§ 2. Opérations sur les mesures

Comme dans le paragraphe précédent, $T$ désigne un espace topologique séparé, et $\mu$ une mesure sur $T$ . On rappelle que toutes les mesures sont supposées positives, sauf mention du contraire.

1. Mesure induite sur un sous-espace mesurable

Soit $X$ une partie de $T$ , et soit $\nu$ la restriction de l’application $\mu : K \mapsto \mu_K$ à l’ensemble des parties compactes de $X$ ; il est clair que $\nu$ est une prémesure sur $X$ . D’autre part, soient $x \in X$ et $V$ un voisinage ouvert de $x$ dans $T$ tel que $\mu^*(V) < +\infty$ ; on a

\nu^*(X \cap V) = \sup_{\substack{K \text{ compact} \\ K \subset X \cap V}} \mu^*(K) \leq \mu^*(V) < +\infty

d’après la Remarque 3 du § 1, n° 2, de sorte que

\nu

est une mesure.

Lorsque $X$ n’est pas $\mu$ -mesurable, les encombrements $\nu^*$ et $(\mu^*)_x$ ne sont pas nécessairement égaux et la mesure $\nu$ ne présente pas d’intérêt.

Définition 1

Soit $X$ une partie $\mu$ -mesurable de $T$ . On appelle mesure induite par $\mu$ sur le sous-espace $X$ , et on note $\mu_X$ ou $\mu|X$ , la restriction de $\mu : K \mapsto \mu_K$ à l’ensemble des parties compactes de $X$ .

Proposition 1

Soit $X$ une partie $\mu$ -mesurable de $T$ . L’encombrement $(\mu_X)^*$ est égal à l’encombrement $(\mu^*)_x$ induit par $\mu^*$ sur $X$ (§ 1, n° 1). Autrement dit, on a $(\mu_X)^*(g) = \mu^*(g^0)$ pour toute fonction $g \in \mathscr{F}_+(X)$ . Soient $f \in \mathscr{F}_+(X)$ et $f^0$ le prolongement par 0 de $f$ à $T$ . On a $(\mu^*)_x(f) =$ n° 2.2.

$\mu^*(f^0) = \sup_L \mu^*(f^0 \varphi_L)$ , L parcourant l’ensemble des parties compactes de T ( $§ 1$ , n° 2, prop. 2); de même, on a $(\mu_X)^*(f) = \sup_K \mu_K^*(f_K) = \sup_K \mu^*(f^0 \varphi_K)$ , K parcourant l’ensemble des parties compactes de X. Tout revient donc à montrer que $\mu^*(f^0 \varphi_L) = \sup_K \mu^*(f^0 \varphi_K)$ pour tout compact L de T, K parcourant l’ensemble des compacts de $L \cap X$ . Or soit $(K_n)$ une suite croissante d’ensembles compacts contenus dans $L \cap X$ , telle que $(L \cap X) - \bigcup_n K_n$ soit localement $\mu$ -négligeable ( $§ 1$ , n° 8, prop. 11); $f^0$ étant nulle hors de X, $f^0 \varphi_L$ est nulle hors de $L \cap X$ , et donc égale localement presque partout à l’enveloppe supérieure de la suite $(f^0 \varphi_{K_n})$ . Cela entraîne $\mu^*(f^0 \varphi_L) = \sup_n \mu^*(f^0 \varphi_{K_n})$ , d’où le résultat cherché.

Remarque 1

La relation $(\mu_X)^* = (\mu^*)_X$ permet d’utiliser sans ambiguïté la notation $\mu_X^*$ ; nous le ferons dans toute la suite. La prop. 1 précédente et la prop. 2 du $§ 1$ , n° 2 montrent que les mesures notées $\mu_K$ jusqu’à présent, pour K compact, sont bien des mesures induites au sens de la déf. 1. De même, si T est localement compact, et si X est un sous-espace localement compact de T, la prop. 1 ci-dessus et la prop. 1 du chap. V, 2e éd., $§ 7$ , n° 1 montrent que la déf. 1 coïncide avec celle du chap. IV, 2e éd., $§ 5$ , n° 7.

Remarque 2

La déf. 1 s’étend au cas où $\mu$ est une mesure complexe sur T. Pour montrer dans ce cas que la prémesure $\mu_X$ est une mesure, il suffit de remarquer que $|\mu_K| = |\mu|_K$ pour tout compact K de X ( $§ 1$ , n° 2).

D’après la prop. 1, une partie Y de X est $\mu_X$ -mesurable (resp. localement $\mu_X$ -négligeable) si et seulement si elle est $\mu$ -mesurable (resp. localement $\mu$ -négligeable). Si Y est $\mu_X$ -mesurable, et donc $\mu$ -mesurable, les mesures induites $(\mu_X)_Y$ et $\mu_Y$ sont évidemment égales en vertu de la prop. 1 (« transitivité des mesures induites »).

Remarque 3). — Soit X une partie $\mu$ -mesurable de T. D’après la prop. 10 du $§ 1$ , n° 8, appliquée à $g = \varphi_X$ il existe un concassage $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ de T tel que l’on ait $K_\alpha \subset X$ ou $K_\alpha \subset \complement X$ pour tout $\alpha \in A$ . Si l’on modifie la topologie de T suivant le procédé du scholie du $§ 1$ , n° 8, l’espace X’ obtenu en munissant X de la topologie induite par T’ est localement compact, et l’on sait associer à $\mu$ (resp. à $\mu_X$ ) une mesure $\mu'$ (resp. $\nu$ ) sur T’ (resp. X’) qui admet la même intégrale supérieure essentielle que $\mu$ (resp. que $\mu_X$ ): ceci entraîne $\mu'_X = \nu$ . Comme les ensembles localement négligeables, les applications mesurables, les fonctions essentiellement intégrables à valeurs dans les espaces de Banach, sont les mêmes pour $\mu$ et $\mu'$ , pour $\mu_X$ et pour $\mu'_X$ , la théorie de l’intégration par rapport à une mesure induite se trouve ramenée à celle qui a été traitée au chap. V, 2e éd., $§ 7$ , dans le cas particulier des espaces localement compacts. Nous laisserons au lecteur le soin de transcrire les résultats.

2. Mesures définies par des densités numériques

Définition 2

On dit qu’une fonction $f$ définie dans T, à valeurs dans $\overline{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, est localement $\mu$ -intégrable si $f$ est $\mu$ -mesurable, et si tout point $x \in T$ admet un voisinage $V$ tel que $\mu^*(|f|\varphi_V) < +\infty$ .

Cette définition coïncide avec celle qui a été donnée au chap. V, 2e éd., § 5, n° 1, dans le cas où $T$ est localement compact.

Soit $f$ une fonction positive localement $\mu$ -intégrable; l’application $K \mapsto f_K \cdot \mu_K$ est une prémesure (chap. V, 2e éd., § 7, n° 1, cor. 2 du th. 1), que nous noterons $f.\mu$ .

Proposition 2

Si $f$ est une fonction localement $\mu$ -intégrable positive, on a, pour toute fonction $g \in \mathscr{F}_+(T)$ , la relation

(f.\mu)^*(g) = \mu^*(fg).

En effet, on a pour tout ensemble compact $K$ dans $T$

(f.\mu)_K^*(g_K) = (f_K \cdot \mu_K)^*(g_K) = \mu_K^*(f_K g_K) = \mu_K^*((f g)_K),

en utilisant la définition de $f.\mu$ et la prop. 3 du chap. V, 2e éd., § 5, n° 3. La prop. 2 s’en déduit en passant à la borne supérieure sur $K$ .

Soient alors $x \in T$ et $V$ un voisinage de $x$ tel que $\mu^*(f \varphi_V) < +\infty$ (déf. 2); on a alors $(f.\mu)^*(V) = \mu^*(f \varphi_V) < +\infty$ , et $f.\mu$ est donc une mesure.

Définition 3

Soit $f$ une fonction positive localement $\mu$ -intégrable. La mesure $f.\mu$ : $K \mapsto f_K \cdot \mu_K$ est appelée la mesure de densité $f$ par rapport à $\mu$ , ou la mesure produit de $\mu$ par la fonction $f$ . Toute mesure de la forme $f.\mu$ , où $f$ est positive et localement intégrable, est appelée mesure de base $\mu$ .

Remarques. — 1) La définition de $f.\mu$ s’étend au cas où $f$ est une fonction localement intégrable complexe; on a alors $|f.\mu| = |f|.\mu$ , ce qui entraîne aussitôt que $f.\mu$ est une mesure, et non une simple prémesure. On conserve l’expression « mesures de base $\mu$ » pour désigner les mesures complexes ainsi définies.

