Bài tập 7, § 3

Cho $G$ là nhóm đơn môđula $\mathrm{SL}(n, \mathbf{R})$, $\Gamma$ là nhóm con của $G$ được tạo bởi các ma trận có định thức 1 với các phần tử nguyên. Chứng minh, bằng quy nạp theo $n$, rằng mọi độ đo bất biến $\mu$ trên không gian thuần nhất $G/\Gamma$ đều bị chặn và rằng, với $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$, ta có, khi chọn $\mu$ một cách thích hợp,

$(\dot{X} = X \Gamma)$. (Gọi $G'$ là nhóm con của $G$ giữ bất biến vectơ cơ sở $(1, 0, 0, \ldots, 0)$, sao cho $G/G'$ có thể được đồng nhất với $\mathbf{R}^n$. Gọi $G'' = G' \cap \Gamma$. Gọi $H$ là nhóm con của các ma trận $\begin{pmatrix} 1 & w \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ của $G'$ sao cho $Y \in \mathrm{SL}(n-1, \mathbf{R})$ có các phần tử nguyên. Khi đó $H/G''$ là compact và, theo giả thiết quy nạp, $G'/H$ có một độ đo bất biến hữu hạn, do đó theo Mệnh đề 12, §2, No. 8, $G'/G''$ có một độ đo bất biến hữu hạn. Áp dụng Bài tập 6 của §2, và Bài tập 20 b) của A, VII, §4, chứng minh rằng, với $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$,

trong đó tổng được lấy trên tập hợp các vectơ $m = (m_1, \ldots, m_n)$ có các tọa độ nguyên nguyên tố cùng nhau từng đôi một (A, VII, §1, No. 2, Th. 1). Áp dụng điều này cho các hàm $f(2x)$, $f(3x)$, ... và lấy tổng, chứng minh (1). Sau đó, thay thế $f$ bởi hàm $x \mapsto \varepsilon^n f(\varepsilon x)$ với $f \geq 0$, và cho $\varepsilon$ tiến tới 0, chứng minh rằng mọi tập compact của $G/\Gamma$ có độ đo $\leq 1$.