a) Soient $\mu$ une mesure positive sur $T$, et $f$ une fonction numérique $\geqslant 0$ définie dans $T$ et semi-continue inférieurement (resp. semi-continue supérieurement finie à support compact). On a alors

$I_f$ (resp. $S_f$) désignant l’ensemble des fonctions continues bornées telles que $0 \leqslant g \leqslant f$ (resp. $g \geqslant f$).

b) Soient $\theta$ une mesure complexe sur $T$, et $f$ une fonction numérique $\geqslant 0$ définie dans $T$ et semi-continue inférieurement. On a alors

$g$ parcourant l’ensemble des fonctions complexes, continues, bornées et $|\theta|$-intégrables telles que $|g| \leqslant f$.

La première des formules (1) est évidente, car $I_f$ est un ensemble filtrant croissant de fonctions continues dont l’enveloppe supérieure est $f$, et on peut appliquer la prop. 5 du § 1, n° 6. La même proposition entraînera la seconde formule, si nous montrons que $S_f$ contient une fonction continue bornée $\mu$-intégrable. Soient donc $K$ le support de $f$ et $M$ la borne supérieure de $f$; comme $K$ est compact, $M$ est fini (Top. gén., chap. IV, 3\textsuperscript{e} éd., § 6, n° 2, th. 3). Soit $U$ un ensemble ouvert contenant $K$ et tel que $\mu^\bullet(U) < +\infty$; il existe (lemme 1) une fonction continue $g$ à valeurs dans $[0, M]$, égale à $M$ sur $K$ et nulle hors de $U$; on a alors $g \in S_f$ et $\mu^\bullet(g) \leqslant M \mu^\bullet(U) < +\infty$.

Passons à b). Il suffit évidemment de montrer que l’on a $|\theta|^\bullet(f) \leqslant \sup_g |\theta(g)|$.

Soient deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a < b < |\theta|^\bullet(f)$. D’après (1), il existe une fonction $h \in \mathscr{C}_+^b(T)$ telle que $h \leqslant f$ et $|\theta|^\bullet(h) > b$; désignons par $M$ la borne supérieure de $h$. D’après la définition de $|\theta|^\bullet$ (§ 1, n° 2, déf. 4), il existe une partie compacte $K$ de $T$ telle que $|\theta|_K^\bullet(h_K) > b$. Il existe alors une fonction continue complexe $j$ sur $K$ telle que $|j| \leqslant h_K$ et que $|\theta_K(j)| > b$ (chap. III, 2\textsuperscript{e} édit., § 1, n° 6). Choisissons un ensemble ouvert $U$ contenant $K$ et tel que $|\theta|^\bullet(U - K) \leq \frac{b - a}{M}$ (§ 1, n° 9, prop. 13 et 14); prolongeons j en une fonction complexe k continue sur T, nulle hors de U (lemme 1); pour tout $t \in T$, posons

(3)

On a évidemment $|g| \leq h \leq f$, et $g = j$ dans K, donc $||\theta_K(j)|| - |\theta(g)|| = ||\theta(j^0)| - |\theta(g)|| \leq |\theta|^\bullet(|j^0 - g|) \leq M. |\theta|^\bullet(U - K) \leq b - a$, et par conséquent $|\theta(g)| > a$. Montrons d'autre part que g est une fonction continue: comme a est assujetti seulement à la condition $a < |\theta|^\bullet(f)$, cela entraînera que le second membre de (2) majore le premier, d'où la proposition. Or soit F (resp. F') l'ensemble des $t \in T$ tels que $|k(t)| \leq h(t)$ (resp. $|k(t)| \geq h(t)$). Ces ensembles étant fermés, et leur réunion étant T, il nous suffit de montrer que $g_F$ et $g_{F'}$ sont continues: or cette propriété est évidente pour $g_F = k_F$, et elle l'est pour $g_{F'}$ aux points où $k(t) \neq 0$; d'autre part, si $t \in F'$ est tel que $k(t) = 0$, on a aussi $h(t) = 0$, et l'inégalité $|g| \leq h$ entraîne que g est continue au point t.

Reprenons la démonstration de la seconde partie de la proposition 1, en posant $\theta = \eta - \eta'$. Nous pouvons imposer à l'ouvert U d'être intégrable pour $|\eta|$ et $|\eta'|$. La fonction g est alors intégrable pour ces deux mesures, et la relation $\theta(g) = 0$ entraîne $a < 0$; on a donc $|\theta|^\bullet(f) = 0$ pour toute fonction f semi-continue inférieurement positive, d'où finalement $|\theta| = 0$, en prenant $f = +\infty$.