2) De même, si $\theta$ est une mesure complexe, on dira que $f$ est localement $\theta$ -intégrable si elle est localement $|\theta|$ -intégrable, et on définira la mesure $f.\theta$ : $K \mapsto f_K \cdot \theta_K$ . On a $|f.\theta| = |f|.|f|$ (chap. V, 2e éd., § 5, n° 2, prop. 2). Nous laisserons de côté dans ce n° tout ce qui touche aux mesures non positives.

Proposition 3

Soit $\nu$ une mesure sur $T$ . Pour que $\nu$ soit de la forme $f.\mu$ , où $f$ est une fonction positive localement $\mu$ -intégrable, il faut et il suffit que tout ensemble compact $\mu$ -négligeable soit $\nu$ -négligeable. Si $f'$ est une seconde fonction localement $\mu$ -intégrable telle que $\nu = f'.\mu$ , on a $f = f'$ localement $\mu$ -presque partout.

La condition est évidemment nécessaire (prop. 2). Inversement, supposons que tout ensemble compact $\mu$ -négligeable soit $\nu$ -négligeable. Introduisons un concassage $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ de $T$ pour la mesure $\mu + \nu$ et posons $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$ . Il est clair que $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ est un concassage pour $\mu$ et pour $\nu$ , et la prop. 9 du § 1, n° 8 entraîne donc les relations suivantes pour tout $g \in \mathscr{F}_+$ :

\mu^*(g) = \sum_{\alpha \in A} \mu_{K_\alpha}^*(g_{K_\alpha}), \quad \nu^*(g) = \sum_{\alpha \in A} \nu_{K_\alpha}^*(g_{K_\alpha}).

n° 2.3.

Considérons un compact $C \subset K_\alpha$ qui soit $\mu_{K_\alpha}$ -négligeable; alors $C$ est localement $\mu$ -négligeable, donc localement $\nu$ -négligeable, et enfin $\nu_{K_\alpha}$ -négligeable par définition de $\nu$ . Il résulte alors du th. de Lebesgue–Nikodym (chap. V, 2e éd., § 5, n° 5, th. 2) que $\nu_{K_\alpha}$ admet une densité $f_\alpha$ par rapport à $\mu_{K_\alpha}$ . Soit $f$ la fonction qui coïncide avec $f_\alpha$ dans chacun des ensembles $K_\alpha$ , et avec 0 dans $\mathbf{N}$ ; la fonction $f$ est $\mu$ -mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 16), et on a pour toute fonction $g \in \mathscr{F}_+$ , d’après les relations ci-dessus, et la prop. 3 du chap. V, 2e éd., § 5, n° 3,

\nu^\bullet(g) = \sum_{\alpha \in A} \nu_{K_\alpha}^\bullet(g_{K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A} \mu_{K_\alpha}^\bullet(f_\alpha g_{K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A} \mu_{K_\alpha}^\bullet((f g)_{K_\alpha}) = \mu^\bullet(fg).

Il en résulte d’abord que $f$ est localement $\mu$ -intégrable: si $x$ est un point de $T$ , et si $V$ est un voisinage de $x$ tel que $\nu^\bullet(V) < +\infty$ , on a $\mu^\bullet(f \varphi_V) < +\infty$ . Ensuite, la prop. 2 montre que les mesures $\nu$ et $f.\mu$ ont même intégrale supérieure essentielle. Elles sont donc égales ( $§ 1$ , n° 2, cor. de la prop. 2). L’unicité de $f$ étant évidente à partir du cas des espaces compacts, la proposition est établie.

Remarque 3). — La théorie de l’intégration par rapport à une mesure $\nu = f.\mu$ se ramène aussitôt à la théorie traitée au chap. V. Soit en effet $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ un concassage de $T$ pour $\mu$ , donc pour $\nu$ , et soit $T'$ l’espace localement compact défini dans le scholie du $§ 1$ , n° 8; nous pouvons associer à $\mu$ (resp. à $\nu$ ) une mesure $\mu'$ (resp. $\nu'$ ) sur $T'$ , de telle sorte que les fonctions mesurables, les fonctions essentiellement intégrables à valeurs dans un espace de Banach, les intégrales supérieures essentielles des fonctions positives, soient les mêmes pour $\mu$ et $\mu'$ (resp. pour $\nu$ et $\nu'$ ). La fonction $f$ est donc $\mu'$ -mesurable; elle est localement $\mu'$ -intégrable, car $T'$ est localement compact, et un ensemble compact de $T'$ ne rencontre qu’un nombre fini de compacts $K_\alpha$ ( $\alpha \in A$ ). La relation ${\nu'}^\bullet(g) = \nu^\bullet(g) = \mu^\bullet(fg) = {\mu'}^\bullet(fg)$ prouve enfin que $\nu' = f.\mu'$ (chap. V, 2e éd., § 5, n° 3, prop. 3). Nous laissons au lecteur le soin de transcrire les résultats du chap. V, 2e éd., § 5.

3. Image d’une mesure

Définition 4

Soit $\pi$ une application de $T$ dans un espace topologique $X$ . On dit que $\pi$ est $\mu$ -propre si $\pi$ est $\mu$ -mesurable, et si tout point $x$ de $X$ admet un voisinage $V$ tel que $\mu^\bullet(\pi^{-1}(V)) < +\infty$ .

Remarque 1

Lorsque $T$ et $X$ sont localement compacts, cette définition est équivalente à celle du chap. V, 2e éd., § 6, n° 1.

Remarque 2

Une application continue propre (Top. gén., 4e éd., chap. I, § 10, n° 1, déf. 1) de $T$ dans $X$ est $\mu$ -propre pour toute mesure $\mu$ . En effet, soit $x \in X$ ; comme $\pi^{-1}(x)$ est compact (loc. cit., n° 2, th. 1), l’ensemble $\pi^{-1}(x)$ possède un voisinage ouvert $H$ tel que $\mu^\bullet(H) < +\infty$ . Posons $V = X - \pi(T - H)$ ; comme $\pi$ est fermée, $V$ est ouvert dans $X$ , contient $x$ , et on a $\pi^{-1}(V) \subset H$ d’où $\mu^\bullet(\pi^{-1}(V)) \leq \mu^\bullet(H) < +\infty$ .

Remarque 3

Si $\mu$ est bornée, toute application $\mu$ -mesurable de $T$ dans $X$ est $\mu$ -propre.

Remarque 4

Si $\theta$ est une mesure complexe sur $T$ , on dira que $\pi$ est $\theta$ -propre si $\pi$ est propre pour la mesure positive $|\theta|$ .

Proposition 4

Soit $\pi$ une application $\mu$ -propre de $T$ dans un espace topologique $X$ . Il existe sur $X$ une mesure $\nu$ et une seule telle que $\nu^*$ soit égal à l’encombrement image $\pi(\mu^*)$ ( $§ 1, n^o 1$ ), autrement dit, telle que $\nu^*(g) = \mu^*(g \circ \pi)$ pour tout $g \in \mathscr{F}_+(X)$ .

L’unicité est évidente ( $§ 1, n^o 2$ , cor. de la prop. 2). Pour établir l’existence, nous traiterons d’abord le cas où $\mu$ est portée par un ensemble compact $K$ , tel que la restriction de $\pi$ à $K$ soit continue. Alors $L = \pi(K)$ est compact; soit $\pi'$ l’application continue de $K$ dans $L$ induite par $\pi$ , et soient $\nu'$ la mesure image $\pi'(\mu_K)$ sur $L$ , $\nu$ la mesure sur $X$ définie par $\nu'$ ( $§ 1, n^o 3$ , Exemple 2). On a, pour tout $g \in \mathscr{F}_+(X)$ ,

\nu^*(g) = {\nu'}^*(g_L) = \mu_K^*(g_L \circ \pi') = \mu_K^*((g \circ \pi)_K) = \mu^*((g \circ \pi)_K^o) = \mu^*(g \circ \pi)

(on a utilisé successivement la formule (3) du $§ 1, n^o 3$ , la prop. 2 du chap. V, 2e éd., $§ 6, n^o 2$ , la définition de $\mu_K^*$ , et le fait que $\mu$ est portée par $K$ ). Autrement dit, on a $\nu^* = \pi(\mu^*)$ .

