Chỉ cần xét trường hợp T là một không gian con của một không gian compact X. Cho V là một tập con mở của X sao cho $V \cap T = U$; ký hiệu V' là một tập mở trong X chứa K sao cho $\overline{V'} \subset V$, ký hiệu g là một hàm liên tục trên X nhận giá trị trong I (resp. trong $\mathbf{C}$) mở rộng f và bằng không trên $X - V$ (GT, IX, §4, No. 1, Mệnh đề 1). Điều kiện a) được thỏa mãn bằng cách lấy $U' = V' \cap T$, và b) bằng cách lấy $f'$ là hạn chế của g lên T.

(1) $\mu^\bullet(f) = \sup_{g \in I_f} \mu^\bullet(g)$ (resp. $\mu^\bullet(f) = \inf_{g \in S_f} \mu(g)$),

trong đó $I_f$ (resp. $S_f$) chỉ tập hợp các hàm liên tục bị chặn $g$ sao cho $0 \leq g \leq f$ (resp. $g \geq f$).

b) Cho $\theta$ là một độ đo phức trên $T$, và f là một hàm số $\geq 0$ xác định trên T và nửa liên tục dưới. Khi đó

(2) $|\theta|^\bullet(f) = \sup_g |\theta(g)|$,

trong đó g chạy qua tập các hàm phức liên tục bị chặn và khả tích theo $|\theta|$ sao cho $|g| \leq f$.

Công thức thứ nhất trong (1) là hiển nhiên, vì $I_f$ là một tập có hướng tăng các hàm liên tục có bao trên là $f$, và có thể áp dụng Mệnh đề 5 của §1, No. 6. Mệnh đề ấy cũng sẽ suy ra công thức thứ hai, nếu ta chứng minh rằng $S_f$ chứa một hàm liên tục bị chặn, $\mu$-khả tích. Vì vậy, cho $K$ là giá đỡ của $f$, và $M$ là cận trên đúng của $f$; vì $K$ là compact, nên $M$ là hữu hạn (GT, IV, §6, No. 2, Th. 3). Cho $U$ là một tập mở chứa $K$ và sao cho $\mu^\bullet(U) < +\infty$; tồn tại (Bổ đề) một hàm liên tục $g$ nhận giá trị trong $[0, M]$, bằng $M$ trên $K$ và bằng không ngoài $U$; khi đó $g \in S_f$ và $\mu^\bullet(g) \leq M \mu^\bullet(U) < +\infty$.

Chuyển sang b). Rõ ràng chỉ cần chứng minh rằng $|\theta|^\bullet(f) \leq \sup_g |\theta(g)|$.

Cho $a$ và $b$ là hai số thực sao cho $a < b < |\theta|^\bullet(f)$. Theo (1), tồn tại một hàm $h \in \mathscr{C}_+^b(T)$ sao cho $h \leq f$ và $|\theta|^\bullet(h) > b$; ký hiệu $M$ là cận trên đúng của $h$. Theo định nghĩa của $|\theta|^\bullet$ (§1, No. 2, Định nghĩa 4), tồn tại một tập con compact $K$ của $T$ sao cho $|\theta|_K^\bullet(h_K) > b$. Khi đó tồn tại một hàm phức liên tục $j$ trên $K$ sao cho $|j| \leq h_K$ và $|\theta_K(j)| > b$ (Ch. III, §1, No. 6). Chọn một tập mở $U$ chứa $K$ và sao cho $|\theta|^\bullet(U - K) \leq \frac{b - a}{M}$ (§1, No. 9, Mệnh đề 13 và 14); mở rộng $j$ thành một hàm phức liên tục $k$ trên $T$, bằng không ngoài $U$ (Bổ đề); với mọi $t \in T$, đặt

(3)

