Bài tập 5, § 3

Trang bị cho $\mathbf{R}^n$ dạng toàn phương $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$. Cho $G_n$ là nhóm các phép dời của $\mathbf{R}^n$ (Alg., Ch. IX, §6, No. 6, Định nghĩa 3) có định thức 1. a) Chứng minh rằng $G_n$ là đơn môđula. b) Mọi phần tử của $G_2$ có thể được viết duy nhất dưới dạng

trong đó $u, v$ thuộc $\mathbf{R}$, và $\omega$ là một phần tử của nhóm $\Theta$ các góc của các nửa đường thẳng, đẳng cấu với $\mathbf{U}$. Chứng minh rằng $du \otimes dv \otimes d\omega$ (trong đó $d\omega$ là một độ đo Haar trên $\Theta$) là một độ đo Haar trên $G_2$.