§ 2. Familles sommables de mesures positives

1. Définition des familles sommables de mesures

Soit $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de mesures positives sur un espace localement compact X ; on dit que la famille $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ est une famille sommable de mesures si elle est sommable dans l’espace vectoriel $\mathscr{M}(X)$ des mesures réelles sur X, muni de la topologie vague (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 5, n° 1). Cela revient à dire que, pour toute fonction $f \in \mathscr{H}(X)$ , la famille des nombres $\lambda_\alpha(f)$ est sommable dans $\mathbf{R}$ . En effet, cette condition est évidemment nécessaire ; inversement, si elle est réalisée, la forme linéaire $f \mapsto \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(f)$ sur $\mathscr{H}(X)$ est positive, c’est donc une mesure positive $\nu$ (chap. III, 2e éd., § 3, th. 1), et l’on vérifie aussitôt que les sommes partielles finies de la famille $(\lambda_\alpha)$ convergent vaguement vers $\nu$ , suivant le filtre des sections de l’ensemble des parties finies de A (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 5, n° 1, déf. 1).

Tout élément de $\mathscr{H}(X)$ étant différence de deux éléments de $\mathscr{H}_+(X)$ , la famille $(\lambda_\alpha)$ est sommable si et seulement si l’on a

(1)

\sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(f) < +\infty

pour toute fonction

f \in \mathscr{H}_+(X)

. Cette condition équivaut encore à la suivante :

(2)

\sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(K) < +\infty

pour tout compact

K \subset X

En effet, (2) entraîne (1), car on a $f \leq \|f\| \cdot \varphi_S$ , où S désigne le support compact de $f$ . Inversement, si K est un compact, il existe une fonction $f \in \mathscr{K}_+(X)$ telle que $\varphi_K \leq f$ (chap. III, 2e éd., , n° 2, lemme 1), et il en résulte que (1) entraîne (2)

Remarque 1

Il est immédiat que, lorsque la famille $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ est sommable, sa somme est la borne supérieure, dans $\mathscr{M}_+(X)$ , des sommes partielles finies $\sum_{\alpha \in J} \lambda_\alpha$ , où J parcourt l’ensemble des parties finies de A.

Remarque 2

Soit $(\theta_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de mesures complexes sur X ; on dira que la famille $(\theta_\alpha)$ est sommable si la famille $(|\theta_\alpha|)$ de mesures positives est sommable ; il ne suffit pas pour cela que la famille $(\theta_\alpha)$ soit sommable dans l’espace vectoriel $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ muni de la topologie vague (cf. exerc. 3).

2. Intégration par rapport à une somme de mesures positives

Dans tout ce numéro, X désigne un espace localement compact, $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille sommable de mesures positives sur X, et $\nu$ la mesure $\sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha$ .

Proposition 1

Soit $f$ une fonction numérique positive définie dans X. On a

(3)

\nu^\bullet(f) = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^\bullet(f).

Cela résulte aussitôt de la remarque 1, de la prop. 11 du § 1, n° 3 et de la prop. 3 du § 1, n° 1.

Corollaire 1

Pour tout partie compacte (resp. ouverte et relativement compacte) M de X, on a

\nu(M) = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(M).

Corollaire 2

Pour qu’une partie N de X soit localement $\nu$ -négligeable, il faut et il suffit que, pour tout $\alpha \in A$ , N soit localement $\lambda_\alpha$ -négligeable.

Corollaire 3

On a pour toute fonction $f \in \mathscr{F}_+(X)$

(4)

\nu^*(f) \geq \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^*(f).

Cette inégalité est évidente si $f$ n’est pas $\nu$ -modérée, car alors $\nu^*(f) = +\infty$ ( $§ 1$ , n° 2, prop. 7). Si $f$ est $\nu$ -modérée, $f$ est $\lambda_\alpha$ -modérée pour tout $\alpha \in A$ , car tout ouvert $\nu$ -intégrable est $\lambda_\alpha$ -intégrable ; la relation (4) résulte alors aussitôt de (3), et de la prop. 7 du $§ 1$ , n° 2.

Il peut arriver que les deux membres de (4) ne soient pas égaux, même lorsque $A$ est dénombrable, et que chacune des mesures $\lambda_\alpha$ est ponctuelle ( $§ 1$ , exerc. 4a)).