Rõ ràng $|g| \leq h \leq f$, và $g = j$ trên $K$, do đó $||\theta_K(j)| - |\theta(g)|| = ||\theta(j^0)| - |\theta(g)|| \leq |\theta|^\bullet(|j^0 - g|) \leq M \cdot |\theta|^\bullet(U - K) \leq b - a$, suy ra $|\theta(g)| > a$. Mặt khác, ta hãy chứng minh rằng $g$ là một hàm liên tục:

vì $a$ chỉ thỏa mãn điều kiện duy nhất $a < |\theta|^*(f)$, điều này sẽ suy ra rằng vế thứ hai của (2) là $\geqslant$ vế thứ nhất, do đó mệnh đề. Bây giờ, cho $F$ (resp. $F'$) là tập hợp các $t \in T$ sao cho $|k(t)| \leq h(t)$ (resp. $|k(t)| \geq h(t)$). Vì các tập hợp này đóng, và hợp của chúng là $T$, chỉ cần chỉ ra rằng $g_F$ và $g_{F'}$ liên tục: giờ đây, tính chất này hiển nhiên đối với $g_F = k_F$, và cũng đúng đối với $g_{F'}$ tại các điểm mà $k(t) \neq 0$; mặt khác, nếu $t \in F'$ sao cho $k(t) = 0$, thì cũng có $h(t) = 0$, và bất đẳng thức $|g| \leq h$ suy ra rằng $g$ liên tục tại điểm $t$.

Ta hãy xét lại chứng minh của phần thứ hai của Mệnh đề 1, bằng cách đặt $\theta = \eta - \eta'$. Ta có thể yêu cầu tập mở U khả tích đối với $|\eta|$ và $|\eta'|$. Khi đó hàm $g$ khả tích đối với hai độ đo này, và quan hệ $\theta(g) = 0$ suy ra $a < 0$; do đó $|\theta|^*(f) = 0$ với mọi hàm nửa liên tục dưới dương $f$, do đó cuối cùng $|\theta| = 0$, khi lấy $f = +\infty$.

Theo Mệnh đề 15 của §1, No. 10, đủ để chỉ ra rằng nếu K là compact trong T, và nếu $g$ là mở rộng lên T bằng 0 của một hàm trong $\mathscr{C}_+(K)$ giữa 0 và 1, thì tồn tại một hàm $f \in \mathscr{C}_+^b(T)$, với giá đỡ được chứa trong một tập mở khả tích theo $\mu$, sao cho $\|f - g\|_p$ tùy ý nhỏ. Bây giờ, hãy lấy $\varepsilon$ là một số $> 0$, U là một lân cận mở của K sao cho $\mu^*(U - K) < \varepsilon$, V là một lân cận mở của K sao cho $\overline{V} \subset U$, và $f$ là một hàm có giá trị trong $[0, 1]$, liên tục, bằng $g$ trên K và bằng 0 ngoài V (Bổ đề). Khi đó hàm $|f - g|^p$ được chặn trên bởi $\varphi_{U-K}$; do đó $\|f - g\|_p \leq \varepsilon^{1/p}$, điều này chứng minh mệnh đề.

Nhận xét 3). — Có một mệnh đề tương tự cho các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach F: không gian con $\mathscr{H} \otimes F$ của $\mathscr{C}^b(T; F)$ là trù mật trong $\mathscr{L}_F^p(\mu)$.

Điều kiện cần là hiển nhiên. Để chứng minh tính đủ, ta xét lại chứng minh của mệnh đề trước, với $p = 1$ và $\mu = |\theta|$; các ký hiệu giữ nguyên, quan hệ $\mu^*(|f - g|) \leq \varepsilon$ và bất đẳng thức $\theta(f) \geq 0$ kéo theo $\theta_K(g_K) = \theta(g) \geq -\varepsilon$; vì $g_K$ là một phần tử tùy ý của $\mathscr{C}(K)$ giữa 0 và 1, nên độ đo $\theta_K$ là dương; do K là tùy ý, điều đó có nghĩa là $\theta$ là dương.

(M) *Với mọi số $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact K của T sao cho các quan hệ $g \in \mathscr{C}^b(T; \mathbf{C}), |g| \leq 1, g_K = 0$ kéo theo $|I(g)| \leq \varepsilon$.

Khi đó độ đo $\theta$ là duy nhất.*

Tính duy nhất suy ra từ Mệnh đề 2 của No. 1. Ta hãy chứng minh rằng điều kiện (M) là cần. Cho $\theta$ là một độ đo phức bị chặn; lấy K là một tập compact sao cho $|\theta|^*(T - K) \leq \varepsilon$ (§1, No. 2, Nhận xét 3). Các giả thiết $|g| \leq 1, g_K = 0$ kéo theo $|g| \leq \varphi_{\mathbf{C}_K}$, do đó $|\theta(g)| \leq |\theta|^*(\varphi_{\mathbf{C}_K}) \leq \varepsilon$.

