1) Nếu K và L là các tập con compact của T sao cho $K \subset L$, thì $I(K) \leq I(L)$ ('I là tăng').

2) Nếu K và L là các tập con compact của T, thì $I(K \cup L) \leq I(K) + I(L)$.

3) Nếu K và L là các tập con compact rời nhau của T, thì $I(K \cup L) = I(K) + I(L)$ ('I là cộng tính').

4) Với mọi họ có hướng giảm $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ gồm các tập con compact của T, ta có $I(\bigcap_{\alpha \in A} K_\alpha) = \inf_{\alpha \in A} I(K_\alpha)$.

5) Với mọi $x \in T$, tồn tại một lân cận V của x sao cho

Khi đó đo $\mu$ là duy nhất.

Tính duy nhất của $\mu$ suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 2 của § 1, No. 2. Các điều kiện trên là cần thiết, ba điều kiện đầu tiên theo cách hiển nhiên, điều kiện cuối cùng từ sự kiện rằng $\mu^\bullet$ là một hàm bao địa phương bị chặn, và điều kiện 4) theo Hệ quả của Mệnh đề 5 của § 1, No. 6.

Để chỉ ra rằng các điều kiện này là đủ, ta bắt đầu bằng việc xét trường hợp T compact.

Hiển nhiên rằng $J$ là một hàm tập hợp tăng, mở rộng I, và rằng $J(A) + J(\mathbf{C}A) \leq l$ với mọi $A \subset T$.

Cho $K$ và $S$ là hai tập compact trong $T$; trước hết ta sẽ chứng minh rằng

Xét các hạn chế của I trên $\mathscr{K}(S)$ và của J trên $\mathfrak{P}(S)$, ta ngay lập tức quy về trường hợp $S = T$. Vì T là chuẩn tắc, K là giao của họ có hướng giảm gồm các lân cận compact của nó, và điều kiện 4) kéo theo sự tồn tại, với mọi $\varepsilon > 0$, của một lân cận compact H của K sao cho $I(H) \leq I(K) + \varepsilon$. Gọi L là bao đóng của $T - H$; L là compact, $L \cap K = \varnothing$ và $H \cup L = T$, do đó $l = I(H \cup L) \leq I(H) + I(L) \leq I(K) + I(L) + \varepsilon$ (điều kiện 2)), do đó quan hệ $J(K) + J(\mathbf{C}K) \geq I(K) + I(L) \geq l - \varepsilon$. Vì $\varepsilon$ là tùy ý, $J(K) + J(\mathbf{C}K) = l$. Điều này chứng minh công thức (2), cũng như bao hàm $\mathscr{K}(T) \subset \Phi$.

Bây giờ chứng minh rằng $\Phi$ là một lớp. Vì $\Phi$ hiển nhiên ổn định qua phép lấy phần bù, chỉ cần chứng minh rằng nếu $A_1$ và $A_2$ là các phần tử của $\Phi$, thì $A_1 \cup A_2 \in \Phi$, hay một lần nữa rằng

Ký hiệu $\varepsilon$ là một số $> 0$, và, với $i = 1, 2$, cho $K_i$ là một tập compact được chứa trong $A_i$, và $L_i$ là một tập compact được chứa trong $\mathbf{C}A_i$, sao cho

Đặt $M_1 = K_1 \cup L_1$; các quan hệ $l = J(M_1) + J(\mathbf{C}M_1)$ và

suy ra rằng $J(\mathbf{C}M_1) \leq 2\varepsilon$. Khi đó nếu $S$ là một tập con compact của $T$, quan hệ (2) (áp dụng cho $K = M_1$) suy ra $J(S) \leq J(M_1 \cap S) + 2\varepsilon$, do đó

