Exercice 13, § 5

*Soit G un groupe localement compact commutatif. On note $\hat{G}$ le groupe dual de G et $\alpha$ une mesure de Haar sur $\hat{G}$. Pour toute mesure bornée $\mu$ sur G, on note $\mathscr{F} \mu$ la transformée de Fourier de $\mu$, qui est une fonction sur le groupe $\hat{G}$ (cf. Théor. Spec., chap. II, § 1, n° 3). a) La transformation de Fourier $\mathscr{F}$ est une application continue de $\mathscr{M}_+^b(G)$ muni de la topologie étroite dans $C^b(\hat{G})$ muni de la topologie de la convergence compacte. (Utiliser le cor. de la prop. 13 du n° 6).

b) Soient $\mathscr{F}$ un filtre sur $M^b_+(G)$ et $\Phi$ une fonction continue bornée sur $\hat{G}$; on suppose que l’on a $\lim_{\lambda, \mathscr{F}} (\mathscr{F} \lambda) . \alpha = \Phi . \alpha$ (convergence vague) et $\lim_{\lambda, \mathscr{F}} (\mathscr{F} \lambda)(0) = \Phi(0)$. Montrer que le filtre $\mathscr{F}$ converge étroitement vers une mesure $\mu$ telle que $\mathscr{F} \mu = \Phi$ (montrer par application du théorème de Weierstrass–Stone que l’ensemble des transformées de Fourier des fonctions continues à support compact sur $G$ est un sous-espace vectoriel dense de $C^0(\hat{G})$ pour la convergence uniforme; remarquer ensuite que l’on a $\lim_{\lambda, \mathscr{F}} \int (\mathscr{F} \lambda) . u \, d\alpha = \int \Phi u \, d\alpha$ pour tout $u \in E$ et que le filtre $\mathscr{F}$ contient un ensemble vaguement compact de mesures bornées; en déduire que le filtre $\mathscr{F}$ a au plus une valeur d’adhérence, puis qu’il converge étroitement).

c) Soit $\mathscr{F}$ un filtre à base dénombrable sur $M^b_+(G)$. Pour que $\mathscr{F}$ converge étroitement vers une mesure positive bornée $\mu$, il faut et il suffit qu’il existe une fonction $\Phi$ continue dans $\hat{G}$ telle que $\mathscr{F} \lambda$ converge simplement vers $\Phi$ selon $\mathscr{F}$, et l’on a alors $\mathscr{F} \mu = \Phi$ (« théorème de P. Lévy »).*