Passons maintenant au cas général; d’après les prop. 10 et 9 du $§ 1, n^o 8$ , $\mu$ est somme d’une famille sommable $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ de mesures à support compact, telles que la restriction de $\pi$ au support $K_\alpha$ de $\mu_\alpha$ soit continue pour tout $\alpha \in A$ . Le cas particulier traité plus haut permet d’associer à chaque mesure $\mu_\alpha$ sur $T$ une mesure $\nu_\alpha$ sur $X$ telle que $\nu_\alpha^* = \pi(\mu_\alpha^*)$ . On a alors, pour $g \in \mathscr{F}_+(X)$ ,

\sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha^*(g) = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha^*(g \circ \pi) = \mu^*(g \circ \pi).

L’encombrement $\pi(\mu^*)$ est localement borné, puisque $\pi$ est $\mu$ -propre; la famille $(\nu_\alpha)_{\alpha \in A}$ est donc sommable ( $§ 1, n^o 7$ , prop. 7), et sa somme $\nu$ satisfait à l’énoncé.

Définition 5

Si $\pi$ est une application $\mu$ -propre de $T$ dans un espace topologique $X$ , l’unique mesure $\nu$ sur $X$ telle que $\nu^*(g) = \mu^*(g \circ \pi)$ pour tout $g \in \mathscr{F}_+(X)$ est appelée la mesure image de $\mu$ par $\pi$ , et notée $\pi(\mu)$ .

Exemple

Soient $K$ un sous-espace compact de $T$ , $i$ l’injection canonique de $K$ dans $T$ , $\lambda$ une mesure sur $K$ ; $i$ étant continue, et $\lambda$ étant bornée, $i$ est $\lambda$ -propre. La formule (3) du $§ 1, n^o 3$ montre que la « mesure sur $T$ définie par $\lambda$ » est la mesure image $i(\lambda)$ .

Remarque 5). — Si $\theta$ est une mesure réelle, et si $\pi$ est $\theta$ -propre, $\pi$ est propre pour les mesures $\theta^+$ et $\theta^-$ ; on posera alors $\pi(\theta) = \pi(\theta^+) - \pi(\theta^-)$ . Si $\theta$ est une mesure complexe, et si $\pi$ est $\theta$ -propre, elle est propre pour les mesures réelles $\Re(\theta)$ et $\Im(\theta)$ ; on posera alors

\pi(\theta) = \pi(\Re(\theta)) + i \pi(\Im(\theta)).

Proposition 5

Soit $\pi$ une application $\mu$ -propre de $T$ dans un espace topologique $X$ , et soit $f$ une application de $X$ dans un espace topologique $F$ (séparé ou non). Pour que $f$ soit $\pi(\mu)$ -mesurable, il faut et il suffit que $f \circ \pi$ soit $\mu$ -mesurable.

Reprenons la démonstration de la prop. 4, et commençons par le cas particulier traité au début, avec les mêmes notations ; g est mesurable pour la mesure $\pi(\mu) = \nu$ si et seulement si $g_L$ est $\nu'$ -mesurable ( $§ 1$ , no 5, Exemple) ; or cela équivaut à dire que $g_L \circ \pi' = (g \circ \pi)_K$ est $\mu_K$ -mesurable (chap. V, 2e éd., $§ 6$ , no 2, prop. 3), et finalement que $g \circ \pi$ est $\mu$ -mesurable ( $§ 1$ , no 5, Exemple). Passons ensuite au cas général, avec les mêmes notations que dans la démonstration de la prop. 4 ; $f$ est $\nu$ -mesurable si et seulement si $f$ est $\nu_\alpha$ -mesurable pour tout $\alpha \in A$ ( $§ 1$ , no 7, prop. 8), donc si et seulement si $f \circ \pi$ est $\mu_\alpha$ -mesurable pour tout $\alpha \in A$ (cas particulier précédent) et enfin si et seulement si $f \circ \pi$ est $\mu$ -mesurable ( $§ 1$ , no 7, prop. 8).

Corollaire

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $\pi$ une application $\mu$ -propre de $T$ dans $X$ , $\pi'$ une application $\pi(\mu)$ -propre de $X$ dans $Y$ . L’application $\pi'' = \pi' \circ \pi$ est alors $\mu$ -propre et $\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$ (« transitivité des images de mesures »).

En effet, $\pi''$ est $\mu$ -mesurable (prop. 5). Posons $\mu' = \pi(\mu)$ ; l’encombrement image $\pi'({\mu'}^*) = \pi'(\pi(\mu^*))$ est évidemment égal à $\pi''(\mu^*)$ . Comme il est localement borné, $\pi''$ est $\mu$ -propre. Les mesures $\pi''(\mu)$ et $\pi'(\mu')$ ont alors même intégrale supérieure essentielle, et sont donc égales.

Proposition 6

Soit $\pi$ une application $\mu$ -propre de $T$ dans un espace topologique $X$ , et soit $B$ une partie $\pi(\mu)$ -mesurable de $X$ . Posons $A = \pi^{-1}(B)$ , et désignons par $\pi'$ l’application de $A$ dans $B$ qui coïncide avec $\pi$ dans $A$ . L’ensemble $A$ est alors $\mu$ -mesurable, $\pi_A$ et $\pi'$ sont $\mu_A$ -propres, et on a

(\pi(\mu))_B = (\pi_A(\mu_A))_B = \pi'(\mu_A).

L’ensemble $A$ est $\mu$ -mesurable d’après la prop. 5 appliquée à $\varphi_B$ ; l’application $\pi_A$ est évidemment $\mu_A$ -mesurable d’après la définition des mesures induites (no 1), et il en résulte que $\pi'$ est mesurable. Soit $f$ un élément de $\mathscr{F}_+(B)$ ; en désignant par des exposants zéros les prolongements par 0 dans $X$ et dans $T$ , on a

(\pi(\mu)_B)^*(f) = \pi(\mu)^*(f^0) = \mu^*(f^0 \circ \pi) = \mu^*((f \circ \pi')^0) = \mu_A^*(f \circ \pi'),

d’où $(\pi(\mu)_B)^* = \pi'(\mu_A^*)$ . Comme l’encombrement $(\pi(\mu)_B)^*$ est localement borné, il en est de même de $\pi'(\mu_A^*)$ et $\pi'$ est donc $\mu_A$ -propre. Les mesures $\pi'(\mu_A)$ et $(\pi(\mu))_B$ ont même intégrale supérieure essentielle, et sont donc égales. L’autre relation s’établit de manière analogue.

Proposition 7

Soit $T$ un sous-espace d’un espace topologique $X$ , et soit $i$ l’injection de $T$ dans $X$ .

a) Si $\mu$ est une mesure sur $T$ , et si $i$ est $\mu$ -propre, la mesure $i(\mu)$ est concentrée sur $T$ , et on a $(i(\mu))_T = \mu$ .

b) Si $\lambda$ est une mesure sur $X$ , telle que $T$ soit $\lambda$ -mesurable, $i$ est $\lambda_T$ -propre, et on a $i(\lambda_T) = \varphi_T \cdot \lambda$ .

a) Posons $\nu = i(\mu)$ ; la relation $\nu^*(A) = \mu^*(A \cap T)$ , appliquée à $A = X - T$ , montre que $\nu$ est concentrée sur $T$ . La relation $\nu_T = \mu$ est un cas particulier de la relation (2), en prenant $B = T = A$ .

b) Soit $f$ une fonction positive définie dans $X$ ; si l’on pose $\mu = \lambda_T$ , on a $\mu^*(f \circ i) = \lambda_T^*(f_T) = \lambda^*(f_{\varphi_T}) \leq \lambda^*(f)$ (prop. 1); il en résulte que $i$ est $\mu$ -propre. D’autre part, $\mu^*(f \circ i)$ (resp. $\lambda^*(f_{\varphi_T})$ ) est l’intégrale supérieure essentielle de $f$ par rapport à $i(\mu)$ (resp. $\varphi_T \cdot \lambda$ ). Ces deux mesures sont donc égales.

