\nu$, và cuối cùng không đáng kể theo $\nu_{K_\alpha}$ theo định nghĩa của $\nu$. Khi đó từ định lý Lebesgue–Nikodym (Ch. V, §5, No. 5, Định lý 2) suy ra rằng $\nu_{K_\alpha}$ nhận một mật độ $f_\alpha$ đối với $\mu_{K_\alpha}$. Gọi $f$ là hàm trùng với $f_\alpha$ trên mỗi tập $K_\alpha$, và bằng 0 trên $N$; hàm $f$ là đo được theo $\mu$ (Ch. IV, §5, No. 10, Mệnh đề 16), và với mọi hàm $g \in \mathscr{F}_+$ ta có, theo các hệ thức trên và Mệnh đề 3 của Ch. V, §5, No. 3,

Trước hết suy ra rằng $f$ khả tích địa phương theo $\mu$: nếu $x$ là một điểm của T, và nếu $V$ là một lân cận của $x$ sao cho $\nu^\bullet(V) < +\infty$, thì $\mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$. Tiếp theo, Mệnh đề 2 chỉ ra rằng các độ đo $\nu$ và $f \cdot \mu$ có cùng nguyên trên cốt yếu. Do đó chúng bằng nhau (§1, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2). Tính duy nhất của $f$ là hiển nhiên dựa trên trường hợp các không gian compact, nên mệnh đề được chứng minh.

Nhận xét 3). — Lý thuyết về tích phân đối với một độ đo $\nu = f \cdot \mu$ được quy về ngay lý thuyết đã xét trong Ch. V. Thật vậy, cho $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một phân hoạch của T đối với $\mu$, do đó đối với $\nu$, và cho $T'$ là không gian compact địa phương được xác định trong Chú giải của §1, No. 8; ta có thể liên kết với $\mu$ (tương ứng với $\nu$) một độ đo $\mu'$ (tương ứng với $\nu'$) trên $T'$, sao cho các hàm đo được, các hàm khả tích cốt yếu nhận giá trị trong một không gian Banach, và các tích phân trên cốt yếu của các hàm dương, là như nhau đối với $\mu$ và $\mu'$ (tương ứng đối với $\nu$ và $\nu'$). Do đó hàm $f$ là $\mu'$-đo được; nó là $\mu'$-khả tích địa phương, vì $T'$ là compact địa phương, và một tập con compact của $T'$ chỉ giao với một số hữu hạn các tập compact $K_\alpha$ ($\alpha \in A$). Cuối cùng, quan hệ ${\nu'}^\bullet(g) = \nu^\bullet(g) = \mu^\bullet(fg) = {\mu'}^\bullet(fg)$ chứng minh rằng $\nu' = f \cdot \mu'$ (Ch. V, §5, No. 3, Prop. 3). Ta để lại cho người đọc nhiệm vụ chuyển các kết quả của Ch. V, §5.

Tính duy nhất là hiển nhiên (§1, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2). Để thiết lập sự tồn tại, trước hết ta xét trường hợp $\mu$ được mang bởi một tập compact K, sao cho hạn chế của $\pi$ trên K là liên tục. Khi đó $L = \pi(K)$ là compact; gọi $\pi'$ là ánh xạ liên tục từ K vào L cảm sinh bởi $\pi$, và gọi $\nu'$ là độ đo ảnh $\pi'(\mu_K)$ trên L, $\nu$ là độ đo trên X được xác định bởi $\nu'$ (§1, No. 3, Ví dụ 2). Với mọi $g \in \mathscr{F}_+(X)$,

(ta đã lần lượt sử dụng công thức (3) của §1, No. 3; Mệnh đề 2 của Ch. V, §6, No. 2; định nghĩa của $\mu_K^\bullet$; và sự kiện rằng $\mu$ được mang bởi K). Nói cách khác, $\nu^\bullet = \pi(\mu^\bullet)$.

Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát; theo các Mệnh đề 10 và 9 của §1, No. 8, $\mu$ là tổng của một họ khả tổng $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ các độ đo có giá compact, sao cho hạn chế của $\pi$ trên giá $K_\alpha$ của $\mu_\alpha$ là liên tục với mọi $\alpha \in A$. Trường hợp đặc biệt đã xét ở trên cho phép gán cho mỗi độ đo $\mu_\alpha$ trên T một độ đo $\nu_\alpha$ trên X sao cho $\nu_\alpha^\bullet = \pi(\mu_\alpha^\bullet)$. Khi đó, với $g \in \mathscr{F}_+(X)$,

Độ đo $\pi(\mu^\bullet)$ bị chặn địa phương, vì $\pi$ là $\mu$-thực sự; do đó họ $(\nu_\alpha)_{\alpha \in A}$ là khả tổng (§1, No. 7, Mệnh đề 7), và tổng của nó $\nu$ thỏa mãn mệnh đề.

Ta xét lại chứng minh của Mệnh đề 4, và bắt đầu với trường hợp đặc biệt được xét ở đầu, với cùng các ký hiệu; g là đo được đối với độ đo $\pi(\mu) = \nu$ khi và chỉ khi $g_L$ là $\nu'$-đo được (§1, No. 5, Ví dụ); khi đó, điều này tương đương với việc nói rằng $g_L \circ \pi' = (g \circ \pi)_K$ là $\mu_K$-đo được (Ch. V, §6, No. 2, Mệnh đề 3), và cuối cùng là $g \circ \pi$ là $\mu$-đo được (§1, No. 5, Ví dụ). Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát, với cùng các ký hiệu như trong chứng minh của Mệnh đề 4; f là $\nu$-đo được khi và chỉ khi f là $\nu_\alpha$-đo được với mọi $\alpha \in A$ (§1, No. 7, Mệnh đề 8), do đó khi và chỉ khi $f \circ \pi$ là $\mu_\alpha$-đo được với mọi $\alpha \in A$ (trường hợp đặc biệt vừa xét) và cuối cùng khi và chỉ khi $f \circ \pi$ là $\mu$-đo được ($§ 1$, No. 7, Mệnh đề 8).

Vì, $\pi''$ là $\mu$-đo được (Mệnh đề 5). Đặt $\mu' = \pi(\mu)$; bao hàm ảnh $\pi'({\mu'}^\bullet) = \pi'(\pi(\mu^\bullet))$ hiển nhiên bằng $\pi''(\mu^\bullet)$. Vì nó bị chặn địa phương, $\pi''$ là $\mu$-thực sự. Khi đó các độ đo $\pi''(\mu)$ và $\pi'(\mu')$ có cùng tích phân trên cốt yếu, do đó bằng nhau.

Tập hợp A là $\mu$-đo được theo Mệnh đề 5 áp dụng cho $\varphi_B$; ánh xạ $\pi_A$ rõ ràng là $\mu_A$-đo được theo định nghĩa của các độ đo cảm sinh (No. 1), và suy ra rằng $\pi'$ là đo được. Cho $f$ là một phần tử của $\mathscr{F}_+(B)$; ký hiệu các số mũ không là các mở rộng bằng 0 trong X và trong T, ta có

do đó $(\pi(\mu)_B)^\bullet = \pi'(\mu_A^\bullet)$. Vì bao hàm $(\pi(\mu)_B)^\bullet$ bị chặn địa phương, điều tương tự đúng với $\pi'(\mu_A^\bullet)$ và do đó $\pi'$ là $\mu_A$-thực sự. Các độ đo $\pi'(\mu_A)$ và $(\pi(\mu))_B$ có cùng tích phân trên cốt yếu, do đó bằng nhau. Quan hệ kia có thể được thiết lập theo một cách tương tự.

a) *Nếu $\mu$ là một độ đo trên T, và nếu i là $\mu$-thực sự, thì độ đo $i(\mu)$ tập trung trên T, và ta có $(i(\mu))_T = \mu$.