Ta chuyển sang chứng minh tính đủ. Cho X là compact hóa Stone–Čech của T (GT, IX, §1, Bài tập 7; hoặc TG, IX, §1, No. 6). Với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, đặt $\nu(f) = I(f_T)$; theo cách này ta định nghĩa một dạng tuyến tính liên tục trên $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, tức là một độ đo phức trên không gian compact X. Cho $\varepsilon$ là một số $> 0$, K là một tập compact thỏa mãn (M); vì hàm $\varphi_{\mathbf{C}_K}$ là nửa liên tục dưới và dương trên X, công thức (2) cho ta các quan hệ sau, trong đó $\mathscr{G}$ ký hiệu tập các hàm $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ sao cho $|g| \leq \varphi_{\mathbf{C}_K}$:

Cho $(K_n)_{n \geq 1}$ là một dãy các tập con compact của $T$, sao cho mỗi $K_n$ thỏa mãn (M) với $\varepsilon = 1/n$, và đặt $S = \bigcup K_n$; $S$ là một tập Borel trong $X$, được chứa trong $T$, và $|\nu|^*(X - T) \leq |\nu|^*(X - S) \leq |\nu|^*(X - K_n) \leq 1/n$ với mọi $n$, do đó $T$ khả đo với $\nu$ và $\nu$ tập trung trên $T$. Cho $f$ là một hàm liên tục bị chặn trên $T$; vì $X$ là compact hóa Stone–Čech của $T$, $f$ có thể được mở rộng liên tục thành một hàm $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$. Bây giờ cho $\mu$ là độ đo cảm sinh bởi $\nu$ trên $T$; ta có $\mu(f) = \nu(f^0)$. (1) Vì $\nu$ tập trung trên $T$, các hàm $f^0$ và $g$ bằng nhau $\nu$-hầu khắp, do đó $\mu(f) = \nu(g) = I(g_T) = I(f)$, và điều đó hoàn tất chứng minh.

a) Cho f là một hàm số dưới nửa liên tục, nhận giá trị số, $\geqslant 0$, được xác định trên T; khi đó hàm $\mu \mapsto |\mu|^*(f)$ là dưới nửa liên tục trên $\mathscr{M}^b(T)$.

b) Cho f là một hàm bị chặn trên nửa liên tục, được xác định trên T; khi đó hàm $\mu \mapsto \mu(f)$ là trên nửa liên tục trên $\mathscr{M}_+^b(T)$.

Vì, ta thấy theo Mệnh đề 1 b) của No. 1 rằng $\mu \mapsto |\mu|^*(f)$ là bao trên của một họ các hàm có dạng $\mu \mapsto |\mu(g)|$ với $g \in \mathscr{C}^b(T)$, do đó liên tục đối với tôpô chặt. Điều này thiết lập a). Để chứng minh b), chỉ cần chọn một cận trên hằng C cho f, và viết $\mu(f) = \mu(C) - \mu(C - f)$; hàm $\mu \mapsto \mu(C)$ là liên tục, và hàm $\mu \mapsto \mu(C - f)$ là dưới nửa liên tục trên $\mathscr{M}_+^b(T)$ theo điều trên.

Với mọi $t \in T$, đặt $f'(t) = \liminf_{s \to t} f(s)$, $f''(t) = \limsup_{s \to t} f(s)$. Hiển nhiên $f' \leqslant f \leqslant f''$, với đẳng thức tại mọi điểm của T nơi f liên tục (do đó hầu khắp theo $\mu$). Mặt khác, $f'$ là dưới nửa liên tục, $f''$ là trên nửa liên tục và bị chặn (GT, IV, §6, No. 2, Prop. 4). Vì thế ta có các quan hệ sau theo Mệnh đề 6,

Suy ra bằng cách nhận thấy rằng $\mu^*(f') = \mu^*(f'')$, vì $f'$ và $f''$ bằng nhau địa phương hầu khắp theo $\mu$.

