Bài tập 13, § 5

*Cho G là một nhóm Abel compact địa phương. Người ta ký hiệu bởi $\widehat{G}$ nhóm đối ngẫu của G và bởi $\alpha$ một độ đo Haar trên $\widehat{G}$. Với mọi độ đo bị chặn $\mu$ trên G, người ta ký hiệu bởi $\mathscr{F} \mu$ biến đổi Fourier của $\mu$, là một hàm trên nhóm $\widehat{G}$ (xem Théor. spec., Ch. II, §1, No. 2).

a) Biến đổi Fourier $\mathscr{F}$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathscr{M}_+^b(G)$ được trang bị tôpô chặt vào $\mathscr{C}^b(\widehat{G})$ được trang bị tôpô hội tụ compact. (Sử dụng Hệ quả của Mệnh đề 13 của No. 6.)

b) Cho $\mathscr{F}$ là một lọc trên $\mathscr{M}_+^b(G)$ và $\Phi$ là một hàm liên tục bị chặn trên $\widehat{G}$; giả sử rằng $\lim_{\lambda, \mathscr{F}} (\mathscr{F} \lambda) \cdot \alpha = \Phi \cdot \alpha$ (hội tụ mơ hồ) và $\lim_{\lambda, \mathscr{F}} (\mathscr{F} \lambda)(0) = \Phi(0)$. Chứng minh rằng lọc $\mathscr{F}$ hội tụ chặt đến một độ đo $\mu$ sao cho $\mathscr{F} \mu = \Phi$ (chứng minh bằng cách áp dụng định lý Stone–Weierstrass rằng tập hợp các biến đổi Fourier của các hàm liên tục trên G có giá compact là một không gian con tuyến tính trù mật của $C^0(\widehat{G})$ đối với sự hội tụ đều; tiếp theo nhận xét rằng $\lim_{\lambda, \mathscr{F}} \int (\mathscr{F} \lambda) \cdot u d\alpha = \int \Phi u d\alpha$ với mọi $u \in E$ và rằng lọc $\mathscr{F}$ chứa một tập compact theo nghĩa mơ hồ của các độ đo bị chặn; suy ra từ đó rằng lọc $\mathscr{F}$ có nhiều nhất một điểm tụ, rồi rằng nó hội tụ chặt).

c) Cho $\mathscr{F}$ là một lọc trên $\mathscr{M}_+^b(G)$ có một cơ sở đếm được. Để $\mathscr{F}$ hội tụ chặt đến một độ đo dương bị chặn $\mu$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hàm liên tục $\Phi$ trên $\widehat{G}$ sao cho $\mathscr{F} \lambda$ hội tụ từng điểm đến $\Phi$ theo $\mathscr{F}$, trong trường hợp đó $\mathscr{F} \mu = \Phi$ (định lý P. Lévy).