Cộng các bất đẳng thức nhận được bằng cách cho $S = K_2$ và $S = L_2$, và xét đến bất đẳng thức $J(K_2) + J(L_2) \geq l - 2\varepsilon$ cùng với sự kiện rằng $K_1 \cap K_2$, $L_1 \cap K_2$ và $K_1 \cap L_2$ là ba tập compact rời nhau được chứa trong $A_1 \cup A_2$. Ký hiệu $C$ là hợp của ba tập compact này, ta suy ra rằng

do đó ngay lập tức nhận được công thức mong muốn (3), xét đến tính tùy ý của $\varepsilon$. Sau khi điều này được thiết lập, các bất đẳng thức trước đó suy ra rằng $J(C) \geq J(A_1 \cup A_2) - 6\varepsilon$; nếu $A_1$ và $A_2$ rời nhau, thì $C$ là hợp của $K_1 \cap L_2 \subset A_1$ và $K_2 \cap L_1 \subset A_2$, từ đó suy ra rằng $J(A_1 \cup A_2) \leq J(A_1) + J(A_2)$. Bất đẳng thức ngược là hiển nhiên, $J$ thực sự cộng tính trên $\Phi$, và bổ đề được chứng minh.

Ta hoàn thành chứng minh định lý cho trường hợp $T$ compact. Gọi $\mathscr{E}(\Phi)$ là không gian vectơ các hàm bậc thang $\Phi$ trên $T$, được trang bị tôpô hội tụ đều (Ch. IV, §4, No. 9, Định nghĩa 4); ta lại ký hiệu $J$ là dạng tuyến tính dương trên $\mathscr{E}(\Phi)$ liên kết với hàm cộng tính $J$ (loc. cit., Mệnh đề 18). Vì $J(T) = l$, $J$ liên tục và có chuẩn $l$. Khi đó, gọi $\mathscr{H}$ là bao đóng của $\mathscr{E}(\Phi)$ đối với tôpô hội tụ đều; ta kiểm tra ngay được rằng $J$ có thể được mở rộng bằng tính liên tục thành một dạng tuyến tính dương trên $\mathscr{H}$, vẫn ký hiệu là $J$. Vì $\mathscr{H}$ chứa $\mathscr{C}(T)$ (loc. cit., No. 10, Mệnh đề 19), hạn chế của $J$ trên $\mathscr{C}(T)$ là một độ đo dương $\mu$. Còn phải chứng minh rằng $\mu^\bullet(K) = I(K)$ với mọi tập compact $K$ của $T$. Bây giờ, ta có $\mu^\bullet(K) = \inf_{f \in S_K} \mu^\bullet(f)$, trong đó $S_K$ ký hiệu tập hợp các phần tử của $\mathscr{C}(T)$ thỏa mãn $\geq \varphi_K$ (§ 1, No. 6, Mệnh đề 5). Vì $J(f) = \mu^\bullet(f)$ với $f \in \mathscr{C}(T)$, rõ ràng chỉ cần chứng minh rằng $J(K) \geq \inf_{f \in S_K} J(f)$. Như trong chứng minh của Bổ đề 1, gọi $H$ là một lân cận compact của $K$ sao cho $J(H) \leq J(K) + \varepsilon$, và gọi $f$ là một hàm liên tục trên $T$, nằm giữa 0 và 1, bằng 1 trên $K$ và bằng 0 bên ngoài $H$ (GT, IX, §4, No. 1, Mệnh đề 1). Khi đó

$\varepsilon$ tùy ý, bất đẳng thức mong muốn được chứng minh, và do đó định lý được thiết lập khi $T$ compact.

Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát. Với mỗi tập compact $L$ trong $T$, gọi $I_L$ là hạn chế của $I$ vào $\mathfrak{K}(L)$. Theo trường hợp đặc biệt vừa xét, tồn tại một độ đo $\mu_L$ trên $L$, duy nhất, sao cho $\mu_L(K) = I_L(K)$ với mọi tập compact $K \subset L$. Khi đó, gọi $L'$ là một tập compact được chứa trong $L$; ta có $(\mu_L)_{L'}^\bullet(K) = \mu_{L'}^\bullet(K) = \mu_{L'}^\bullet(K)$ với mọi tập compact $K \subset L'$, do đó $\mu_{L'} = (\mu_L)_{L'}$; ánh xạ $\mu : L \mapsto \mu_L$ là một tiền độ đo. Điều kiện 5) biểu thị rằng $\mu$ là một độ đo, và quan hệ $I(K) = \mu^*(K)$ với mọi compact $K \subset T$ là hiển nhiên.