Remarque 6). — Soit $\pi$ une application $\mu$ -propre de $T$ dans un espace topologique $X$ . On ramène la théorie de l’intégration par rapport à la mesure image $\nu = \pi(\mu)$ à la théorie traitée au chap. V, 2e éd., § 6, de la manière suivante. Soit $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ (resp. $(L_\beta)_{\beta \in B}$ ) un concassage de $T$ (resp. de $X$ ) pour $\mu$ (resp. pour $\nu$ ), et posons $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha, P = X - \bigcup_{\beta \in B} L_\beta$ . Nous pouvons supposer que la restriction de $\pi$ à chacun des $K_\alpha$ est continue ( $§ 1, n° 8,$ prop. 10). Soient $T', X'$ les espaces localement compacts construits comme dans le scholie du $§ 1, n° 8$ et soient $\mu'$ et $\nu'$ les mesures sur ces espaces associées à $\mu$ et $\nu$ . La topologie de $T'$ étant somme des topologies des sous-espaces $K_\alpha$ et de la topologie discrète sur $N$ , $\pi$ est une application continue de $T'$ dans $X$ et la relation ${\mu'}^*(g \circ \pi) = \mu^*(g \circ \pi) = \nu^*(g)$ (pour $g \in \mathscr{F}_+(X)$ ) montre que $\pi$ est $\mu'$ -propre et que $\pi(\mu') = \nu$ . D’autre part, l’application identique $i$ de $X$ sur $X'$ est $\nu$ -propre, et on a $i(\nu) = \nu'$ . Il en résulte que $\pi$ est une application $\mu'$ -propre de $T'$ dans $X'$ , et que l’image de $\mu'$ par $\pi$ est $\nu'$ (cor. de la prop. 5). Nous laissons au lecteur le soin de transcrire les résultats du chap. V, 2e éd., § 6.

4. Relèvement de mesures

Proposition 8

Soient $T$ et $X$ deux espaces topologiques, $\pi$ une application de $T$ dans $X$ .

a) Soit $\nu$ une mesure bornée sur $X$ . Pour qu’il existe sur $T$ une mesure $\mu$ , telle que $\pi$ soit $\mu$ -propre et que $\pi(\mu) = \nu$ , il faut et il suffit qu’il existe, pour tout nombre $\varepsilon > 0$ , un ensemble compact $K_\varepsilon \subset T$ tel que la restriction de $\pi$ à $K_\varepsilon$ soit continue et que $\nu^*(X - \pi(K_\varepsilon)) < \varepsilon$ .

b) Supposons que $\pi$ soit injective; soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures sur $T$ , telles que $\pi$ soit propre pour $\mu$ et $\mu'$ , et que $\pi(\mu) = \pi(\mu')$ . On a alors $\mu = \mu'$ .

La condition énoncée en a) est nécessaire. En effet, si $\pi$ est $\mu$ -propre et $\pi(\mu) = \nu$ , la relation $\mu^*(1) = \nu^*(1) < +\infty$ entraîne que $\mu$ est bornée. La prop. 2 du $§ 1, n° 2$ , appliquée à la fonction 1, entraîne l’existence d’une partie compacte $K$ de $T$ telle que $\mu^*(T - K) < \varepsilon/2$ . Comme $\pi$ est $\mu$ -mesurable, il existe un ensemble compact $K_\varepsilon \subset K$ tel que la restriction de $\pi$ à $K_\varepsilon$ soit continue, et que $\mu^*(K - K_\varepsilon) < \varepsilon/2$ . On a alors (n° 3, prop. 4)

\nu^*(X - \pi(K_\varepsilon)) = \mu^*(T - \pi^{-1}(\pi(K_\varepsilon))) < \varepsilon.

Pour montrer que la condition est suffisante, nous traiterons d’abord un cas particulier.

Lemme 1

Soient U et V deux espaces compacts, h une application continue de U sur V. L’application $\lambda \mapsto h(\lambda)$ de $\mathscr{M}_+(U)$ dans $\mathscr{M}_+(V)$ est alors surjective.

En effet, soit a l’application linéaire $f \mapsto f \circ h$ de $\mathscr{C}(V)$ dans $\mathscr{C}(U)$ ; comme h est surjective, a est une isométrie de $\mathscr{C}(V)$ sur un sous-espace H de $\mathscr{C}(U)$ . Soit $\theta$ une mesure positive sur V; alors $\theta \circ a^{-1}$ est une forme linéaire continue sur H, qui est prolongeable en une forme linéaire $\eta$ sur $\mathscr{C}(U)$ de même norme, en vertu du th. de Hahn–Banach (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 3, n° 2, cor. 1 du th. 1); $\eta$ est alors une mesure sur U, et on a $\theta(f) = \eta(f \circ h)$ pour tout $f \in \mathscr{C}(V)$ , de sorte que $\theta = h(\eta)$ . Enfin on a $\theta(1) = \| \theta \| = \| \eta \|$ , et $\theta(1) = \eta(1)$ , de sorte que $\eta$ est positive (chap. V, 2e éd., § 5, n° 5, prop. 9).

Démontrons alors la suffisance de la condition énoncée dans a). Cette condition entraîne l’existence d’une suite $(K_n)_{n \geq 1}$ de parties compactes de T, telle que la restriction de $\pi$ à chacun des $K_n$ soit continue, et qu’on ait, pour tout n, $\nu^*(X - \pi(K_n)) < 1/n$ . La suite $(K_n)$ peut-être supposée croissante. Posons $L_n = \pi(K_n)$ et désignons par $\nu'_n$ la mesure $\varphi_{L_n - L_{n-1}} \cdot \nu_{L_n}$ sur $L_n$ , en convenant que $L_0 = \emptyset$ .

La restriction $\pi_{K_n}$ étant continue, il existe une mesure $\mu'_n$ sur $K_n$ telle que $\pi_{K_n}(\mu'_n) = \nu'_n$ (lemme 1). Soit $\mu_n$ l’image de $\mu'_n$ par l’injection canonique de $K_n$ dans T, et soit g un élément de $\mathscr{F}_+(X)$ . En utilisant successivement le fait que $\nu$ est concentrée sur $\bigcup_n L_n$ , la prop. 4 du § 1, n° 5, la prop. 2 du § 1, n° 2, la prop. 4 du n° 3 et enfin la prop. 7 du n° 3, il vient

\nu^*(g) = \sum_n \nu^*(\varphi_{L_n - L_{n-1}} g) = \sum_n {\nu'_n}^*(g_{L_n}) = \sum_n {\mu'_n}^*(g_{L_n} \circ \pi_{K_n})

= \sum_n {\mu'_n}^*((g \circ \pi)_{K_n}) = \sum_n \mu_n^*(g \circ \pi).

En prenant $g = 1$ dans cette formule, on voit que la famille $(\mu_n)$ est sommable et que sa somme est une mesure bornée $\mu$ (§ 1, n° 7, prop. 7). D’après la prop. 5 du n° 3, l’application $\pi$ est $\mu_n$ -mesurable pour tout n, car $\pi_{K_n}$ est continue, donc $\mu'_n$ -mesurable; il en résulte que $\pi$ est $\mu$ -mesurable (§ 1, n° 7, prop. 8), donc $\mu$ -propre puisque $\mu$ est bornée. Les relations ci-dessus prouvent alors que les mesures $\pi(\mu)$ et $\nu$ ont même intégrale supérieure essentielle, et sont donc égales (§ 1, n° 2, cor. de la prop. 2).

Supposons enfin que $\pi$ soit injective, et démontrons b). Soit f un élément de $\mathscr{F}_+(T)$ ; comme $\pi$ est injective, il existe une fonction $g \in \mathscr{F}_+(X)$ telle que $f = g \circ \pi$ , et on a, d’après la prop. 4 du n° 3, en posant $\nu = \pi(\mu) = \pi(\mu')$ ,

\mu^*(f) = \mu^*(g \circ \pi) = \nu^*(g) = {\mu'}^*(g \circ \pi) = {\mu'}^*(f).

Les deux mesures $\mu$ et $\mu'$ ont donc même intégrale supérieure essentielle, ce qui entraîne leur égalité (§ 1, n° 2, cor. de la prop. 2).

Remarque

Supposons que $\pi$ soit injective. Soit $\theta$ une mesure complexe telle que $\pi$ soit $\theta$ -propre, et que $\pi(\theta) = 0$ ; on a alors $\theta = 0$ . En effet, on se ramène, en séparant les parties réelles et imaginaires, au cas où θ est réelle. On a alors π(θ⁺) = π(θ⁻), donc θ⁺ = θ⁻ (prop. 8) et finalement θ = 0.

Voici un cas important où la condition a) de la prop. 8 est toujours vérifiée.

Proposition 9

Soient T un espace souslinien (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 2, déf. 2), X un espace séparé, π une application continue de T sur X, et ν une mesure bornée sur X. Il existe alors une mesure bornée μ sur T telle que π(μ) = ν.

Les hypothèses entraînent évidemment que X est souslinien.