Ta lại ký hiệu i là ánh xạ $\mu \mapsto i(\mu)$ của $\mathscr{M}_+^b(T)$ vào $\mathscr{M}_+^b(X)$; i là đơn ánh (§2, No. 4, Prop. 8) và gửi $\mathscr{M}_+^b(T)$ vào W (§2, No. 3, Prop. 7). Nếu $\lambda \in W$, thì $\lambda = i(\lambda_T)$ (§2, No. 3, Prop. 7 b)). Do đó, i là một song ánh của $\mathscr{M}_+^b(T)$ lên W, và song ánh ngược của i là ánh xạ $r : \lambda \mapsto \lambda_T$ trên W. Mặt khác, $i$ là liên tục: vì, nếu $f \in \mathscr{C}^b(X)$, thì $\langle i(\mu), f \rangle = \langle \mu, f \circ i \rangle$, và $f \circ i$ thuộc $\mathscr{C}^b(T)$. Do đó, mọi sự quy về việc chứng minh rằng, với mọi độ đo $\mu \in W$ và mọi hàm $f \in \mathscr{C}^b_+(T)$, ta có

hay lại nữa

Cho $f^\infty$ là hàm trên $X$ trùng với $f$ trên $T$ và bằng $+\infty$ trên $X - T$, và cho $f'$ và $f''$ lần lượt là sự chính quy hóa nửa liên tục trên của $f^0$ và sự chính quy hóa nửa liên tục dưới của $f^\infty$ (GT, IV, §6, No. 2). Các quan hệ

ngay lập tức suy ra rằng $f'$ và $f''$ đều trùng với $f$ và $f^0$ trên $T$. Mệnh đề 6 khi đó dẫn tới

Nhưng ta có thể thay $f'$ và $f''$ bởi $f^0$ trong hai công thức này, vì các độ đo $\lambda$ và $\mu$ được mang bởi $T$; do đó ta đã thu được quan hệ mong muốn.

Mệnh đề của Mệnh đề 8 chỉ đúng cho các độ đo dương: ánh xạ $\mu \mapsto i(\mu)$ của $\mathscr{M}^b(T)$ vào $\mathscr{M}^b(X)$ là đơn ánh và liên tục, nhưng nói chung không phải là một đồng phôi từ $\mathscr{M}^b(T)$ onto ảnh của nó. Chẳng hạn, lấy $X = \mathbf{R}$, $T = \mathbf{R} - \{0\}$; các độ đo $\lambda_t = \varepsilon_t - \varepsilon_{-t}$ ($t > 0$) hội tụ chặt về $0$ trong $X$ khi $t$ tiến tới $0$, nhưng không hội tụ chặt về $0$ trong $T$ (hàm đặc trưng của $]0, +\infty[$ thuộc $\mathscr{C}^b(T)$) (cf. tuy nhiên Hệ quả của Định lý 1 của No. 5).

Điều kiện này hiển nhiên là cần. Để chứng minh rằng nó đủ, ta ký hiệu $X$ là sự compact hóa Alexandroff của $T$ (GT, I, §9, No. 8) và ký hiệu $i$ là đơn ánh chính tắc của $T$ vào $X$. Theo Mệnh đề 8, mọi việc quy về việc chứng minh rằng $\lambda \mapsto i(\lambda)$ hội tụ chặt về $i(\mu)$ trong $\mathscr{M}^b(X)$ đối với $\mathfrak{F}$. Vì $\mu(1) < +\infty$, tồn tại một tập $A \in \mathfrak{F}$ sao cho tổng số khối lượng của các độ đo trong $A$ bị chặn bởi một số $M$; do đó chỉ cần kiểm tra rằng

đối với các hàm $g \in \mathscr{C}^b(X)$ tạo thành một tập hợp toàn phần trong $\mathscr{C}^b(X)$.

Hiện nay, đẳng thức này được thỏa mãn khi $g$ có giá compact trong $T$, do sự hội tụ vague của $\mathfrak{F}$ đến $\mu$, và cũng khi $g$ là một hàm hằng trên $X$, từ thực tế rằng $\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda(1) = \mu(1)$. Vì các hàm thuộc hai kiểu trên tạo thành một tập hợp toàn phần trong $\mathscr{C}^b(X)$ (Ch. III, §1, No. 2, Mệnh đề 3), điều này hoàn tất chứng minh.

