Exercice 17, § 3

Soit T un espace topologique. a) Soit m une application dénombrablement additive de $\mathfrak{B}(T)$ dans $\mathbf{R}_+$. On suppose qu’il existe une suite $(T_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de parties boréliennes de T, telle que $T = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} T_n$, que $m(T_0) = 0$ et que le sous-espace $T_n$ de T soit radonien pour tout $n \geqslant 1$. Montrer qu’il existe une mesure positive bornée $\mu$ sur T telle que $m(A) = \mu^*(A)$ pour toute partie borélienne A de T (on pourra se ramener au cas où les $T_n$ sont deux à deux disjoints en appliquant le cor. de la prop. 2 du n° 3). b) Etendre le résultat précédent au cas où les ensembles $T_n$ pour $n \geqslant 1$ ne sont plus supposés

(1) Il revient au même de dire que l’on peut munir $\mathbf{R}$ d’une structure de bon ordre $<$ pour laquelle l’ensemble des $x \in \mathbf{R}$ tels que $x < a$ soit dénombrable pour tout $a \in \mathbf{R}$. On a pu montrer (cf. P. Cohen, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. L (1963), 1143–1148 et vol. LI (1964), p. 105–110) que cet axiome n’apporte aucune contradiction nouvelle à la théorie des ensembles, et qu’il est par ailleurs indépendant des autres axiomes de la théorie des ensembles. (2) On dit qu’un cardinal c est fortement inaccessible s’il est non dénombrable, si l’on a $2^b < c$ pour tout cardinal $b < c$ et si l’on a $\sum_{i \in I} c_i < c$ pour toute famille de cardinaux $c_i < c$ telle que Card(I) < c.

Les exercices 11 et 13 montrent que, moyennant l’hypothèse du continu, le plus petit cardinal non ulamien est fortement inaccessible. On ne sait pas si l’axiome d’existence de cardinaux fortement inaccessibles est contradictoire aux autres axiomes de la théorie des ensembles.

boréliens, mais seulement universellement mesurables dans T (raisonner comme dans la prop. 2 du n° 3). c) Tout espace topologique qui est réunion d'une suite de sous-espaces compacts et métrisables est radonien.