Bài tập 17, § 3

Cho $T$ là một không gian tôpô. a) Cho $m$ là một ánh xạ cộng tính đếm được của $\mathscr{B}(T)$ vào $\mathbf{R}_+$. Giả sử rằng tồn tại một dãy $(T_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các tập con Borel của $T$ sao cho $T = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} T_n$, $m(T_0) = 0$ và không gian con $T_n$ của $T$ là Radon với mọi $n \geq 1$. Chứng minh rằng tồn tại một độ đo dương bị chặn $\mu$ trên $T$ sao cho $m(A) = \mu^*(A)$ với mọi tập con Borel $A$ của $T$ (có thể rút gọn về trường hợp các $T_n$ rời nhau từng đôi một bằng cách áp dụng Hệ quả của Mệnh đề 2 của No. 3). b) Mở rộng kết quả trước cho trường hợp các tập hợp $T_n$ với $n \geq 1$ không còn được giả sử là Borel mà chỉ đo được phổ quát trong $T$ (lập luận như trong Mệnh đề 2 của No. 3). c) Mọi không gian tôpô là hợp của một dãy các không gian con compact mêtric đều là Radon.