1) Si K et L sont des parties compactes de T telles que $K \subset L$, on a $I(K) \leq I(L)$ (« I est croissante »).

2) Si K et L sont des parties compactes de T, on a $I(K \cup L) \leq I(K) + I(L)$.

3) Si K et L sont des compacts disjoints de T, on a $I(K \cup L) = I(K) + I(L)$ (« I est additive »).

4) Pour toute famille filtrante décroissante $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ de parties compactes de T, on a $I(\bigcap_{\alpha \in A} K_\alpha) = \inf_{\alpha \in A} I(K_\alpha)$.

5) Pour tout $x \in T$, il existe un voisinage V de x tel que

La mesure $\mu$ est alors unique.

L’unicité de $\mu$ résulte du cor. de la prop. 2 du § 1, n° 2. Les conditions ci-dessus sont nécessaires, les trois premières de façon évidente, la dernière du fait que $\mu^*$ est un encombrement localement borné, et la condition 4) d’après le cor. de la prop. 5 du § 1, n° 6.

Pour montrer que ces conditions sont suffisantes, nous commencerons par traiter le cas où T est compact.

Il est clair que J est une fonction d’ensemble croissante, qui prolonge I, et que l’on a $J(A) + J(\complement A) \leq l$ pour tout $A \subset T$.

Soient K et S deux ensembles compacts dans T ; nous allons montrer d’abord que l’on a:

En considérant les restrictions de I à $\mathfrak{K}(S)$ et de J à $\mathfrak{P}(S)$, on se ramène aussitôt au cas où $S = T$. Comme T est normal, K est l’intersection de la famille filtrante décroissante de ses voisinages compacts, et la condition 4) entraîne l’existence, pour tout $\varepsilon > 0$, d’un voisinage compact H de K tel que $I(H) \leq I(K) + \varepsilon$. Soit L l’adhérence de $T - H$; L est compact, on a $L \cap K = \varnothing$, et $H \cup L = T$, donc $l = I(H \cup L) \leq I(H) + I(L) \leq I(K) + I(L) + \varepsilon$ (condition 2)), d’où la relation $J(K) + J(\mathscr{C}K) \geq I(K) + I(L) \geq l - \varepsilon$. Comme $\varepsilon$ est arbitraire, on a $J(K) + J(\mathscr{C}K) = l$. Cela prouve la formule (2), ainsi que l’inclusion $\mathfrak{A}(T) \subset \Phi$.

Prouvons maintenant que $\Phi$ est un clan. Comme $\Phi$ est évidemment stable par passage au complémentaire, il suffit de montrer que si $A_1$ et $A_2$ désignent des éléments de $\Phi$, on a $A_1 \cup A_2 \in \Phi$, ou encore que l’on a

Désignons par $\varepsilon$ un nombre $> 0$, et, pour $i = 1, 2$, soient $K_i$ un compact contenu dans $A_i$, $L_i$ un compact contenu dans $\mathscr{C}A_i$, tels que

Posons $M_1 = K_1 \cup L_1$; les relations $l = J(M_1) + J(\mathscr{C}M_1)$, $J(M_1) = I(K_1) + I(L_1) \geq J(A_1) + J(\mathscr{C}A_1) - 2\varepsilon = l - 2\varepsilon$, entraînent $J(\mathscr{C}M_1) \leq 2\varepsilon$. Alors, si $S$ est une partie compacte de $T$, la relation (2) (appliquée à $K = M_1$) entraîne $J(S) \leq J(M_1 \cap S) + 2\varepsilon$, d’où

Ajoutons les inégalités obtenues en faisant $S = K_2$ et $S = L_2$ et tenons compte de l’inégalité $J(K_2) + J(L_2) \geq l - 2\varepsilon$, et du fait que $K_1 \cap K_2, L_1 \cap K_2$ et $K_1 \cap L_2$ sont trois compacts disjoints contenus dans $A_1 \cup A_2$. Il vient, en désignant par $C$ la réunion de ces trois compacts

d’où aussitôt la formule (3) cherchée vu l’arbitraire de $\varepsilon$. Ceci étant acquis, les inégalités précédentes entraînent $J(C) \geq J(A_1 \cup A_2) - 6\varepsilon$; si $A_1$ et $A_2$ sont disjoints, $C$ est réunion de $K_1 \cap L_2 \subset A_1$ et de $K_2 \cap L_1 \subset A_2$, et on en déduit $J(A_1 \cup A_2) \leq J(A_1) + J(A_2)$. L’inégalité inverse étant évidente, $J$ est bien additive sur $\Phi$, et le lemme est établi.

