Exercice 7, § 3

Soient $G$ le groupe unimodulaire $\mathbf{SL}(n, \mathbf{R})$, $\Gamma$ le sous-groupe de $G$ formé des matrices de déterminant 1 à coefficients entiers. Montrer, par récurrence sur $n$, que toute mesure invariante $\mu$ sur l’espace homogène $G/\Gamma$ est bornée et que, pour $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$, on a, en choisissant convenablement $\mu$

($\dot{X} = X \Gamma$). (Soit $G'$ le sous-groupe de $G$ laissant invariant le vecteur de base $(1, 0, 0, \ldots, 0)$, de sorte que $G/G'$ peut être identifié à $\mathbf{R}^n$. Soit $G'' = G' \cap \Gamma$. Soit $H$ le sous-groupe des matrices $\begin{pmatrix} 1 & w \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ de $G'$ pour lesquelles $Y \in \mathbf{SL}(n-1, \mathbf{R})$ a ses éléments entiers. Alors $H/G''$ est compact, et, grâce à l’hypothèse de récurrence, $G'/H$ a une mesure invariante finie, donc, d’après la prop. 12, § 2, no 8, $G'/G''$ est de mesure invariante finie. Appliquant l’exerc. 6 du § 2, et l’exerc. 20 b) d’Alg., chap. VII, § 4, montrer que, pour $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$, où la sommation porte sur les vecteurs $m = (m_1, \ldots, m_n)$ dont les coordonnées sont des entiers étrangers dans leur ensemble. En appliquant ceci aux fonctions $f(2x), f(3x), \ldots$ et en sommant, prouver (1). Puis, remplaçant $f$ par la fonction $x \to \varepsilon^n f(\varepsilon x)$ avec $f \geq 0$, et faisant tendre $\varepsilon$ vers 0, montrer que toute partie compacte de $G/\Gamma$ a une mesure $\leq 1$.