Bài tập 1, § 3

Cho E là một tập hợp, $\Phi$ là một họ các tập con của E, và m là một hàm tập hợp cộng tính xác định trên $\Phi$. Ký hiệu $\mathscr{E}(\Phi)$ là không gian vectơ các hàm bước $\Phi$-thực trên E, và J là dạng tuyến tính trên $\mathscr{E}(\Phi)$ sao cho $J(\varphi_A) = m(A)$ với mọi $A \in \Phi$.

a) Với mọi $A \in \Phi$, ta đặt

Chứng minh rằng $|m|(A) = m_+(A) + m_-(A)$ là cận trên đúng của tập hợp các số có dạng $\sum_{i=1}^p |m(A_i)|$ với mọi phân hoạch hữu hạn $(A_i)_{1 \leq i \leq p}$ của A thành các tập hợp thuộc $\Phi$.

b) Người ta nói rằng m là bị chặn tương đối nếu tập hợp các số có dạng $m(B)$ với $B \in \Phi, B \subset A$ là bị chặn với mọi tập hợp $A \in \Phi$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: $\alpha)$ m bị chặn tương đối; $\beta)$ dạng tuyến tính J trên không gian Riesz $\mathscr{E}(\Phi)$ bị chặn tương đối; $\gamma)$ m là hiệu của hai hàm tập hợp cộng tính dương trên $\Phi$; $\delta)$ $|m|(A)$ hữu hạn với mọi $A \in \Phi$ (lập luận theo vòng tròn $\alpha$) $\Rightarrow \beta) \Rightarrow \gamma) \Rightarrow \delta) \Rightarrow \alpha)$.

c) Giả sử rằng m bị chặn tương đối. Chứng minh rằng các hàm tập hợp $|m|, m_+$ và $m_-$ là cộng tính và rằng $m = m_+ - m_-$ (sử dụng Định lý 1 của Ch. II, §2, No. 2). Hơn nữa, nếu $m'$ và $m''$ là các hàm tập hợp cộng tính và dương trên $\Phi$ sao cho $m = m' - m''$, thì $m' \geq m_+$ và $m'' \geq m_-$.

d) Người ta nói rằng m là cộng tính đếm được nếu $m(A) = \sum_{n \geq 1} m(A_n)$ với mọi phân hoạch đếm được $(A_n)_{n \geq 1}$ của một tập hợp $A \in \Phi$ thành các tập hợp thuộc $\Phi$. Chứng minh rằng điều kiện này có nghĩa là $\lim_{n \to \infty} m(A_n) = 0$ đối với mọi dãy giảm $(A_n)_{n \geq 1}$ các phần tử của $\Phi$ sao cho $\bigcap_{n \geq 1} A_n = \emptyset$. Nếu m là cộng tính đếm được, chứng minh rằng $|m|$ là cộng tính đếm được.