Ta bắt đầu bằng trường hợp $T$ là Polish và compact. Khi đó tập $U$ của các độ đo dương có khối lượng $\leq 1$ là compact (Ch. III, §1, No. 9, Hệ quả 2 của Mệnh đề 15), và tôpô cảm sinh trên $U$ bởi tôpô chặt (mà ở đây trùng với tôpô vague) cũng là tôpô cảm sinh bởi tôpô hội tụ từng điểm trên một tập hợp toàn phần của $\mathscr{C}(T)$ (loc. cit., No. 10, Mệnh đề 17). Hiện nay, trong $\mathscr{C}(T)$ tồn tại một tập hợp toàn phần đếm được (GT, X, §3, No. 3, Định lý 1); do đó, $U$ là một không gian compact mêtrizable. Tập $V$ của các độ đo dương có khối lượng $< 1$ là mở trong $U$, do đó là một không gian Polish địa phương compact. Khi đó, ánh xạ $\mu \mapsto \frac{1}{1 + \mu(1)} \mu$ của $\mathscr{M}_+^b(T)$ lên $V$ là một đẳng cấu tôpô, với ánh xạ $\lambda \mapsto \frac{1}{1 - \lambda(1)} \lambda$ là đẳng cấu tôpô nghịch đảo.

Ta xét trường hợp $T$ là Polish; có thể giả sử rằng $T$ là giao của một dãy giảm $(G_n)$ các tập mở trong một không gian compact mêtrizable $X$ (GT, IX, §6, No. 1, Hệ quả 1 của Định lý 1); khi đó không gian $\mathscr{M}_+^b(T)$ đẳng cấu tôpô với không gian con $W$ của $\mathscr{M}_+^b(X)$ gồm các độ đo tập trung trên $T$ (No. 3, Mệnh đề 8), và chỉ cần chứng minh rằng $W$ là giao của một dãy các tập mở trong không gian Polish $\mathscr{M}_+^b(X)$ (GT, loc. cit., Định lý 1). Bây giờ, ký hiệu $W_n$ là tập các độ đo $\mu \in \mathscr{M}_+^b(X)$ tập trung trên $G_n$; ánh xạ $h_n : \mu \mapsto \mu^*(X - G_n)$ trên $\mathscr{M}_+^b(X)$ là nửa liên tục trên (No. 3, Mệnh đề 6), và tập $A_k^n$ gồm các độ đo $\mu \in \mathscr{M}_+^b(X)$ sao cho $h_n(\mu) < 1/k$ do đó là mở với mọi $k \geq 1$ và mọi $n \in \mathbf{N}$. Chứng minh được hoàn tất bằng cách nhận thấy rằng $W = \bigcap_n W_n = \bigcap_{n,k} A_k^n$.

Thật vậy, cho $\hat{T}$ là bao đầy đủ của T đối với một metric xác định tôpô của T; không gian $\hat{T}$ là Polish, và $\mathscr{M}_+^b(T)$ đẳng cấu tôpô với không gian con của không gian Polish $\mathscr{M}_+^b(\hat{T})$ gồm các độ đo tập trung trên T (No. 3, Mệnh đề 8). Nhưng mọi không gian con của một không gian Polish đều mêtrizable kiểu đếm được (GT, IX, §2, No. 8).

Xét một không gian Ba Lan P và một ánh xạ liên tục $f$ của P lên T (GT, IX, §6, No. 2, Định nghĩa 2). Cho $\tilde{f}$ là ánh xạ liên tục $\mu \mapsto f(\mu)$ từ $\mathscr{M}_+^b(P)$ vào $\mathscr{M}_+^b(T)$; không gian $\mathscr{M}_+^b(P)$ là Ba Lan theo Mệnh đề 10, và $\tilde{f}$ là toàn ánh (§2, No. 4, Mệnh đề 9); do đó không gian $\mathscr{M}_+^b(T)$ là Souslin. Tương tự, nếu T là Lusin, thì có thể giả sử $f$ là đơn ánh (GT, loc. cit., No. 4, Mệnh đề 12); khi đó $\tilde{f}$ là đơn ánh (§2, No. 4, Mệnh đề 8), và vì thế $\mathscr{M}_+^b(T)$ là Lusin (GT, loc. cit., No. 4, Mệnh đề 12).

