Exercice 5, § 3

On munit $\mathbf{R}^n$ de la forme quadratique $x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2$. Soit $G_n$ le groupe des déplacements de déterminant 1 de $\mathbf{R}^n$. a) Montrer que $G_n$ est unimodulaire. b) Tout élément de $G_2$ se met de manière unique sous la forme

où $u, v$ sont dans $\mathbf{R}$ et où $\omega$ est un élément du groupe $\Theta$ des angles de demi-droites, isomorphe à $\mathbf{U}$. Montrer que $du \otimes dv \otimes d\omega$ (où $d\omega$ est une mesure de Haar sur $\Theta$) est une mesure de Haar sur $G_2$.