b) *Nếu $\lambda$ là một độ đo trên X sao cho T là $\lambda$-đo được, thì i là $\lambda_T$-thực sự, và $i(\lambda_T) = \varphi_T \cdot \lambda$.

a) Đặt $\nu = i(\mu)$; quan hệ $\nu^\bullet(A) = \mu^\bullet(A \cap T)$, áp dụng cho $A = X - T$, cho thấy rằng $\nu$ tập trung trên T. Quan hệ $\nu_T = \mu$ là một trường hợp đặc biệt của quan hệ (2), khi lấy $B = T = A$.

b) Cho $f$ là một hàm dương xác định trên X; đặt $\mu = \lambda_T$, ta có $\mu^\bullet(f \circ i) = \lambda_T^\bullet(f_T) = \lambda^\bullet(f \varphi_T) \leq \lambda^\bullet(f)$ (Mệnh đề 1); suy ra rằng i là $\mu$-thực sự. Mặt khác, $\mu^\bullet(f \circ i)$ (tương ứng $\lambda^\bullet(f \varphi_T)$) là tích phân trên cốt yếu của $f$ đối với $i(\mu)$ (tương ứng $\varphi_T \cdot \lambda$). Do đó hai độ đo này bằng nhau.

Nhận xét 6). — Cho $\pi$ là một ánh xạ $\mu$-thực sự từ $T$ vào một không gian tôpô $X$. Người ta quy giản lý thuyết tích phân đối với độ đo ảnh $\nu = \pi(\mu)$ về lý thuyết đã xét trong Ch. V, §6, theo cách sau. Cho $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ (tương ứng $(L_\beta)_{\beta \in B}$) là một phép chia vụn của $T$ (tương ứng của $X$) đối với $\mu$ (tương ứng đối với $\nu$), và đặt $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha,\ P = X - \bigcup_{\beta \in B} L_\beta$. Ta có thể giả sử rằng hạn chế của $\pi$ trên mỗi $K_\alpha$ là liên tục (§1, No. 8, Mệnh đề 10). Gọi $T', X'$ là các không gian compact địa phương được xây dựng như trong Chú giải của §1, No. 8 và gọi $\mu'$ và $\nu'$ là các độ đo trên các không gian này liên kết với $\mu$ và $\nu$. Tôpô của $T'$ là tổng của các tôpô của các không gian con $K_\alpha$ và tôpô rời rạc trên $N$, $\pi$ là một ánh xạ liên tục từ $T'$ vào $X$ và quan hệ ${\mu'}^\bullet(g \circ \pi) = \mu^\bullet(g \circ \pi) = \nu^\bullet(g)$ (với $g \in \mathscr{F}_+(X)$) chỉ ra rằng $\pi$ là $\mu'$-thực sự và $\pi(\mu') = \nu$. Mặt khác, ánh xạ đồng nhất $i$ của $X$ lên $X'$ là $\nu$-thực sự, và $i(\nu) = \nu'$. Suy ra rằng $\pi$ là một ánh xạ $\mu'$-thực sự từ $T'$ vào $X'$, và ảnh của $\mu'$ qua $\pi$ là $\nu'$ (Hệ quả của Mệnh đề 5). Ta để lại cho người đọc nhiệm vụ chuyển các kết quả của Ch. V, §6.

a) Cho $\nu$ là một độ đo bị chặn trên $X$. Để tồn tại một độ đo $\mu$ trên $T$ sao cho $\pi$ là $\mu$-thực sự và $\pi(\mu) = \nu$, điều kiện cần và đủ là tồn tại, với mọi số $\varepsilon > 0$, một tập compact $K_\varepsilon \subset T$ sao cho hạn chế của $\pi$ trên $K_\varepsilon$ là liên tục và $\nu^\bullet(X - \pi(K_\varepsilon)) < \varepsilon$.

b) Giả sử rằng $\pi$ là đơn ánh; cho $\mu$ và $\mu'$ là hai độ đo trên $T$, sao cho $\pi$ là thực sự đối với $\mu$ và $\mu'$, và sao cho $\pi(\mu) = \pi(\mu')$. Khi đó $\mu = \mu'$.