D'après la prop. 15 du § 1, n° 10, il nous suffit de montrer que si K est compact dans T, et si g est le prolongement par 0 à T d'une fonction de $C^+(K)$, comprise entre 0 et 1, il existe une fonction $f \in C^b_+(T)$, à support contenu dans un ouvert $\mu$-intégrable, et telle que $\|f - g\|_p$ soit arbitrairement petit. Or soient $\varepsilon$ un nombre $> 0$, U un voisinage ouvert de K tel que $\mu^\bullet(U - K) < \varepsilon$, V un voisinage ouvert de K tel que $\overline{V} \subset U$, f une fonction à valeurs dans $[0, 1]$, continue, égale à g sur K et à 0 hors de V (lemme 1). La fonction $|f - g|^p$ est alors majorée par $\varphi_{U-K}$; on a donc $\|f - g\|_p \leq \varepsilon^{1/p}$, ce qui établit la proposition.

Remarque 3). — On a un énoncé analogue pour les fonctions à valeurs dans un espace de Banach F : le sous-espace $\mathscr{H} \otimes F$ de $C^b(T; F)$ est dense dans $\mathscr{L}_F^p(\mu)$.

La nécessité est évidente. Pour établir la suffisance, reprenons la démonstration de la proposition précédente, en prenant $p = 1$ et $\mu = |\theta|$; les notations étant les mêmes, la relation $\mu^*(|f - g|) \leq \varepsilon$ et l'inégalité $\theta(f) \geq 0$ entraînent $\theta_K(g_K) = \theta(g) \geq -\varepsilon$; comme $g_K$ est un élément de $C(K)$ compris entre 0 et 1 arbitraire, la mesure $\theta_K$ est positive; l'ensemble compact K étant arbitraire, cela signifie que $\theta$ est positive.

L'unicité résulte de la prop. 2 du n° 1. Montrons que la condition (M) est nécessaire. Soit $\theta$ une mesure complexe bornée; soit K un ensemble compact tel que $|\theta|^*(T - K) \leq \varepsilon$ (§ 1, n° 2, Remarque 3). Les hypothèses $|g| \leq 1, g_K = 0$ entraînent $|g| \leq \varphi_{CK}$, donc $|\theta(g)| \leq |\theta|^*(\varphi_{CK}) \leq \varepsilon$.

Passons à la démonstration de la suffisance. Soit X le compactifié de Stone-Čech de T (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 1, n° 6). Pour toute fonction $f \in C^b(X, \mathbf{C})$, posons $\nu(f) = I(f_T)$; nous définissons ainsi une forme linéaire continue $\nu$ sur $C^b(X, \mathbf{C})$, c'est-à-dire une mesure complexe sur l'espace compact X. Soient $\varepsilon$ un nombre $> 0$, K un ensemble compact satisfaisant à (M); la fonction $\varphi_{CK}$ étant semi-continue inférieurement et positive dans X, la formule (2) nous donne les relations suivantes, où $\mathscr{G}$ désigne l'ensemble des fonctions $g \in C^b(X, \mathbf{C})$ telles que $|g| \leq \varphi_{CK}$:

Soit $(K_n)_{n \geq 1}$ une suite de parties compactes de T, telle que chaque $K_n$ satisfasse à (M) pour $\varepsilon = 1/n$, et soit $S = \bigcup_n K_n$; S est borélien dans X, contenu dans T, et on a $|\nu|^*(X - T) \leq |\nu|^*(X - S) \leq |\nu|^*(X - K_n) \leq 1/n$ pour tout n, de sorte que T est $\nu$-mesurable et que $\nu$ est concentrée sur T. Soit $f$ une fonction continue et bornée sur T; comme X est le compactifié de Stone–Čech de T, f se prolonge par continuité en une fonction g ∈ C^b(X; \mathbf{C}). Soit alors μ la mesure induite par ν sur T; on a $\mu(f) = \nu(f^0)^{(1)}$. Comme ν est concentrée sur T, les fonctions $f^0$ et g sont égales ν-presque partout, et on a donc $\mu(f) = \nu(g) = \mathrm{I}(g_T) = \mathrm{I}(f)$, ce qui achève la démonstration.