Ba điều kiện này là cần thiết: vì, ánh xạ $A \mapsto \mu^*(A)$ trên $\mathscr{B}(T)$ là cộng tính đếm được (§ 1, No. 5, Hệ quả của Mệnh đề 4), địa phương bị chặn theo định nghĩa của các độ đo (§ 1, No. 2, Định nghĩa 5), và nội chính quy theo Nhận xét 3 của § 1, No. 2.

Ta chuyển sang sự tồn tại. Rõ ràng là hạn chế của I trên $\mathscr{K}(T)$ thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3) và 5) của mệnh đề của Đl. 1; ta hãy chỉ ra rằng 4) cũng được thỏa mãn. Cho K là một tập con compact của T, là giao của một họ có hướng giảm $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ các tập compact, và cho $\varepsilon$ là một số $> 0$; vì I địa phương bị chặn, tồn tại một lân cận mở (do đó Borel) V của K sao cho $I(V) < +\infty$, và khi đó tồn tại một chỉ số $\alpha$ sao cho $K_\alpha \subset V$; nếu cần thay đổi ký hiệu, ta có thể giả sử rằng $K_\alpha \subset V$ với mọi $\alpha \in A$. Theo tính nội chính quy của I, tồn tại một tập compact $L \subset V - K$ sao cho $I(L) \geq I(V - K) - \varepsilon$; vì L không giao với K, tồn tại một chỉ số $\alpha$ sao cho $L \cap K_\alpha = \varnothing$, và khi đó ta có $I(V - K_\alpha) \geq I(L) \geq I(V - K) - \varepsilon$. Vì $K_\alpha \subset V$, suy ra rằng $I(K_\alpha) \leq I(K) + \varepsilon$ và điều kiện 4) được kiểm chứng.

Theo Đl. 1, tồn tại một độ đo $\mu$ sao cho $\mu^\bullet(K) = I(K)$ với mọi $K \in \mathscr{K}(T)$. Tính nội chính quy của các hàm tập hợp $\mu^\bullet$ và I trên $\mathscr{B}(T)$ khi đó suy ra rằng $\mu^\bullet(A) = I(A)$ với mọi $A \in \mathscr{B}(T)$, và sự tồn tại được chứng minh. Tính duy nhất của $\mu$ suy ra từ mệnh đề về tính duy nhất của Đl. 1.

Cho T là một không gian Lindelöf chính quy Radon, và I là một hàm tập hợp trên đại số $\mathscr{B}(T)$ có tính dương, cộng tính đếm được và bị chặn địa phương. Các tập mở V sao cho $I(V) < +\infty$ tạo thành một phủ của T, từ đó có thể trích ra một phủ đếm được $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Đặt $G_n = V_0 \cup V_1 \cup \cdots \cup V_n$ với mọi $n \in \mathbf{N}$; đặt $H_0 = G_0$ và $H_n = G_n - G_{n-1}$ với $n \geq 1$; cuối cùng, ký hiệu $I_n$ là hàm tập hợp $A \mapsto I(A \cap H_n)$ trên $\mathscr{B}(T)$, hàm này hiển nhiên cộng tính đếm được và bị chặn. Vì các tập hợp $H_n$ tạo thành một phân hoạch của T, ta có $I = \sum_n I_n$. Do không gian T là Radon, với mọi $n \in \mathbf{N}$ tồn tại một độ đo bị chặn $\mu_n$ trên T sao cho $\mu_n^\bullet(A) = I_n(A)$ với mọi $A \in \mathscr{B}(T)$; do đó cũng có $\sum_n \mu_n^\bullet(A) = I(A)$. Vì I bị chặn địa phương, họ $(\mu_n)$ là khả tổng (§ 1, No. 7, Prop. 7); nếu $\mu$ ký hiệu $\sum_n \mu_n$, ta có $\mu^\bullet(A) = I(A)$ với mọi $A \in \mathscr{B}(T)$, và suy ra I là chính quy nội. Nói cách khác, T là Radon mạnh.