Điều kiện được nêu trong a) là cần thiết. Thật vậy, nếu $\pi$ là $\mu$-thực sự và $\pi(\mu) = \nu$, quan hệ $\mu^\bullet(1) = \nu^\bullet(1) < +\infty$ kéo theo rằng $\mu$ bị chặn. Prop. 2 của §1, No. 2, áp dụng cho hàm 1, kéo theo sự tồn tại của một tập compact $K$ của $T$ sao cho $\mu^\bullet(T - K) < \varepsilon/2$. Vì $\pi$ là đo được đối với $\mu$, tồn tại một tập compact $K_\varepsilon \subset K$ sao cho hạn chế của $\pi$ trên $K_\varepsilon$ là liên tục, và sao cho $\mu^\bullet(K - K_\varepsilon) < \varepsilon/2$. Khi đó (No. 3, Prop. 4)

Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, trước hết ta xét một trường hợp đặc biệt.

Thật vậy, cho a là ánh xạ tuyến tính $f \mapsto f \circ h$ từ $\mathscr{C}(V)$ vào $\mathscr{C}(U)$; vì h là toàn ánh, a là một đẳng cấu đẳng cự của $\mathscr{C}(V)$ lên một không gian con H của $\mathscr{C}(U)$. Cho $\theta$ là một độ đo dương trên V; khi đó $\theta \circ a^{-1}$ là một dạng tuyến tính liên tục trên H, có thể mở rộng thành một dạng tuyến tính $\eta$ trên $\mathscr{C}(U)$ với cùng chuẩn, nhờ định lý Hahn–Banach (TVS, II, §3, No. 2, Hệ quả 3 của Định lý 1); khi đó $\eta$ là một độ đo trên U, và $\theta(f) = \eta(f \circ h)$ với mọi $f \in \mathscr{C}(V)$, do đó $\theta = h(\eta)$. Cuối cùng, $\theta(1) = \| \theta \| = \| \eta \|$, và $\theta(1) = \eta(1)$, do đó $\eta$ là dương (Ch. V, §5, No. 5, Mệnh đề 9).

Bây giờ ta chứng minh tính đủ của điều kiện được nêu trong a). Điều kiện này kéo theo sự tồn tại của một dãy $(K_n)_{n \geq 1}$ gồm các tập compact của T, sao cho hạn chế của $\pi$ trên mỗi $K_n$ là liên tục, và sao cho, với mọi $n$, $\nu^\bullet(X - \pi(K_n)) < 1/n$. Có thể giả sử rằng dãy $(K_n)$ là tăng. Đặt $L_n = \pi(K_n)$ và ký hiệu bởi $\nu'_n$ độ đo $\varphi_{L_n - L_{n-1}} \cdot \nu_{L_n}$ trên $L_n$, với quy ước $L_0 = \varnothing$.

Hạn chế $\pi_{K_n}$ liên tục, tồn tại một độ đo $\mu'_n$ trên $K_n$ sao cho $\pi_{K_n}(\mu'_n) = \nu'_n$ (Bổ đề 1). Gọi $\mu_n$ là ảnh của $\mu'_n$ qua đơn ánh chính tắc của $K_n$ vào T, và gọi g là một phần tử của $\mathscr{F}_+(X)$. Lần lượt sử dụng sự kiện rằng $\nu$ tập trung trên $\bigcup L_n$, Mệnh đề 4 của §1, No. 5; Mệnh đề 2 của §1, No. 2; Mệnh đề 4 của No. 3, và cuối cùng là Mệnh đề 7 của No. 3, ta có

Lấy $g = 1$ trong công thức này, ta thấy rằng họ $(\mu_n)$ là khả tổng và tổng của nó là một độ đo bị chặn $\mu$ (§1, No. 7, Mệnh đề 7). Theo Mệnh đề 5 của No. 3, ánh xạ $\pi$ là $\mu_n$-đo được với mọi $n$, vì $\pi_{K_n}$ liên tục, do đó $\mu'_n$-đo được; suy ra $\pi$ là $\mu$-đo được (§1, No. 7, Mệnh đề 8), do đó $\mu$-thực sự vì $\mu$ bị chặn. Các quan hệ trên khi đó chứng minh rằng các độ đo $\pi(\mu)$ và $\nu$ có cùng tích phân trên cốt yếu, do đó chúng bằng nhau (§1, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2).