(1) Cette relation n’a été établie plus haut (§ 2, n° 1, prop. 1) que dans le cas où f et ν sont positives. L’extension à la situation présente, où f et ν sont complexes et bornées, est immédiate par linéarité.

b) Soit $f$ une fonction semi-continue supérieurement et bornée définie dans $T$; la fonction $\mu \mapsto \mu(f)$ est alors semi-continue supérieurement dans $\mathscr{M}_+^b(T)$.

On voit en effet, d’après la prop. 1, b) du n° 1, que $\mu \mapsto |\mu|^*(f)$ est l’enveloppe supérieure d’une famille de fonctions de la forme $\mu \mapsto |\mu(g)|$ avec $g \in \mathscr{C}^b(T)$, donc continues pour la topologie étroite. Ceci établit a). Pour prouver b), il suffit de choisir une constante $C$ majorant $f$, et d’écrire $\mu(f) = \mu(C) - \mu(C - f)$; la fonction $\mu \mapsto \mu(C)$ est continue, et la fonction $\mu \mapsto \mu(C - f)$ est semi-continue inférieurement dans $\mathscr{M}_+^b(T)$ d’après ce qui précède.

Pour tout $t \in T$, posons $f'(t) = \liminf_{s \to t} f(s), f''(t) = \limsup_{s \to t} f(s)$. On a évidemment $f' \leq f \leq f''$, avec l’égalité en tout point de $T$ où $f$ est continue (donc $\mu$-presque partout). D’autre part, $f'$ est semi-continue inférieurement, $f''$ est semi-continue supérieurement et bornée ($Top.$ gén., chap. IV, 3e éd., § 6, n° 2, prop. 4). On a donc les relations suivantes d’après la prop. 6,

On conclut en remarquant que $\mu^*(f') = \mu^*(f'')$, car $f'$ et $f''$ sont égales localement $\mu$-presque partout.

Notons encore $i$ l’application $\mu \mapsto i(\mu)$ de $\mathscr{M}_+^b(T)$ dans $\mathscr{M}_+^b(X)$; $i$ est injective (§ 2, n° 4, prop. 8), et applique $\mathscr{M}_+^b(T)$ dans $W$ (§ 2, n° 3, prop. 7). Si $\lambda \in W$, on a $\lambda = i(\lambda_T)$ (§ 2, n° 3, prop. 7, b)). Par conséquent, $i$ est une bijection de $\mathscr{M}_+^b(T)$ sur $W$, et la bijection réciproque de $i$ est l’application $r : \lambda \mapsto \lambda_T$ sur $W$. D’autre part, $i$ est continue: en effet, si $f \in \mathscr{C}^b(X)$, on a $\langle i(\mu), f \rangle = \langle \mu, f \circ i \rangle$, et $f \circ i$ appartient à $\mathscr{C}^b(T)$. Tout revient donc à montrer que l’on a, pour toute mesure $\mu \in W$ et toute fonction $f \in \mathscr{C}_+^b(T)$,

ou encore

Soit $f^\infty$ la fonction sur $X$ qui coïncide avec $f$ dans $T$, avec $+\infty$ dans $X - T$, et soient $f'$ et $f''$ respectivement la régularisée semi-continue supérieurement de $f^0$, et la régularisée semi-continue inférieurement de $f^\infty$ (Top. gén., chap. IV, 3e éd., § 6, n° 2). Les relations $f'(x) = \limsup_{y \to x} f^0(y), f''(x) = \liminf_{y \to x} f^\infty(y)$ entraînent aussitôt que $f'$ et $f''$ coïncident toutes deux avec $f$ et $f^0$ dans $T$. La prop. 6 donne alors

Mais on peut remplacer $f'$ et $f''$ par $f^0$ dans ces deux formules, puisque les mesures $\lambda$ et $\mu$ sont portées par $T$; on a donc obtenu la relation cherchée.

L'énoncé de la prop. 8 ne vaut que pour des mesures positives: l’application $\mu \mapsto i(\mu)$ de $\mathscr{M}^b(T)$ dans $\mathscr{M}^b(X)$ est injective et continue, mais n’est en général pas un homéomorphisme de $\mathscr{M}^b(T)$ sur son image. Prenons par exemple $X = \mathbf{R}, T = \mathbf{R} - \{0\}$; les mesures $\lambda_t = \varepsilon_t - \varepsilon_{-t}$ ($t > 0$) convergent étroitement vers 0 dans $X$ lorsque $t$ tend vers 0, mais ne convergent pas étroitement vers 0 dans $T$ (la fonction caractéristique de ]0, $+\infty[$ appartient à $\mathscr{C}^b(T)$) (cf. cependant le cor. du th. 1 du n° 5).

