Exercice 1, § 3

Soient $E$ un ensemble, $\Phi$ un clan de parties de $E$, et $m$ une fonction additive d'ensembles définie dans $\Phi$. On note $\mathscr{E}(\Phi)$ l'espace vectoriel des fonctions réelles $\Phi$-étagées sur $E$, et $J$ la forme linéaire sur $\mathscr{E}(\Phi)$ telle que $J(\varphi_A) = m(A)$ pour tout $A \in \Phi$. a) Pour tout $A \in \Phi$, on pose $m_+(A) = \sup_{\substack{B \subset A \\ B \in \Phi}} m(B)$ et $m_-(A) = \sup_{\substack{B \subset A \\ B \in \Phi}} (-m(B))$. Montrer que $|m|(A) = m_+(A) + m_-(A)$ est la borne supérieure de l'ensemble des nombres de la forme $\sum_{i=1}^p |m(A_i)|$ pour toutes les partitions finies $(A_i)_{1 \leq i \leq p}$ de $A$ en ensembles appartenant à $\Phi$. b) On dit que $m$ est relativement bornée si l'ensemble des nombres de la forme $m(B)$ pour $B \in \Phi, B \subset A$ est borné quel que soit l'ensemble $A \in \Phi$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ $m$ est relativement bornée; $\beta)$ la forme linéaire $J$ sur l'espace de Riesz $\mathscr{E}(\Phi)$ est relativement bornée; $\gamma)$ $m$ est différence de deux fonctions additives d'ensembles positives sur $\Phi$; $\delta)$ $|m|(A)$ est fini pour tout $A \in \Phi$ (raisonner en cercle $\alpha$) $\Rightarrow \beta) \Rightarrow \gamma) \Rightarrow \delta) \Rightarrow \alpha)$. c) On suppose que $m$ est relativement bornée. Montrer que les fonctions d'ensembles $|m|, m_+$ et $m_-$ sont additives et que l'on a $m = m_+ - m_-$ (utiliser le th. 1 du chap. II, § 2, n° 1). De plus, si $m'$ et $m''$ sont des fonctions d'ensembles additives et positives sur $\Phi$ telles que $m = m' - m''$, on a $m' \geq m_+$ et $m'' \geq m_-$. d) On dit que $m$ est dénombrablement additive si l'on a $m(A) = \sum_{n \geq 1} m(A_n)$ pour toute partition dénombrable $(A_n)_{n \geq 1}$ d'un ensemble $A \in \Phi$ en ensembles appartenant à $\Phi$. Montrer que cette condition signifie que l'on a $\lim_{n \to \infty} m(A_n) = 0$ pour toute suite décroissante $(A_n)_{n \geq 1}$ d'éléments de $\Phi$ telle que $\bigcap_{n \geq 1} A_n = \emptyset$. Si $m$ est dénombrablement additive, montrer que $|m|$ est dénombrablement additive.