Considérons la fonction d’ensemble $c : A \mapsto \nu^*(\pi(A))$ sur $\mathfrak{P}(T)$ . La relation $A \subset B$ entraîne $c(A) \leq c(B)$ ; si $(A_n)$ est une suite croissante de parties de T, et si $A = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n$ , on a $c(A) = \sup_n c(A_n)$ du fait que $\nu^*$ est un encombrement. Enfin, soient $A \subset T$ , et ε un nombre > 0; choisissons un ouvert G de X contenant $\pi(A)$ , et tel que $\nu^*(G) \leq \nu^*(\pi(A)) + \varepsilon$ (§ 1, n° 9, prop. 13); l’ouvert $H = \pi^{-1}(G)$ de T contient A, et on a $c(H) \leq c(A) + \varepsilon$ . La fonction c est donc une capacité continue à droite sur T (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 9, déf. 9) et le théorème de capacitabilité (loc. cit., th. 5) entraîne l’égalité $c(T) = \sup_K c(K)$ , K parcourant l’ensemble des parties compactes de T. La proposition 8 entraîne alors l’existence de la mesure μ cherchée.

5. Produit de deux mesures

Soient S et T deux espaces topologiques, munis respectivement de deux prémesures (positives) λ et μ, et soit X l’espace produit S × T. Soit K une partie compacte de X; désignons par A et B les projections de K sur S et T respectivement, et posons

(3)

\nu_K = (\lambda_A \otimes \mu_B)_K.

Nous définissons ainsi une prémesure sur X. En effet, soit L une partie compacte de X contenant K, et soient C et D ses deux projections; on a $A \subset C, B \subset D$ , et par conséquent, en utilisant la transitivité des mesures induites et la prop. 12 du chap. V, 2e édit., § 8, n° 5

(\nu_L)_K = ((\lambda_C \otimes \mu_D)_L)_K = (\lambda_C \otimes \mu_D)_K = ((\lambda_C \otimes \mu_D)_{A \times B})_K = (\lambda_A \otimes \mu_B)_K = \nu_K.

Définition 6

La prémesure ν définie par (3) est appelée la prémesure produit de λ et μ, et notée $\lambda \otimes \mu$ .

Nous conserverons les notations du chap. III, 2e éd., § 4 et du chap. V, 2e éd., § 8, relatives aux produits de mesures et aux intégrales itérées. En particulier, si f et g sont deux fonctions définies respectivement dans S et dans T, à n° 2.5.

valeurs dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ ou dans $\mathbf{C}$ , la fonction $(s, t) \mapsto f(s)g(t)$ sur $S \times T$ sera notée $f \otimes g$ .

Proposition 10

Soit $\nu$ la prémesure produit de $\lambda$ et $\mu$ ; on a, pour toute fonction $f \in \mathscr{F}_+(S)$ et toute fonction $g \in \mathscr{F}_+(T)$ ,

\nu^*(f \otimes g) = \lambda^*(f)\mu^*(g).

La prémesure $\nu$ est la seule prémesure sur $S \times T$ qui satisfasse à (4).

Nous avons en effet, lorsque $K$ (resp. $L$ ) parcourt l’ensemble des parties compactes de $S$ (resp. de $T$ )

\begin{align*} \nu^*(f \otimes g) &= \sup_{K, L} \nu^*_{K \times L}((f \otimes g)_{K \times L}) = \sup_{K, L} (\lambda_K \otimes \mu_L)^*(f_K \otimes g_L) \\ &= \sup_{K, L} \lambda_K^*(f_K) \cdot \mu_L^*(g_L) = (\sup_K \lambda_K^*(f_K))(\sup_L \mu_L^*(g_L)) \\ &= \lambda^*(f)\mu^*(g), \end{align*}

d’après la prop. 8 du chap. V, § 8, n° 3.

Soit $\eta$ une seconde prémesure sur $S \times T$ satisfaisant à (4), et soient $K$ et $L$ deux parties compactes de $S$ et $T$ respectivement, $f$ et $g$ deux éléments de $\mathscr{F}_+(K)$ et de $\mathscr{F}_+(L)$ respectivement. On a la relation $(f \otimes g)^0 = f^0 \otimes g^0$ entre les prolongements par 0, et donc (§ 1, n° 2, prop. 2)

\eta_{K \times L}^*(f \otimes g) = \eta^*((f \otimes g)^0) = \eta^*(f^0 \otimes g^0) = \lambda^*(f^0)\mu^*(g^0) = \lambda_K^*(f)\mu_L^*(g).

En particulier, si l’on prend $f \in \mathscr{K}_+(K)$ , $g \in \mathscr{K}_+(L)$ , on voit que $\eta_{K \times L}$ possède la propriété caractéristique de la mesure produit $\lambda_K \otimes \mu_L$ (chap. III, 2e éd., § 4, n° 1, th. 1). On a donc $\eta_{K \times L} = \nu_{K \times L}$ ; comme toute partie compacte de $S \times T$ est contenue dans un ensemble de la forme $K \times L$ , la transitivité des mesures induites entraîne que $\eta = \nu$ .

Corollaire 1

Si $\lambda$ et $\mu$ sont des mesures, $\nu$ est une mesure.

En effet, soit $x = (s, t)$ un point de $X$ , et soient $U$ et $V$ deux voisinages de $s, t$ respectivement, tels que $\lambda^*(U) < +\infty, \mu^*(V) < +\infty$ ; l’ensemble $U \times V$ est un voisinage de $x$ , et on a $\nu^*(U \times V) = \lambda^*(U)\mu^*(V) < +\infty$ d’après (4); l’encombrement $\nu^*$ est donc localement borné, et la prémesure $\nu$ est une mesure.

Ce résultat s’étend aussitôt aux mesures complexes.

Corollaire 2

Si $A$ est une partie de $S$ localement négligeable pour $\lambda$ , $A \times T$ est localement $\nu$ -négligeable.

Corollaire 3

Supposons que $\lambda$ (resp. $\mu$ ) soit somme d’une famille sommable $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ (resp. $(\mu_\beta)_{\beta \in B}$ ) de mesures sur $S$ (resp. $T$ ). La famille $(\lambda_\alpha \otimes \mu_\beta)_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ est alors sommable, et sa somme est $\lambda \otimes \mu$ .

En effet, soit $p$ l’encombrement $\sum_{\alpha, \beta} (\lambda_\alpha \otimes \mu_\beta)^*$ ; si $f \in \mathscr{F}_+(S)$ , $g \in \mathscr{F}_+(T)$ , on a évidemment $p(f \otimes g) = \lambda^*(f)\mu^*(g)$ . La démonstration du cor. 1 montre alors que $p$ est localement borné, de sorte que la famille $(\lambda_\alpha \otimes \mu_\beta)$ est sommable (§ 1, n° 7, prop. 7). Sa somme $\eta$ est alors telle que $\eta^* = p$ (§ 1, n° 7, prop. 7), et la prop. 10 entraîne $\eta = \nu$ .

6. Intégration par rapport au produit de deux mesures

Dans tout ce n°, $\lambda$ et $\mu$ désignent deux mesures sur $S$ et $T$ respectivement, et $\nu$ désigne la mesure produit $\lambda \otimes \mu$ sur $S \times T$ . En outre, si $f$ est une fonction positive sur $S \times T$ , on notera $f_s$ la fonction $t \mapsto f(s, t)$ sur $T$ pour tout $s \in S$ , et on notera $I_f$ la fonction $s \mapsto \mu^*(f_s)$ sur $S$ .

Lemme 2

Soit $f$ une fonction positive $\nu$ -mesurable sur $S \times T$ ; pour toute partie compacte $L$ de $T$ , soit $I_f^L$ la fonction $s \mapsto \mu^*(f_s \varphi_L)$ sur $S$ . La fonction $I_f^L$ est alors $\lambda$ -mesurable et on a :

(5) \quad I_f = \sup_L I_f^L

(6) \quad \nu^*(f) = \sup_L \lambda^*(I_f^L),

L

parcourant l’ensemble des parties compactes de

T

Notons d’abord que l’inclusion $L \subset L'$ entraîne $I_f^L \leq I_f^{L'}$ ; on a d’autre part $I_f^L(s) = \mu_L^*((f_s)_L)$ pour tout $s \in S$ . La formule (5) est donc une conséquence immédiate de la définition de l’encombrement $\mu^*$ donnée au § 1, n° 2. Si $K$ est une partie compacte de $S$ et $L$ une partie compacte de $T$ , on a $\nu_{K \times L} = \lambda_K \otimes \mu_L$ par construction, et la prop. 7 du chap. V, 2e éd., § 8, n° 3 entraîne la relation

(7) \quad \nu^*(f \varphi_{K \times L}) = \lambda_K^*(I_f^L).