La condition est évidemment nécessaire. Pour montrer qu’elle est suffisante, désignons par $X$ le compactifié d’Alexandroff de $T$ (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 9, n° 8) et par $i$ l’injection canonique de $T$ dans $X$. D’après la prop. 8, tout revient à montrer que $\lambda \mapsto i(\lambda)$ converge étroitement vers $i(\mu)$ dans $\mathscr{M}^b(X)$ suivant $\mathfrak{F}$. Comme $\mu(1) < +\infty$, il existe un ensemble $A \in \mathfrak{F}$ tel que les masses totales des mesures de $A$ soient bornées par un nombre $M$; il nous suffit donc de vérifier que l’on a

pour des fonctions $g \in \mathscr{C}^b(X)$ qui forment un ensemble total dans $\mathscr{C}^b(X)$. Or cette égalité est satisfaite lorsque $g$ a un support compact dans $T$, en raison de la convergence vague de $\mathfrak{F}$ vers $\mu$, et d’autre part lorsque $g$ est une fonction constante sur $X$, du fait que $\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda(1) = \mu(1)$. Les fonctions des deux types précédents formant un ensemble total dans $\mathscr{C}^b(X)$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 2, prop. 3), cela termine la démonstration.

Nous commencerons par traiter le cas où T est polonais et compact. L’ensemble U des mesures positives de masse $\leq 1$ est alors compact (chap. III, 2e éd., § 1, n° 9, cor. 2 de la prop. 15), et la topologie induite sur U par la topologie étroite (qui coïncide ici avec la topologie vague) est aussi induite par la topologie de la convergence simple dans un ensemble total de $\mathscr{C}(T)$ (loc. cit., n° 10, prop. 17). Or, il existe dans $\mathscr{C}(T)$ un ensemble total dénombrable (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, n° 3, th. 1); par suite, U est un espace compact métrisable. L’ensemble V des mesures positives de masse $< 1$ est ouvert dans U, donc est un espace localement compact polonais. Or l’application $\mu \mapsto \frac{1}{1 + \mu(1)} \mu$ de $\mathscr{M}_+^b(T)$ sur V est un homéomorphisme, l’application $\lambda \mapsto \frac{1}{1 - \lambda(1)} \lambda$ étant l’homéomorphisme réciproque.

Passons au cas où T est polonais; on peut supposer que T est l’intersection d’une suite décroissante $(G_n)$ d’ouverts dans un espace compact métrisable X (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 1, cor. 1 du th. 1); l’espace $\mathscr{M}_+^b(T)$ est alors homéomorphe au sous-espace W de $\mathscr{M}_+^b(X)$ constitué par les mesures concentrées sur T (n° 3, prop. 8), et il nous suffit de montrer que W est l’intersection d’une suite d’ouverts dans l’espace polonais $\mathscr{M}_+^b(X)$ (loc. cit., cor. 1 du th. 1). Or, soit $W_n$ l’ensemble des mesures $\mu \in \mathscr{M}_+^b(X)$ concentrées sur $G_n$; l’application $h_n : \mu \mapsto \mu^*(X - G_n)$ sur $\mathscr{M}_+^b(X)$ est semi-continue supérieurement (n° 3, prop. 6), et l’ensemble $A_k^n$ des mesures $\mu \in \mathscr{M}_+^b(X)$ telles que $h_n(\mu) < 1/k$ est donc ouvert pour tout $k \geq 1$ et tout $n \in \mathbf{N}$. On achève alors la démonstration en remarquant que $W = \bigcap_n W_n = \bigcap_{n, k} A_k^n$.

En effet, soit $\hat{T}$ le complété de T pour une métrique définissant la topologie de T; l’espace $\hat{T}$ est polonais, et $\mathscr{M}_+^b(\hat{T})$ est homéomorphe au sous-espace de l’espace polonais $\mathscr{M}_+^b(\hat{T})$, constitué par les mesures concentrées sur T (n° 3, prop. 8). Or tout sous-espace d’un espace polonais est métrisable de type dénombrable (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 2, n° 8, cor. de la prop. 11).