Achevons la démonstration du théorème dans le cas où $T$ est compact. Soit $\mathscr{E}(\Phi)$ l’espace vectoriel des fonctions $\Phi$-étagées sur $T$ muni de la convergence uniforme (chap. IV, 2e éd., § 4, n° 9, déf. 4); nous désignerons encore par $J$ la forme linéaire positive sur $\mathscr{E}(\Phi)$ associée à la fonction additive $J$ (loc. cit., prop. 18). Comme $J(T) = l$, $J$ est continue et de norme $l$. Soit alors $\mathscr{H}$ l’adhérence de $\mathscr{E}(\Phi)$ pour la topologie de la convergence uniforme; on vérifie aussitôt que $J$ se prolonge par continuité en une forme linéaire positive sur $\mathscr{H}$, encore notée $J$. Comme $\mathscr{H}$ contient $\mathscr{C}(T)$ (loc. cit., n° 10, prop. 19) la restriction de $J$ à $\mathscr{C}(T)$ est une mesure positive $\mu$. Il nous reste à montrer que l’on a $\mu^\bullet(K) = I(K)$ pour toute partie compacte $K$ de $T$. Or nous avons $\mu^\bullet(K) = \inf_{f \in S_K} \mu^\bullet(f)$, où $S_K$ désigne l’ensemble des éléments de $\mathscr{C}(T)$ qui majorent $\varphi_K$ (§ 1, n° 6, prop. 5). Comme $J(f) = \mu^\bullet(f)$ pour $f \in \mathscr{C}(T)$, il suffit évidemment de montrer que $J(K) \geq \inf_{f \in S_K} J(f)$. Or soit $H$, comme dans la démonstration du lemme 1, un voisinage compact de K tel que $J(H) \leq J(K) + \varepsilon$, et soit $f$ une fonction continue dans T, comprise entre 0 et 1, égale à 1 sur K et à 0 hors de H (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 4, n° 1, prop. 1). On a

Passons maintenant au cas général. Pour tout ensemble compact L dans T, soit $I_L$ la restriction de I à $\mathfrak{A}(L)$. D’après le cas particulier qui vient d’être traité, il existe une mesure $\mu_L$ sur L, unique, telle que $\mu_L(K) = I_L(K)$ pour tout ensemble compact $K \subset L$. Soit alors $L'$ un compact contenu dans L; on a $(\mu_L)_{L'}(K) = \mu_{L'}(K) = \mu_{L'}(K)$ pour tout compact $K \subset L'$, donc $\mu_{L'} = (\mu_L)_{L'}$; l’application $\mu : L \mapsto \mu_L$ est une prémesure. La condition 5) exprime que $\mu$ est une mesure, et la relation $I(K) = \mu^*(K)$ pour tout compact $K \subset T$ est évidente.

Ces trois conditions sont nécessaires : l’application $A \mapsto \mu^*(A)$ sur $\mathscr{B}(T)$ est en effet dénombrablement additive (§ 1, n° 5, cor. de la prop. 4), localement bornée d’après la définition des mesures (§ 1, n° 2, déf. 5) et intérieurement régulière d’après la Remarque 3 du § 1, n° 2.

Passons à l’existence. Il est clair que la restriction de I à $\mathfrak{A}(T)$ satisfait aux conditions 1), 2), 3) et 5) de l’énoncé du th. 1; montrons que 4) est également satisfaite. Soit K une partie compacte de T, intersection d’une famille filtrante décroissante $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ d’ensembles compacts, et soit $\varepsilon$ un nombre $> 0$; I étant localement bornée, il existe un voisinage ouvert (donc borélien) V de K tel que $I(V) < +\infty$, et il existe alors un indice $\alpha$ tel que $K_\alpha \subset V$; quitte à changer de notation, nous pouvons supposer que $K_\alpha \subset V$ pour tout $\alpha \in A$. D’après la régularité intérieure de I, il existe un ensemble compact $L \subset V - K$ tel que

I(L) ≥ I(V − K) − ε; comme L ne rencontre pas K, il existe un indice α tel que L ∩ K_α = ∅, et on a alors I(V − K_α) ≥ I(L) ≥ I(V − K) − ε. Comme on a K_α ⊂ V, il en résulte I(K_α) ≤ I(K) + ε et la condition 4) est vérifiée.