Par ailleurs, toute partie compacte de $S \times T$ est contenue dans un ensemble compact de la forme $K \times L$ ; passant à l’enveloppe supérieure sur $K$ et $L$ dans la formule précédente, on obtient donc

(8) \quad \nu^*(f) = \sup_L \sup_K \lambda_K^*(I_f^L) = \sup_L \lambda^*(I_f^L),

c’est-à-dire (6).

Enfin, la prop. 7 du chap. V, 2e éd., § 8, n° 3, entraîne que la restriction de $I_f^L$ à tout compact $K$ de $T$ est $\lambda_K$ -mesurable; cela équivaut à dire que $I_f^L$ est $\lambda$ -mesurable.

Proposition 11

Soit $f$ une fonction semi-continue inférieurement $\geq 0$ définie dans $X = S \times T$ . a) La fonction $f_s : t \mapsto f(s, t)$ est semi-continue inférieurement dans $T$ pour tout $s \in S$ . b) La fonction $I_f : s \mapsto \int^\cdot f(s, t) \, d\mu(t)$ est semi-continue inférieurement dans $S$ , et l’on a :

(9) \quad \iint_X f(s, t) \, d\nu(s, t) = \int_S d\lambda(s) \int_T f(s, t) \, d\mu(t).

La propriété a) est évidente, car l’application $t \mapsto f(s, t)$ de $T$ dans $\overline{\mathbf{R}}$ est composée de $f$ et de l’application continue $t \mapsto (s, t)$ de $T$ dans $X$ . Pour établir b), nous utiliserons un lemme:

Lemme 3

Soient $X$ un espace topologique (séparé ou non), $f$ une fonction semi-continue inférieurement $\geqslant 0$ définie dans $X$ ; alors $f$ est limite d’une suite croissante $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de fonctions semi-continues inférieurement dans $X$ , telle que chaque fonction $f_n$ soit une combinaison linéaire, à coefficients positifs, de fonctions caractéristiques d’ensembles ouverts.

Etant donnés deux entiers $k \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$ , notons $J_{kn}$ la fonction caractéristique de l’intervalle $[k/2^n, +\infty)$ de $\overline{\mathbf{R}}$ . Pour tout $x \in \overline{\mathbf{R}}_+$ , posons $u_n(x) = 2^{-n} \sum_{k=1}^{n \cdot 2^n} J_{kn}(x)$ ; il est immédiat que la suite $(u_n(x))_{n \geqslant 1}$ est croissante et admet $x$ pour limite. La suite des fonctions $f_n = u_n \circ f$ est donc croissante et converge vers $f$ , et on a $f_n = 2^{-n} \sum_{k=1}^{n \cdot 2^n} \varphi_{U(k, n)}$ où $U(k, n)$ est l’ensemble ouvert $f^{-1}([k/2^n, +\infty))$ de $X$ .

Passons à la démonstration de b). La fonction $I_f$ étant l’enveloppe supérieure de la famille filtrante croissante des fonctions $I^L_f$ , où $L$ parcourt l’ensemble des parties compactes de $T$ (lemme 2), il nous suffit de montrer que les fonctions $I^L_f$ sont semi-continues inférieurement; la formule (9) se déduit alors de (6) en passant à l’enveloppe supérieure sur $L$ (§ 1, no 6, prop. 5).

Soit donc $\mathscr{H}$ l’ensemble des fonctions semi-continues inférieurement positives $f$ sur $S \times T$ telles que $I^L_f$ soit semi-continue inférieurement pour tout compact $L$ de $T$ . D’après la prop. 5 du § 1, no 6, la borne supérieure de tout ensemble filtrant croissant d’éléments de $\mathscr{H}$ appartient à $\mathscr{H}$ . D’après le lemme 3, il nous suffit donc de prouver que la fonction caractéristique d’un ouvert $W$ de $S \times T$ appartient à $\mathscr{H}$ . De plus, d’après la définition de la topologie produit sur $S \times T$ , l’ouvert $W$ est réunion d’une famille filtrante croissante $(W_\alpha)_{\alpha \in A}$ d’ouverts de la forme

W = \bigcup_{1 \leq i \leq n} (U_i \times V_i)

où les $U_i$ sont ouverts dans $S$ et les $V_i$ ouverts dans $T$ ; d’après les remarques faites plus haut, il nous suffit de montrer que la fonction caractéristique d’un tel ouvert appartient à $\mathscr{H}$ . Soient alors $s \in S$ , et $U$ l’intersection de la famille (éventuellement vide) formée des ouverts $U_i$ contenant $s$ ; on voit immédiatement que $\varphi_W(s, t) \leq \varphi_W(s', t)$ pour tout $s' \in U$ et tout $t \in T$ , d’où par intégration $I^L_{\varphi_W}(s) \leq I^L_{\varphi_W}(s')$ pour tout $s' \in U$ . Par conséquent $I^L_{\varphi_W}$ est semi-continue inférieurement, et la proposition est établie.

Corollaire 1

Soit $f$ une fonction numérique positive définie dans $X = S \times T$ ; on a

\int \int_X^* f(s, t) \, d\nu(s, t) \geq \int_S^* d\lambda(s) \int_T^* f(s, t) \, d\mu(t).

Soit en effet $g$ une fonction semi-continue inférieurement sur $X$ majorant $f$ ; on a, d’après la prop. 11,

\iint^* g(s, t)\ dv(s, t) = \int \int^* g(s, t)\ dv(s, t) = \int^* d\lambda(s) \int^* g(s, t)\ d\mu(t)

= \int^* d\lambda(s) \int^* g(s, t)\ d\mu(t) \geq \int^* d\lambda(s) \int^* f(s, t)\ d\mu(t).

L’inégalité (10) s’obtient en passant à l’enveloppe inférieure sur $g$ .

Corollaire 2

Soit $f$ une fonction numérique définie dans $S \times T$ et $\nu$ -négligeable. La fonction $f_s : t \mapsto f(s, t)$ est alors $\mu$ -négligeable pour $\lambda$ -presque tout $s \in S$ .

Proposition 12

Soit $f$ une fonction positive $\nu$ -mesurable définie dans $X = S \times T$ . Supposons que $f$ soit $\nu$ -modérée (resp. que $\mu$ soit modérée). Alors a) L’ensemble $N$ des $s \in S$ tels que la fonction $f_s : t \mapsto f(s, t)$ ne soit pas $\mu$ -mesurable est négligeable (resp. localement négligeable) pour $\lambda$ . b) L’application $s \mapsto \int^* f(s, t)\ d\mu(t)$ est $\lambda$ -mesurable, et on a*

\iint_X f(s, t)\ dv(s, t) = \int_S d\lambda(s) \int_T^* f(s, t)\ d\mu(t).

Nous commencerons par établir b) lorsque $f$ est $\nu$ -modérée. D’après le lemme 2, cette partie de l’énoncé est valable lorsqu’il existe une partie compacte $L$ de $T$ telle que $f$ soit nulle en dehors de $S \times L$ ; on a en effet dans ce cas $I_f = I_f^{L'}$ pour tout compact $L'$ de $T$ contenant $L$ , et la formule (11) se réduit à (6). En particulier, b) est établie pour une fonction $f$ nulle hors d’un compact de $S \times T$ . D’autre part, le corollaire 1 de la prop. 11 entraîne que b) est vraie lorsque $f$ est $\nu$ -négligeable. Comme toute fonction $\nu$ -modérée est somme d’une fonction $\nu$ -négligeable et d’une suite de fonctions à support compact ( $§ 1,$ n° 9, cor. 3 de la prop. 14), l’assertion b) est vraie lorsque $f$ est $\nu$ -modérée.

De même, l’assertion b) est évidente lorsque $\mu$ est portée par une partie compacte $L$ de $T$ (lemme 2). Supposons que $\mu$ soit modérée; il existe alors une suite $(\mu_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de mesures à support compact sur $T$ , telle que $\mu = \sum_n \mu_n$ ( $§ 1,$ n° 9, cor. 5 de la prop. 14), d’où $\nu = \sum_n \lambda \otimes \mu_n$ (n° 5, cor. 3 de la prop. 10). L’assertion b), étant valable pour chacune des mesures $\nu_n = \lambda \otimes \mu_n$ , est aussi valable pour $\nu = \sum_n \nu_n$ .