Considérons en effet un espace polonais P et une application continue $f$ de P sur T (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 2, déf. 2). Soit $\tilde{f}$ l’application continue $\mu \mapsto f(\mu)$ de $\mathscr{M}_+^b(P)$ dans $\mathscr{M}_+^b(T)$; l’espace $\mathscr{M}_+^b(P)$ est polonais d’après la prop. 10, et $\tilde{f}$ est surjective ($§ 2,$ n° 4, prop. 9); l’espace $\mathscr{M}_+^b(T)$ est donc sous-linien. De même, si T est lusinien, $f$ peut être supposée injective (loc. cit., n° 4, prop. 11); alors $\tilde{f}$ est injective ($§ 2,$ n° 4, prop. 8), et $\mathscr{M}_+^b(T)$ est donc lusinien (loc. cit., n° 4, prop. 11).

Soit T un espace souslinien complètement régulier (rappelons qu’il suffit pour cela que T soit souslinien et régulier (loc. cit., Appendice, cor. de la prop. 2)), et soit H une partie compacte de $\mathscr{M}_+^b(T)$; alors H est compacte et souslinienne, donc métrisable pour la topologie étroite (loc. cit., Appendice, cor. 2 de la prop. 3).

En effet, les fonctions $\mu \mapsto |\mu|^\bullet(1), \mu \mapsto |\mu|^\bullet(T - K_\varepsilon)$ sont semi-continues inférieurement dans $\mathscr{M}^b(T)$ d’après la prop. 6 du n° 3.

L’intérêt de la condition de Prokhorov vient du théorème suivant, dont on étudiera la réciproque plus loin (th. 2).

Nous pouvons supposer que T est un sous-espace d’un espace compact X; soit i l’injection canonique de T dans X. Nous pouvons supposer d’autre part que H est fermée dans $\mathscr{M}^b(T)$, d’après la prop. 11. Il nous suffit alors de montrer que tout ultrafiltre $\mathscr{U}$ sur H converge dans $\mathscr{M}^b(T)$.

Nous commencerons par le cas où $H \subset \mathscr{M}_+^b(T)$. Les masses totales des mesures μ ∈ H étant bornées par hypothèse, i(μ) converge vaguement suivant U, dans $\mathscr{M}_+(X)$, vers une mesure $v \in \mathscr{M}_+(X)$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 9, cor. 2 de la prop. 15); d’après la prop. 8 du n° 3, tout revient à prouver que v est concentrée sur T. Or, soit ε un nombre > 0, et soit $K_\varepsilon$ une partie compacte de T satisfaisant à la formule (6). Comme $X - K_\varepsilon$ est ouvert dans X, on a d’après la prop. 6 du n° 3 appliquée dans X les inégalités

comme $\varepsilon > 0$ est arbitraire, le théorème est établi dans le cas particulier considéré.

Passons au cas général; pour toute mesure $\mu$ sur T, posons $a_1(\mu) = \Re(\mu)^+$, $a_2(\mu) = \Re(\mu)^-$, $a_3(\mu) = \Im(\mu)^+$, $a_4(\mu) = \Im(\mu)^-$; comme on a $\mu = a_1(\mu) - a_2(\mu) + ia_3(\mu) - ia_4(\mu)$, il suffit de montrer que les applications $a_j$ ($j = 1, 2, 3, 4$) convergent étroitement suivant U. Mais l’ensemble $H_j$ des mesures $a_j(\mu)$, où $\mu$ parcourt H, satisfait à la condition de Prokhorov en vertu de la relation $|a_j(\mu)| \leq |\mu|$, et il est contenu dans $\mathscr{M}_+^b(T)$; il est donc relativement compact dans $\mathscr{M}_+^b(T)$ d’après le cas particulier, et le théorème en résulte aussitôt.

Il suffit de traiter le cas où H est fermée (prop. 11), donc compacte; cela résulte alors du fait que $\mu \mapsto i(\mu)$ est continue et injective.

Rappelons que ce résultat vaut aussi pour une partie quelconque de $\mathscr{M}_+^b(T)$ (n° 3, prop. 8).

On peut se borner au cas où H est fermé, donc compact. Les masses totales des mesures $\mu \in H$ sont évidemment bornées, car l’application $\mu \mapsto \mu(1)$ est continue, et tout revient à prouver l’assertion b) de la déf. 2.