Nhắc lại rằng một tập con A của một không gian tôpô T được gọi là đo được phổ quát nếu A là $\mu$-đo được đối với mọi độ đo $\mu$ trên T. Điều này tương đương với việc A là $\mu$-đo được đối với mọi độ đo $\mu$ trên T có giá compact (§ 1, No. 8, Prop. 9).

(1) Nhắc lại (GT, I, §9, Exer. 14; TG, IX, Phụ lục I) rằng một không gian Lindelöf là một không gian tôpô T sao cho mọi phủ mở của T đều chứa một phủ đếm được.

a) Giả sử T là một không gian Radon. Khi đó, với mọi hàm I xác định trên $\mathscr{B}(X)$ có tính dương, cộng tính đếm được và bị chặn, ta có

Ngoài ra, T đo được phổ quát trong X.

b) Ngược lại, giả sử X là một không gian Radon và T đo được phổ quát trong X; khi đó T là một không gian Radon.

Hãy chứng minh a). Ta ký hiệu $\alpha$ là vế phải của (6); với mọi $n \in \mathbf{N}$, tồn tại một tập hợp $C_n \in \mathscr{B}(X)$ chứa T sao cho $I(C_n) \leq \alpha + 2^{-n}$. Đặt $C = \bigcap_n C_n$, khi đó ta có $T \subset C$, $I(C) = \alpha$. Nếu $A \in \mathscr{B}(T)$, hãy chọn một tập Borel B của X sao cho $A = B \cap T$ (GT, IX, §6, No. 3) và đặt $J(A) = I(B \cap C)$. Số này không phụ thuộc vào lựa chọn B, vì nếu $B'$ là một tập Borel thứ hai trong X sao cho $A = B' \cap T$, thì $B \cap C$ và $B' \cap C$ chỉ khác nhau bởi một tập Borel M được chứa trong $C - T$, và $I(M) = 0$ theo phép dựng C. Rõ ràng $J(K) = I(K)$ với mọi tập compact $K \subset T$. Cho $(A_n)$ là một dãy các tập Borel của T, từng đôi một rời nhau, và với mỗi $n$, cho $B_n$ là một tập Borel của X sao cho $B_n \cap T = A_n$. Thay thế $B_n$ bởi $B_n - \left( \bigcup_{k < n} B_k \right)$ nếu cần thiết, ta có thể giả sử các tập hợp $B_n$ từng đôi một rời nhau. Đặt $A = \bigcup_n A_n$ và $B = \bigcup_n B_n$; khi đó

J do đó là một hàm cộng tính đếm được và bị chặn trên $\mathscr{B}(T)$. Vì T là một không gian Radon theo giả thiết, tồn tại một độ đo bị chặn $\mu$ trên T sao cho $J(A) = \mu^\bullet(A)$ với mọi $A \in \mathscr{B}(T)$; do đó

theo định nghĩa của $\mu^\bullet$. Công thức (6) do đó được thiết lập.

Bây giờ ta hãy chứng minh rằng T là đo được phổ quát. Cho $\lambda$ là một độ đo bị chặn trên X; lập luận trước đó có thể được áp dụng cho hàm tập hợp $I : A \mapsto \lambda^\bullet(A)$ trên $\mathscr{B}(X)$, do đó tồn tại một dãy $(K_n)$ các tập con compact của T sao cho (với các ký hiệu trên)

Đặt $K' = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} K_n$; $K'$ là Borel trong $X$, $K' \subset T \subset C$, $\lambda^*(K') = \lambda^*(C)$, do đó ba tập hợp này chỉ khác nhau bởi các tập $\lambda$-không đáng kể, và vì vậy T là $\lambda$-đo được. Điều này hoàn tất chứng minh của a).