Cho T là một không gian Souslin chính quy hoàn toàn (nhắc rằng, với điều này, chỉ cần T là Souslin và chính quy (TG, Phụ lục 1, Hệ quả của Mệnh đề 2)), và cho H là một tập con compact của $\mathscr{M}_+^b(T)$; khi đó H là compact và Souslin, do đó metric hóa được, đối với tôpô chặt (loc. cit., Phụ lục 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3).

Vì, các hàm $\mu \mapsto |\mu|^*(1)$, $\mu \mapsto |\mu|^*(T - K_\varepsilon)$ là nửa liên tục dưới trên $\mathscr{M}^b(T)$ theo Mệnh đề 6 của No. 3.

Ý nghĩa của điều kiện Prokhorov xuất phát từ định lý sau, mà đảo lại của nó sẽ được khảo sát sau này (Định lý 2).

Định lý 1 (Prokhorov). — Cho T là một không gian chính quy hoàn toàn, và cho H là một tập con của $\mathscr{M}^b(T)$ thỏa mãn điều kiện Prokhorov; khi đó H tương đối compact trong $\mathscr{M}^b(T)$ đối với tôpô chặt.

Ta có thể giả sử rằng T là một không gian con của một không gian compact X; cho i là đơn ánh chính tắc của T vào X. Mặt khác, theo Mệnh đề 11, ta có thể giả sử rằng H là đóng trong $\mathscr{M}^b(T)$. Khi đó chỉ cần chứng minh rằng mọi siêu lọc $\mathfrak{U}$ trên H hội tụ trong $\mathscr{M}^b(T)$.

Ta sẽ bắt đầu với trường hợp $H \subset \mathscr{M}_+^b(T)$. Tổng khối lượng của các độ đo $\mu \in H$ bị chặn theo giả thiết, nên $i(\mu)$ hội tụ mơ hồ theo $\mathfrak{U}$, trong $\mathscr{M}_+(X)$, đến một độ đo $\nu \in \mathscr{M}_+(X)$ (Chương III, §1, No. 9, Hệ quả 2 của Mệnh đề 15); theo Mệnh đề 8 của No. 3, mọi việc quy về chứng minh rằng $\nu$ tập trung trên T. Bây giờ, cho $\varepsilon$ là một số $> 0$, và cho $K_\varepsilon$ là một tập con compact của T thỏa mãn công thức (6). Vì $X - K_\varepsilon$ là mở trong X, ta có, theo Mệnh đề 6 của No. 3 áp dụng trong X, các bất đẳng thức

vì $\varepsilon > 0$ là tùy ý, định lý được chứng minh trong trường hợp đặc biệt này.

Ta chuyển sang trường hợp tổng quát; với mọi độ đo $\mu$ trên T, đặt

vì $\mu = a_1(\mu) - a_2(\mu) + ia_3(\mu) - ia_4(\mu)$, nên chỉ cần chứng minh rằng các ánh xạ $a_j$ ($j = 1, 2, 3, 4$) hội tụ chặt theo $\mathfrak{U}$. Nhưng tập $H_j$ gồm các độ đo $a_j(\mu)$, khi $\mu$ chạy qua H, thỏa mãn điều kiện Prokhorov nhờ hệ thức $|a_j(\mu)| \leq |\mu|$, và nằm trong $\mathscr{M}_+^b(T)$; do đó nó tương đối compact trong $\mathscr{M}_+^b(T)$ theo trường hợp đặc biệt, và khi ấy định lý suy ra ngay.

— Cho T là một không gian con của một không gian hoàn toàn chính quy X, và cho H là một tập con của $\mathscr{M}^b(T)$ thỏa mãn điều kiện của Prokhorov. Nếu i ký hiệu đơn ánh chính tắc của T vào X, thì hạn chế của ánh xạ $\mu \mapsto i(\mu)$ từ $\mathscr{M}^b(T)$ vào $\mathscr{M}^b(X)$ lên H là một đẳng cấu tôpô của H lên ảnh của nó.

Chỉ cần xét trường hợp H đóng (Mệnh đề 11), do đó compact; kết luận khi đó suy ra từ việc $\mu \mapsto i(\mu)$ liên tục và đơn ánh.

Nhắc lại rằng kết quả này cũng đúng cho một tập con tùy ý của $\mathscr{M}_+^b(T)$ (No. 3, Mệnh đề 8).