Supposons d’abord que T soit localement compact. Soit ε un nombre > 0. Associons à toute mesure $\mu \in H$ un ensemble compact $K_\mu$ dans T tel que $\mu^*(T - K_\mu) < \varepsilon$, puis un voisinage ouvert relativement compact $U_\mu$ de $K_\mu$. La fonction $\lambda \mapsto \lambda^*(T - U_\mu)$ étant semi-continue supérieurement dans $\mathscr{M}_+^b(T)$ (n° 3, prop. 6), l’ensemble $V^\mu$ des mesures $\lambda \in H$ telles que $\lambda^*(T - U_\mu) < \varepsilon$ est un voisinage de $\mu$ dans H. Il existe donc une partie finie $H'$ de H telle que les ensembles $V^\mu$ ($\mu \in H'$) recouvrent H. Si l’on désigne alors par K l’ensemble compact $\bigcup_{\mu \in H'} \overline{U}_\mu$, on a $\lambda^*(T - K) < \varepsilon$ pour tout $\lambda \in H$.

Supposons ensuite que T soit polonais. Nous ne restreindrons pas la généralité en supposant que T est l’intersection d’une suite décroissante $(T_p)_{p \geq 1}$ d’ensembles ouverts d’un espace compact X (Top. gén., chap. IX, 3e éd., § 6, n° 1, cor. du th. 1). Soit $i_p$ l’injection de $T$ dans $T_p$, et soit $H_p$ l’ensemble des mesures de la forme $i_p(\lambda)$ pour $\lambda \in H$; comme $H_p$ est compact dans $\mathscr{M}_+^b(T_p)$, il existe donc un ensemble compact $K_p \subset T_p$ tel qu’on ait $\nu^*(T_p - K_p) \leq \varepsilon 2^{-p}$ pour toute mesure $\nu \in H_p$, d’après le résultat précédent appliqué à l’espace localement compact $T_p$. On a donc aussi $\nu^*(T - (T \cap K_p)) \leq \varepsilon 2^{-p}$, et finalement $\lambda^*(T - (T \cap K_p)) \leq \varepsilon 2^{-p}$ pour toute mesure $\lambda \in H$. Posons alors $K = \bigcap_p K_p$; l’ensemble $K$ est compact et contenu dans $T$, et on a, pour toute mesure $\lambda \in H$,

La condition de Prokhorov est donc vérifiée.

Montrons que la condition de l’énoncé est nécessaire. Soient $\theta$ une mesure complexe bornée sur $T$, $\varepsilon$ un nombre $> 0$, et $K$ une partie compacte de $T$ telle que $|\theta|^*(T - K) < \varepsilon$. Soit $f \in B$; nous noterons $U$ le voisinage de $f$ dans $B$ pour la topologie de la convergence compacte, formé des fonctions $g \in B$ telles que $\sup_{x \in K} |g(x) - f(x)| \leq \varepsilon$. On a, pour tout $g \in U$

car $|g - f|$ est majorée par $\varepsilon$ sur $K$ et par $2$ sur $T - K$.

Réciproquement, considérons une forme linéaire $I$ sur $\mathscr{C}^b(T, \mathbf{C})$, dont la restriction à $B$ soit continue pour la topologie de la convergence compacte. Pour tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe alors un nombre $a > 0$ et une partie compacte $K$ de $T$ tels que les relations $f \in B, \sup_{x \in K} |f(x)| \leq a$ entraînent $|I(f)| \leq \varepsilon$. La prop. 5 du n° 2 entraîne alors l’existence d’une mesure complexe bornée $\theta$, unique, telle que $I(f) = \theta(f)$ pour tout $f \in \mathscr{C}^b(T, \mathbf{C})$.

Soient $\mu \in \mathscr{M}_+^b(T), f \in H$, et $M$ un nombre réel tel que l’on ait $\|\mu\| < M$, et $|g| \leq M$ pour tout $g \in H$. Désignons par $\varepsilon$ un nombre $> 0$, et choisissons une partie compacte $K$ de $T$ telle que $\mu^*(T - K) < \varepsilon$ et un voisinage ouvert relativement compact S de K. L’ensemble U des mesures $\lambda \in \mathscr{M}_+^b(T)$ satisfaisant aux inégalités

est alors un voisinage de $\mu$ dans $\mathscr{M}_+^b(T)$ (n° 3, prop. 6). Par ailleurs, soit V le voisinage de $f$ dans H constitué par les fonctions $g \in H$ telles que Soient $\lambda \in U$ et $g \in V$; la fonction $|g - f|$ étant majorée par $\varepsilon$ dans S, par $2M$ dans $T - S$, on a et on en déduit Ceci prouve la continuité de l’application $(\lambda, g) \mapsto \lambda(g)$ au point $(\mu, f)$ de $\mathscr{M}_+^b(T) \times H$.