D’après le th. 1, il existe une mesure μ telle que μ^•(K) = I(K) pour tout K ∈ $\mathfrak{K}(T)$. La régularité intérieure des fonctions d’ensembles μ^• et I sur $\mathscr{B}(T)$ entraîne alors μ^•(A) = I(A) pour tout A ∈ $\mathscr{B}(T)$ et l’existence est prouvée. L’unicité de μ résulte de l’assertion d’unicité du th. 1.

Soit T un espace de Lindelöf radonien, et soit I une fonction d’ensemble, positive, dénombrablement additive et localement bornée, sur la tribu $\mathscr{B}(T)$. Les ensembles ouverts V tels que I(V) < +∞ forment un recouvrement de T, dont on peut extraire un recouvrement dénombrable $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Posons $G_n = V_0 \cup V_1 \cup \ldots \cup V_n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$; posons $H_0 = G_0$ et $H_n = G_n - G_{n-1}$ pour $n \geq 1$; désignons enfin par $I_n$ la fonction d’ensemble $A \mapsto I(A \cap H_n)$ sur $\mathscr{B}(T)$, qui est évidemment dénombrablement additive et bornée. Les ensembles $H_n$ formant une partition de T, on a $I = \sum_n I_n$. L’espace T étant radonien, il existe pour chaque $n \in \mathbf{N}$ une mesure bornée $\mu_n$ sur T telle qu’on ait $\mu_n^•(A) = I_n(A)$ pour tout $A \in \mathscr{B}(T)$; on a donc aussi $\sum_n \mu_n^•(A) = I(A)$. Comme I est localement bornée, la famille $(\mu_n)$ est sommable (§ 1, n° 7, prop. 7); si $\mu$ désigne $\sum_n \mu_n$, on a $\mu^•(A) = I(A)$ pour tout $A \in \mathscr{B}(T)$, et il en résulte que I est intérieurement régulière. Autrement dit, T est fortement radonien.

Rappelons qu’une partie A d’un espace topologique T est dite universellement mesurable si A est $\mu$-mesurable pour toute mesure $\mu$ sur T. Cela revient à dire que A est $\mu$-mesurable pour toute mesure $\mu$ sur T à support compact (§ 1, n° 8, prop. 9).

(1) Rappelons (Top. gén. chap. IX, Appendice I) qu’on appelle espace de Lindelöf tout espace topologique T tel que de tout recouvrement ouvert de T, on puisse extraire un recouvrement dénombrable.

a) Supposons que $T$ soit radonien. Pour toute fonction $I$ définie sur $\mathscr{B}(X)$, positive, dénombrablement additive et bornée, on a alors

De plus, $T$ est universellement mesurable dans $X$.

b) Inversement, supposons que $X$ soit radonien, et que $T$ soit universellement mesurable dans $X$; alors $T$ est radonien.

Démontrons a). Désignons par $\alpha$ le second membre de (6); pour tout $n \in \mathbf{N}$, il existe un ensemble $C_n \in \mathscr{B}(X)$ contenant $T$, et tel que $I(C_n) \leq \alpha + 2^{-n}$. Si l’on pose $C = \bigcap_n C_n$, on a alors $T \subset C$, $I(C) = \alpha$. Si $A \in \mathscr{B}(T)$, choisissons une partie borélienne $B$ de $X$ telle que $A = B \cap T$ (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 3) et posons $J(A) = I(B \cap C)$. Ce nombre ne dépend pas du choix de $B$, car si $B'$ est un second ensemble, borélien dans $X$, tel que $A = B' \cap T$, alors $B \cap C$ et $B' \cap C$ ne diffèrent que par un ensemble borélien $M$ contenu dans $C - T$, et on a $I(M) = 0$ d’après la construction de $C$. On a évidemment $J(K) = I(K)$ pour tout ensemble compact $K \subset T$. Soit $(A_n)$ une suite de parties boréliennes de $T$, deux à deux disjointes, et, pour chaque $n$, soit $B_n$ une partie borélienne de $X$ telle que $B_n \cap T = A_n$. Quitte à remplacer $B_n$ par $B_n - (\bigcup_{k < n} B_k)$, on peut supposer que les ensembles $B_n$ sont deux à deux disjoints. Posons $A = \bigcup_n A_n$ et $B = \bigcup_n B_n$; on a $J(A) = I(B \cap C) = \sum_n I(B_n \cap C) = \sum_n J(A_n)$; $J$ est donc une fonction dénombrablement additive et bornée sur $\mathscr{B}(T)$. Comme $T$ est radonien par hypothèse, il existe une mesure bornée $\mu$ sur $T$ telle que $J(A) = \mu^*(A)$ pour tout $A \in \mathscr{B}(T)$; on a par conséquent $\alpha = J(T) = \mu^*(T) = \sup_K \mu^*(K) = \sup_K J(K)$, par définition de $\mu^*$. La formule (6) est donc établie.