Ta có thể chỉ xét trường hợp H đóng, do đó compact. Các khối lượng toàn phần của các độ đo $\mu \in H$ hiển nhiên bị chặn, vì ánh xạ $\mu \mapsto \mu(1)$ liên tục, và mọi việc quy về chứng minh mệnh đề b) của Định nghĩa 2.

Trước hết giả sử T là địa phương compact. Cho $\varepsilon$ là một số $> 0$. Ta gán cho mỗi độ đo $\mu \in H$ một tập compact $K_\mu$ trong T sao cho $\mu^\bullet(T - K_\varepsilon) < \varepsilon$, rồi một lân cận mở tương đối compact $U_\mu$ của $K_\mu$. Vì hàm $\lambda \mapsto \lambda^\bullet(T - U_\mu)$ là nửa liên tục trên trên $\mathscr{M}_+^b(T)$ (No. 3, Mệnh đề 6), tập $V^\mu$ gồm các độ đo $\lambda \in H$ sao cho $\lambda^\bullet(T - U_\mu) < \varepsilon$ là một lân cận của $\mu$ trong H. Do đó tồn tại một tập con hữu hạn $H'$ của H sao cho các tập $V^\mu$ ($\mu \in H'$) phủ H. Ký hiệu K là tập compact $\bigcup_{\mu \in H'} \overline{U}_\mu$, ta có $\lambda^\bullet(T - K) < \varepsilon$ với mọi $\lambda \in H$.

Tiếp theo giả sử T là Polish. Ta không hạn chế tính tổng quát khi giả sử rằng T là giao của một dãy giảm $(T_p)_{p \geq 1}$ các tập con mở của một không gian compact X (GT, IX, §6, No. 1, Hệ quả 1 của Định lý 1). Gọi $i_p$ là đơn ánh của T vào $T_p$, và gọi $H_p$ là tập các độ đo có dạng $i_p(\lambda)$ với $\lambda \in H$; vì $H_p$ compact trong $\mathscr{M}_+^b(T_p)$, suy ra tồn tại một tập compact $K_p \subset T_p$ sao cho $\nu^\bullet(T_p - K_p) \leq \varepsilon 2^{-p}$ với mọi độ đo $\nu \in H_p$, theo kết quả trên áp dụng cho không gian địa phương compact $T_p$. Do đó cũng có $\nu^\bullet(T - (T \cap K_p)) \leq \varepsilon 2^{-p}$, và cuối cùng $\lambda^\bullet(T - (T \cap K_p)) \leq \varepsilon 2^{-p}$ với mọi độ đo $\lambda \in H$. Bây giờ đặt $K = \bigcap_p K_p$; tập K là compact và được chứa trong T, và, với mọi độ đo $\lambda \in H$, ta có $\lambda^\bullet(T - K) \leq \sum_p \lambda^\bullet(T - (T \cap K_p)) \leq \sum_p \varepsilon 2^{-p} = \varepsilon$. Vậy điều kiện của Prokhorov đã được xác minh.

Ta hãy chứng minh rằng điều kiện trong phát biểu là cần. Cho $\theta$ là một độ đo phức bị chặn trên T, $\varepsilon$ là một số $> 0$, và K là một tập con compact của T sao cho $|\theta|^*(T - K) < \varepsilon$. Cho $f \in B$; ta ký hiệu U là lân cận của f trong B đối với tôpô hội tụ compact, gồm các hàm $g \in B$ sao cho $\sup_{x \in K} |g(x) - f(x)| \leq \varepsilon$. Khi đó, với mọi $g \in U$,

vì $|g - f|$ bị chặn trên bởi $\varepsilon$ trên K và bởi 2 trên $T - K$.

Ngược lại, xét một dạng tuyến tính I trên $\mathscr{C}^b(T; \mathbf{C})$ mà sự hạn chế của nó lên B liên tục đối với tôpô hội tụ compact. Khi đó, với mọi số $\varepsilon > 0$, tồn tại một số $a > 0$ và một tập con compact K của T sao cho các quan hệ $f \in B, \sup_{x \in K} |f(x)| \leq a$ kéo theo $|I(f)| \leq \varepsilon$. Mệnh đề 5 của No. 2 khi đó suy ra sự tồn tại của một độ đo phức bị chặn duy nhất $\theta$ sao cho $I(f) = \theta(f)$ với mọi $f \in \mathscr{C}^b(T; \mathbf{C})$.