Ta chuyển sang b). Giả sử rằng $X$ là một không gian Radon, và rằng T là đo được phổ quát trong $X$. Cho $I$ là một hàm dương trên $\mathscr{B}(T)$ cộng tính đếm được và bị chặn; hàm $A \mapsto I(A \cap T)$ trên $\mathscr{B}(X)$ khi đó là dương, cộng tính đếm được và bị chặn, do đó tồn tại một độ đo bị chặn $\nu$ trên $X$ sao cho $I(A \cap T) = \nu^*(A)$ với mọi $A \in \mathscr{B}(X)$. Khi đó, $T$ là $\nu$-đo được; quan hệ trước đó chỉ ra rằng $\nu^*(K) = 0$ với mọi tập con compact $K$ của $X$ rời nhau với T, do đó $\nu$ tập trung trên T. Do đó, với mọi tập Borel $A$ của $X$, ta có $I(A \cap T) = \nu^*(A \cap T) = \mu^*(A \cap T)$, trong đó $\mu$ là độ đo cảm sinh bởi $\nu$ trên T. Cuối cùng, suy ra rằng $I(B) = \mu^*(B)$ với mọi tập hợp $B \in \mathscr{B}(T)$ (GT, IX, §6, No. 3, Nhận xét 2), và $I$ thực sự là nội chính quy.

Vì, $T$ là đo được phổ quát trong $X$.

Cho $T$ là một không gian Souslin; vì $T$ là một không gian Lindelöf (TG, IX, Phụ lục I, Hệ quả của Mệnh đề 1),(2) chỉ cần chứng minh rằng $T$ là Radon (Mệnh đề 1). Cho $I$ là một hàm xác định trên $\mathscr{B}(T)$, dương, cộng tính đếm được và bị chặn. Ta mở rộng $I$ lên $\mathscr{P}(T)$ bằng cách đặt, với mọi tập con $A$ của $T$,

Ta hãy chứng minh rằng mở rộng này là một dung lượng trên $T$ (GT, IX, §6, No. 9). Hiển nhiên rằng quan hệ $A \subset A'$ kéo theo $I(A) \leq I(A')$. Cho $(A_n)$ là một dãy tăng các tập con của $T$, và đặt $A = \bigcup_n A_n$. Tập hợp các tập Borel chứa $A_n$ là ổn định đối với các giao đếm được, nên với mỗi $n$ tồn tại một tập Borel $B_n$ sao cho $A_n \subset B_n$ và $I(A_n) = I(B_n)$ (xem chứng minh của Mệnh đề 2). Đặt $C_n = \bigcap_{p \geq n} B_p$; $C_n$ là Borel, và $A_n \subset C_n \subset B_n$, do đó $I(A_n) = I(C_n)$. Mặt khác, dãy $(C_n)$ là tăng. Đặt $C = \bigcup_n C_n$: quan hệ $A \subset C$ kéo theo rằng

(2) Mọi không gian Souslin đều có một cơ sở đếm được cho các tập mở (GT, IX, §6, No. 2, Mệnh đề 4), do đó là Lindelöf (GT, I, §9, Bài tập 14).

do đó đẳng thức $I(A) = \lim_n I(A_n)$ là ngay lập tức. Do đó, I là một dung lượng.

Nếu $(H_n)$ là một dãy giảm các tập đóng trong T, hiển nhiên $I\left( \bigcap_n H_n \right) = \inf_n I(H_n)$. Suy ra rằng mọi tập con Souslin F của T đều có tính dung lượng đối với I (TG, IX, §6, No. 10, Mệnh đề 15). Đặc biệt, mọi tập Borel A của T đều có tính dung lượng (loc. cit., §6, No. 3, Mệnh đề 10).(3) Nói cách khác,

trong đó K chạy qua tập hợp các tập compact được chứa trong A; ta đã chứng minh rằng I là nội chính quy.