Démontrons a); notons $N$ l’ensemble des $s \in S$ tels que $f_s$ ne soit pas $\mu$ -mesurable; pour toute partie compacte $L$ de $T$ , notons de même $N_L$ l’ensemble des $s \in S$ tels que $f_s \varphi_L$ ne soit pas $\mu$ -mesurable. Si $K$ et $L$ sont des ensembles compacts dans $S$ et $T$ respectivement, $f_{K \times L}$ est mesurable par rapport à la mesure $\nu_{K \times L} = \lambda_K \otimes \mu_L$ , et la prop. 2 du chap. V, 2e éd., § 8, n° 2 montre que l’ensemble $N_L$ est localement négligeable pour $\lambda_K$ ; comme $K$ est arbitraire, $N_L$ est localement $\lambda$ -négligeable.

Supposons que $f$ soit nulle hors d’un ensemble compact de la forme $K \times L$ ; alors $N = N_L$ , et $N$ est contenu dans $K$ ; il en résulte que $N$ est $\lambda$ -négligeable. De même, si $f$ est $\nu$ -négligeable, le corollaire 2 de la prop. 11 entraîne que $N$ est $\lambda$ -négligeable. Le cas où $f$ est $\nu$ -modérée se traite alors comme ci-dessus, en combinant les deux cas précédents.

Supposons que $\mu$ soit portée par une partie compacte $L$ de $T$ ; alors, on a encore $N = N_L$ , et $N$ est donc localement $\lambda$ -négligeable. Toute mesure modérée étant somme d’une suite de mesures à support compact ( $§ 1$ , n° 9, cor. 5 de la prop. 14), ce résultat s’étend aussitôt au cas où $\mu$ est modérée en utilisant la prop. 8 du $§ 1$ , n° 7.

Remarque

Soient $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ un concassage de $S$ pour $\lambda$ et $M = S - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$ ; définissons de manière analogue $(L_\beta)_{\beta \in B}$ et $N$ pour la mesure $\mu$ sur $T$ . On note $S'$ l’espace localement compact somme des sous-espaces $K_\alpha$ de $S$ et de l’espace discret $M$ ; l’espace $T'$ est défini de manière analogue, et l’on pose $X' = S' \times T'$ . L’espace localement compact $X'$ est somme de la famille $(K_\alpha \times L_\beta)_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ de sous-espaces compacts de $X$ , et d’un sous-espace $P = (M \times T) \cup (S \times N)$ qui est une partie localement $\nu$ -négligeable de $X$ (on notera que $P$ n’est pas un espace discret en général). On a vu dans le Scholie du $§ 1$ , n° 8 qu’il existe une mesure $\lambda'$ sur $S'$ telle que les fonctions mesurables, l’intégrale supérieure essentielle des fonctions positives, les fonctions essentiellement intégrables et leurs intégrales soient les mêmes pour $\lambda$ et $\lambda'$ . Associons la mesure $\mu'$ sur $T'$ à $\mu$ et la mesure $\nu'$ sur $X'$ à $\nu$ , conformément au Scholie cité; on voit immédiatement que l’on a $\nu'(f \otimes g) = \lambda'(f) \mu'(g)$ pour $f \in \mathscr{F}_+(S)$ et $g \in \mathscr{F}_+(T)$ ; on a donc $\nu' = \lambda' \otimes \mu'$ d’après la prop. 10 du n° 5. Comme la topologie de $X'$ est plus fine que celle de $X$ , toute fonction $\nu$ -modérée est $\nu'$ -modérée. Ce procédé permet d’étendre sans nouvelle démonstration le th. de Lebesgue–Fubini (chap. V, 2e éd., § 8, n° 4, th. 1) à la situation présente.

7. Un résultat sur la désintégration des mesures

Proposition 13

Soient $X$ un espace topologique, $\nu$ une mesure modérée sur $X$ , $p$ une application $\nu$ -propre de $X$ dans un espace topologique $T$ , et $\mu = p(\nu)$ . On suppose que tout sous-espace compact de $X$ est métrisable. Il existe alors une application $t \mapsto \lambda_t$ de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ ayant les propriétés suivantes: a) pour tout $t \in T$ , la mesure $\lambda_t$ est portée par $p^{-1}(t)$ ; b) pour toute fonction universellement mesurable $^{(1)}$ positive $f$ sur $X$ , la fonction $t \mapsto \lambda_t^*(f)$ est universellement mesurable sur $T$ et l’on a

\int_X^* f(x)\, d\nu(x) = \int_T^* d\mu(t) \int_X^* f(x)\, d\lambda_t(x);

(1) On dit qu’une application d’un espace topologique $X$ dans un espace topologique $Y$ est universellement mesurable si elle est $\mu$ -mesurable pour toute mesure $\mu$ sur $X$ (cf. chap. V, 2e éd., § 3, n° 4).

c) l’ensemble des $t \in T$ tels que $\lambda_t(1) \neq 1$ est localement $\mu$ -négligeable. De plus, si $t \mapsto \lambda'_t$ est une application de $T$ dans $\mathscr{M}_+(\mathbf{X})$ satisfaisant aux conditions a) et b), l’ensemble des $t \in T$ tels que $\lambda_t \neq \lambda'_t$ est localement $\mu$ -négligeable. Nous aurons besoin d’un résultat auxiliaire:

Lemme 4

Soient $X$ un espace topologique, $\nu$ une mesure sur $X$ et $f$ une application $\nu$ -mesurable de $X$ dans un espace topologique $F$ (séparé ou non). Il existe une application universellement mesurable $f'$ de $X$ dans $F$ , égale à $f$ localement $\nu$ -presque partout. La démonstration est identique à celle de la prop. 7 du chap. V, 2e éd., § 3, n° 4, compte tenu de la prop. 10 du § 1, n° 8. Passons à la démonstration de la prop. 13. A) On suppose que $X$ est compact et métrisable et que $p$ est continue et surjective: L’espace $T$ est alors compact et métrisable (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 2, n° 10). D’après le th. 1 du chap. VI, § 3, n° 1, il existe une application vaguement $\mu$ -mesurable et scalairement essentiellement $\mu$ -intégrable $H : t \mapsto \eta_t$ de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ telle que $\nu = \int_T \eta_t \, d\mu(t)$ et que $\eta_t$ soit de masse totale 1 et portée par $p^{-1}(t)$ pour tout $t \in T$ . Soit $(S_n)_{n \in \mathbf{N}}$ un concassage de $T$ pour $\mu$ , tel que la restriction de $H$ à chacun des ensembles $S_n$ soit continue (§ 1, n° 8, prop. 10 et 11); on notera $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ l’application de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ égale à $H$ sur $S = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} S_n$ et à 0 sur $T - S$ . Il est clair que l’on a $\nu = \int_T \lambda_t \, d\mu(t)$ et que $\Lambda$ satisfait à la condition a) de l’énoncé; la formule (12) résulte de la prop. 5 du chap. V, 2e éd., § 3, n° 2. Soit $\theta$ une mesure sur $T$ ; l’application $\Lambda$ est vaguement $\theta$ -mesurable et scalairement essentiellement $\theta$ -intégrable, donc aussi $\theta$ -adéquate (chap. V, 2e éd., § 3, n° 1, prop. 2, b)). Soit $f$ une fonction positive universellement mesurable sur $X$ ; d’après la prop. 5 du chap. V, 2e éd., § 3, n° 2, appliquée à $\int \lambda_t d\theta(t)$ l’application $t \mapsto \lambda_t^*(f)$ est $\theta$ -mesurable, donc universellement mesurable vu l’arbitraire de $\theta$ . B) On suppose qu’il existe une partie compacte $X'$ de $X$ portant la mesure $\nu$ et telle que $p_{X'}$ soit continue: Posons alors $T' = p(X')$ , et $p' = p_{X'}$ ; nous noterons $\nu'$ la mesure $\nu_{X'}$ et $\mu'$ la mesure image $p'(\nu')$ sur $T'$ . Comme $p'$ est continue et surjective et que $X'$ est compact et métrisable, il existe d’après A) une application $\Lambda' : t' \mapsto \lambda'_{t'}$ de $T'$ dans $\mathscr{M}_+(X')$ satisfaisant aux conditions suivantes: a') pour tout $t' \in T'$ , la mesure $\lambda'_{t'}$ est portée par $X' \cap {p'}^{-1}(t')$ ; b') pour toute fonction positive universellement mesurable $f'$ sur $X'$ , la fonction $t' \mapsto {\lambda'_{t'}}^*(f')$ est universellement mesurable sur $T'$ et l’on a

\int_{X'} f'(x') \, d\nu'(x') = \int_{T'} d\mu'(t') \int_{X'} f'(x') \, d\lambda'_{t'}(x').