Montrons que $T$ est universellement mesurable. Soit $\lambda$ une mesure bornée sur $X$; le raisonnement précédent s’applique à la fonction d’ensemble $I : A \mapsto \lambda^*(A)$ sur $\mathscr{B}(X)$, et il existe donc une suite $(K_n)$ de parties compactes de $T$ telles que l’on ait (avec les notations ci-dessus)

Posons $K' = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} K_n$; $K'$ est borélien dans $X$, on a $K' \subset T \subset C$, $\lambda^*(K') = \lambda^*(C)$, donc ces trois ensembles ne diffèrent que par des ensembles $\lambda$-négligeables, et $T$ est $\lambda$-mesurable. Cela achève la démonstration de a).

Passons à b). Supposons que $X$ soit radonien, et que $T$ soit universellement mesurable dans $X$. Soit $I$ une fonction positive, dénombrablement additive et bornée sur $\mathscr{B}(T)$; la fonction $A \mapsto I(A \cap T)$ sur $\mathscr{B}(X)$ est alors positive, dénombrablement additive et bornée, et il existe donc une mesure bornée $\nu$ sur $X$ telle que $I(A \cap T) = v^*(A)$ pour tout $A \in \mathfrak{B}(X)$. Or $T$ est $v$-mesurable; la relation précédente montre que $v^*(K) = 0$ pour tout compact $K$ de $X$ disjoint de $T$, et $v$ est donc concentrée sur $T$. Par conséquent, pour tout ensemble borélien $A$ de $X$, on a $I(A \cap T) = v^*(A \cap T) = \mu^*(A \cap T)$, où $\mu$ est la mesure induite par $v$ sur $T$. Il en résulte enfin que $I(B) = \mu^*(B)$ pour tout ensemble $B \in \mathfrak{B}(T)$ (\emph{Top. gén.}, chap. IX, 3\textsuperscript{e} éd., § 6, no 3, Remarque), et $I$ est bien intérieurement régulière.

En effet, $T$ est universellement mesurable dans $X$.

Soit $T$ un espace souslinien; $T$ étant un espace de Lindelöf (Top. gén., chap. IX, 3\textsuperscript{e} éd., Appendice I, cor. de la prop. 1), il suffit de montrer que $T$ est radonien (prop. 1). Soit $I$ une fonction définie sur $\mathfrak{B}(T)$, positive, dénombrablement additive et bornée. Nous prolongerons $I$ à $\mathfrak{P}(T)$ en posant, pour toute partie $A$ de $T$

Montrons que ce prolongement est une capacité sur $T$ (Top. Gén., chap. IX, 3\textsuperscript{e} éd., § 6, no 9). Il est clair que la relation $A \subset A'$ entraîne $I(A) \leq I(A')$. Soit $(A_n)$ une suite croissante de parties de $T$, et soit $A = \bigcup_n A_n$. L’ensemble des parties boréliennes qui contiennent $A_n$ étant stable pour les intersections dénombrables, il existe pour chaque $n$ un ensemble borélien $B_n$ tel que $A_n \subset B_n$ et $I(A_n) = I(B_n)$ (cf. démonstration de la prop. 2). Posons $C_n = \bigcap_{p \geq n} B_p$; $C_n$ est borélien, et on a $A_n \subset C_n \subset B_n$, donc $I(A_n) = I(C_n)$. D’autre part, la suite $(C_n)$ est croissante. Soit $C = \bigcup_n C_n$: la relation $A \subset C$ entraîne $I(A) \leq I(C) = \lim_n I(C_n) = \lim_n I(A_n)$ d’où aussitôt l’égalité $I(A) = \lim_n I(A_n)$. Par suite, $I$ est une capacité.

Si $(H_n)$ est une suite décroissante d’ensembles fermés dans $T$, on a évidemment $I(\bigcap_n H_n) = \inf_n I(H_n)$. Il en résulte que tout sous-ensemble souslinien $F$ de $T$ est capacitable pour $I$ (Top. gén., chap. IX, 3\textsuperscript{e} éd., § 4, no 9, prop. 15). En particulier, tout sous-ensemble borélien $A$ de $T$ est capacitable (loc. cit., no 3, prop. 10). Autrement, dit, on a

$K$ parcourant l’ensemble des compacts contenus dans $A$; on a prouvé que $I$ est intérieurement régulière.