Cuối cùng, giả sử rằng $\pi$ là đơn ánh, và ta chứng minh b). Gọi f là một phần tử của $\mathscr{F}_+(T)$; vì $\pi$ là đơn ánh, tồn tại một hàm $g \in \mathscr{F}_+(X)$ sao cho $f = g \circ \pi$ và, đặt $\nu = \pi(\mu) = \pi(\mu')$, theo Mệnh đề 4 của No. 3 ta có

Hai độ đo $\mu$ và $\mu'$ do đó có cùng tích phân trên cốt yếu, điều này kéo theo chúng bằng nhau (§ 1, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2).

Các giả thiết hiển nhiên kéo theo rằng X là một không gian Souslin.

Ta xét hàm tập hợp $c : A \mapsto \nu^\bullet(\pi(A))$ trên $\mathfrak{P}(T)$. Quan hệ $A \subset B$ kéo theo $c(A) \leq c(B)$; nếu $(A_n)$ là một dãy tăng các tập con của T, và nếu $A = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n$, thì $c(A) = \sup_n c(A_n)$ do tính chất $\nu^\bullet$ là một độ cản. Cuối cùng, cho $A \subset T$ và cho $\varepsilon$ là một số $> 0$; chọn một tập con mở G của X chứa $\pi(A)$, sao cho $\nu^\bullet(G) \leq \nu^\bullet(\pi(A)) + \varepsilon$ (§ 1, No. 9, Mệnh đề 13); tập con mở $H = \overline{\pi^{-1}(G)}$ của T chứa A, và $c(H) \leq c(A) + \varepsilon$. Do đó hàm c là một dung lượng liên tục phải trên T (TG, IX, §6, No. 10, Định nghĩa 9)(1) và định lý về khả năng dung lượng (loc. cit., Th. 6) suy ra đẳng thức $c(T) = \sup_K c(K)$, trong đó K chạy trên tập hợp các tập con compact của T. Mệnh đề 8 sau đó suy ra sự tồn tại của độ đo cần tìm $\mu$.

Tiền độ đo $\nu$ là tiền độ đo duy nhất trên $S \times T$ thỏa mãn (4).

Khi $K$ (tương ứng $L$) chạy trên tập hợp các tập con compact của $S$ (tương ứng của $T$), ta có

theo Mệnh đề 8 của Ch. V, §8, No. 3.

Cho $\eta$ là một tiền độ đo thứ hai trên $S \times T$ thỏa mãn (4), và cho $K$ và $L$ lần lượt là các tập con compact của $S$ và $T$, $f$ và $g$ lần lượt là các phần tử của $\mathscr{F}_+(K)$ và $\mathscr{F}_+(L)$. Ta có quan hệ $(f \otimes g)^0 = f^0 \otimes g^0$ giữa các mở rộng bằng 0, do đó (§1, No. 2, Prop. 2)

Đặc biệt, nếu lấy $f \in \mathscr{K}_+(K)$, $g \in \mathscr{K}_+(L)$, ta thấy rằng $\eta_{K \times L}$ có tính chất đặc trưng của độ đo tích $\lambda_K \otimes \mu_L$ (Ch. III, §4, No. 1, Th. 1). Do đó $\eta_{K \times L} = \nu_{K \times L}$; vì mọi tập con compact của $S \times T$ đều được chứa trong một tập có dạng $K \times L$, tính bắc cầu của các độ đo cảm sinh suy ra rằng $\eta = \nu$.