Soit

t \in T

; si

t

appartient à

T'

, nous noterons

\lambda_t

l’image de

\lambda'_{t'}

par l’injection canonique de

X'

dans

X

, et si

t

appartient à

T - T'

nous poserons

\lambda_t = 0

. Le lecteur vérifiera sans peine que l’application

t \mapsto \lambda_t

satisfait aux conditions a) et b) de l’énoncé.

C) Existence dans le cas général:

La mesure $\nu$ sur $X$ étant modérée, nous pouvons choisir un recouvrement $(\mathbf{U}_m)_{m \in \mathbf{N}}$ de $X$ formé d’ouverts $\nu$ -intégrables. Soit par ailleurs $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ un $\nu$ -concassage de $X$ tel que la restriction de $p$ à chaque ensemble $X_n$ soit continue ( $§ 1$ , n° 8, prop. 10 et 11); on notera $\nu_n$ la mesure $\varphi_{X_n} \cdot \nu$ sur $X$ et $\mu_n$ son image par $p$ . D’après B), il existe, pour tout entier $n \in \mathbf{N}$ , une application $t \mapsto \alpha^n_t$ de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ satisfaisant aux conditions suivantes: $a'')$ La mesure $\alpha^n_t$ est portée par $p^{-1}(t)$ pour tout $t \in T$ . $b'')$ Si $f$ est une fonction positive universellement mesurable sur $X$ , la fonction positive $t \mapsto (\alpha^n_t)^*(f)$ sur $T$ est universellement mesurable et l’on a

\int_X f(x) \, d\nu_n(x) = \int_T d\mu_n(t) \int_X f(x) \, d\alpha^n_t(x).

On a $\nu = \sum_{n \in \mathbf{N}} \nu_n$ et $\mu = \sum_{n \in \mathbf{N}} \mu_n$ ; il résulte immédiatement de la prop. 3 du n° 2 et du lemme 4 ci-dessus qu’il existe une suite $(g_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de fonctions positives universellement mesurables sur $T$ telle que $\mu_n = g_n \cdot \mu$ pour tout $n \in \mathbf{N}$ et $\sum_{n \in \mathbf{N}} g_n = 1$ .

Pour tout $t \in T$ , nous noterons $\beta^n_t$ la mesure $g_n(t) \cdot \alpha^n_t$ sur $X$ et $q_t$ l’encombrement $\sum_{n \in \mathbf{N}} (\beta^n_t)^*$ sur $X$ . Soit $f$ une fonction positive universellement mesurable sur $X$ ; utilisant la prop. 2 du n° 2 et sommant sur $n$ dans (13), on obtient

\int_X f(x) \, d\nu(x) = \int_T q_t(f) \, d\mu(t);

il est clair par ailleurs que la fonction $t \mapsto q_t(f)$ sur $T$ est universellement mesurable.

Pour tout $m \in \mathbf{N}$ , soit $E_m$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $q_t(\mathbf{U}_m) = +\infty$ ; l’ensemble $E_m$ est universellement mesurable car il en est ainsi de l’application $t \mapsto q_t(\mathbf{U}_m)$ , et $E_m$ est localement $\mu$ -négligeable d’après la formule (14) appliquée à $f = \varphi_{\mathbf{U}_m}$ , puisque $\nu^*(\mathbf{U}_m)$ est fini. L’ensemble $E = \bigcup_{m \in \mathbf{N}} E_m$ est donc universellement mesurable et localement $\mu$ -négligeable. Nous poserons $\lambda_t = 0$ pour $t \in E$ . Par ailleurs, soit $t \in T - E$ ; l’encombrement $q_t$ est localement borné puisque les ouverts $\mathbf{U}_m$ recouvrent $X$ et que $q_t(\mathbf{U}_m)$ est fini; d’après la prop. 7 du $§ 1$ , n° 7, il existe une mesure $\lambda_t$ sur $X$ telle que $q_t = \lambda_t^*$ et $\lambda_t = \sum_{n \in \mathbf{N}} \beta^n_t$ . Il est immédiat que l’application $t \mapsto \lambda_t$ satisfait aux conditions a) et b) de l’énoncé.

D) Démonstration de c):

Soit $f$ une fonction universellement mesurable, positive et bornée sur $X$ ; nous allons montrer que la fonction universellement mesurable $h_f : t \mapsto \lambda_t^*(f)$ sur $T$ est une densité de la mesure $\mu_f = p(f \cdot \nu)$ par rapport à $\mu = p(\nu)$ . Soit $K$ une partie compacte de T et soit $A = p^{-1}(K)$ . Pour tout $t \in T$ , la mesure $\lambda_t$ est portée par $p^{-1}(t)$ ; si $t$ appartient à $K$ , on a $p^{-1}(t) \subset A$ , d'où $\lambda_t^*(f \varphi_A) = \lambda_t^*(f)$ ; en revanche, si $t$ appartient à $T - K$ , on a $p^{-1}(t) \subset X - A$ , d'où $\lambda_t^*(f \varphi_A) = 0$ . Appliquant la formule (12) à $f \cdot \varphi_A$ , on trouve alors

\mu_f(K) = \int_A^* f(x) \, d\nu(x) = \int_K^* d\mu(t) \int_X^* f(x) \, d\lambda_t(x) = \int_K^* h_f(t) \, d\mu(t),

ce qui établit la relation $\mu_f = h_f \cdot \mu$ .

Faisant $f = 1$ , on voit que la fonction $h_1 : t \mapsto \| \lambda_t \|$ est une densité de la mesure $\mu_1 = \mu$ par rapport à $\mu$ , donc est égale à 1 localement $\mu$ -presque partout sur $T$ .

E) Unicité: Soient $t \mapsto \lambda_t^i$ (pour $i = 1, 2$ ) deux applications de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ satisfaisant aux conditions a) et b) de l'énoncé. Comme dans C), choisissons un $\mu$ -concassage $(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $X$ tel que $p_{X_n}$ soit continue pour tout $n \in \mathbf{N}$ , et posons $N = X - \bigcup_{n \in \mathbf{N}} X_n$ .

Pour tout entier $n \in \mathbf{N}$ , choisissons un ensemble dénombrable $D_n$ de fonctions positives sur $X$ , nulles hors de $X_n$ , dont les restrictions à $X_n$ forment un ensemble dense dans l'espace normé $\mathscr{C}(X_n)$ (appliquer le th. 1 de Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, n° 3 à l'espace compact métrisable $X_n$ ). Nous poserons $D = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} D_n$ .

Soit $f \in D$ ; d'après D), les fonctions $t \mapsto (\lambda_t^1)^*(f)$ et $t \mapsto (\lambda_t^2)^*(f)$ sont des densités de la mesure $\mu_f$ par rapport à $\mu$ , et il existe donc un ensemble localement $\mu$ -négligeable $E_f$ dans $T$ tel que $(\lambda_t^1)^*(f) = (\lambda_t^2)^*(f)$ pour $t \in T - E_f$ . De plus, d'après (12), l'ensemble $F_i$ des $t \in T$ tels que $(\lambda_t^i)^*(N) \neq 0$ est localement $\mu$ -négligeable pour $i = 1, 2$ . Comme $D$ est dénombrable, l'ensemble $G = (\bigcup_{f \in D} E_f) \cup F_1 \cup F_2$ est localement $\mu$ -négligeable; pour $t \in T - G$ on a $(\lambda_t^1)^*(N) = (\lambda_t^2)^*(N) = 0$ et $(\lambda_t^1)_{X_n} = (\lambda_t^2)_{X_n}$ , d'où $\lambda_t^1 = \lambda_t^2$ d'après la prop. 9 du § 1, n° 8.

C.Q.F.D.

Remarque 1

Si $X$ est un espace souslinien, tout sous-espace compact de $X$ est souslinien, donc métrisable (Top. gén., 3e édit., chap. IX, Appendice I, cor. 2 de la prop 3), et toute mesure sur $X$ est modérée (§ 1, n° 9, Remarque 1). D'après la prop. 13, toute mesure $\nu$ sur $X$ admet donc une désintégration par rapport à toute application $\nu$ -propre.

Remarque 2

Avec les notations de la prop. 13, soit $f$ une fonction $\nu$ -mesurable positive. On peut prouver comme au chap. V, 2e éd., § 3, n° 2, prop. 5 que l'ensemble des $t \in T$ tels que $f$ ne soit pas $\lambda_t$ -mesurable est localement $\mu$ -négligeable, que $t \mapsto \lambda_t^*(f)$ est $\mu$ -mesurable, et que l'on a encore la relation (12).

Exercices

See the exercises for § 2.