Proposition 2

Soit $f$ une application de $X$ dans un espace topologique $G$ . Pour que $f$ soit $\nu$ -mesurable, il faut et il suffit que $f$ soit $\lambda_\alpha$ -mesurable pour tout $\alpha \in A$ .

Cela résulte immédiatement du cor. 2 de la prop. 11 du $§ 1$ .

Proposition 3

Pour qu’une application $f$ de $X$ dans un espace de Banach $F$ soit essentiellement $\nu$ -intégrable, il faut et il suffit que $f$ soit essentiellement $\lambda_\alpha$ -intégrable pour tout $\alpha \in A$ , et qu’on ait

\sum_{\alpha \in A} \int^* |f| \, d\lambda_\alpha < +\infty.

La famille $(\int f \, d\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ est alors absolument sommable dans $F$ , et l’on a :

\int f \, d\nu = \sum_{\alpha \in A} \int f \, d\lambda_\alpha.

En effet, pour que $f$ soit essentiellement $\nu$ -intégrable (resp. essentiellement $\lambda_\alpha$ -intégrable), il faut et il suffit que $f$ soit mesurable pour la mesure $\nu$ (resp. $\lambda_\alpha$ ), et qu’on ait $\nu^*(|f|) < +\infty$ (resp. $\lambda_\alpha^*(|f|) < +\infty$ ), en vertu de la prop. 9 du $§ 1$ , n° 3. La première partie de l’énoncé résulte donc aussitôt des prop. 2 et 1. Si $f$ est essentiellement $\nu$ -intégrable, l’inégalité

\sum_{\alpha \in A} \left| \int f \, d\lambda_\alpha \right| \leq \sum_{\alpha \in A} \int |f| \, d\lambda_\alpha = \nu(|f|)

entraîne que la famille $(\int f \, d\lambda_\alpha)$ est absolument sommable dans $F$ , et que la norme de sa somme est au plus égale à la norme de $f$ dans $\mathscr{L}_F^1(\nu)$ . L’ensemble des $f \in \mathscr{L}_F^1(\nu)$ qui satisfont à (6) est donc un sous-espace fermé $\mathscr{H}$ de $\mathscr{L}_F^1(\nu)$ ; or ce sous-espace est aussi dense dans $\mathscr{L}_F^1(\nu)$ , car il contient les fonctions de la forme $f . a$ , où $a \in F$ , et où $f$ désigne une fonction intégrable finie et positive (prop. 1). On a donc $\mathscr{H} = \mathscr{L}_F^1(\nu)$ , et la proposition est établie.

La prop. 3 peut aussi se déduire du théorème général d’intégration qui sera prouvé au paragraphe 3 (n° 3, th. 1).

Corollaire 1

Supposons que $f$ soit $v$ -intégrable ; $f$ est alors $\lambda_\alpha$ -intégrable pour tout $\alpha \in A$ , et on a la formule (6). Inversement, si l’ensemble $A$ est fini, et si $f$ est $\lambda_\alpha$ -intégrable pour tout $\alpha \in A$ , la fonction $f$ est $v$ -intégrable.

Si $f$ est $v$ -intégrable, $f$ est essentiellement $v$ -intégrable et $v$ -modérée (§ 1, n° 3, cor. de la prop. 9); $f$ est donc essentiellement $\lambda_\alpha$ -intégrable et $\lambda_\alpha$ -modérée, donc $\lambda_\alpha$ -intégrable, pour tout $\alpha \in A$ . Inversement, si $A$ est fini, et si $f$ est $\lambda_\alpha$ -intégrable pour tout $\alpha \in A$ , $f$ est essentiellement $v$ -intégrable d’après la prop. 3, et il suffit de vérifier que $v^*(|f|) < +\infty$ ; cela résulte aussitôt de la relation $v^* = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^*$ (chap. IV, § 1, n° 4, prop. 15).

Corollaire 2

Soit $\theta$ une mesure complexe sur $X$ ; on pose $\theta_1 = (\Re \theta)^+$ , $\theta_2 = (\Re \theta)^-$ , $\theta_3 = (\Im \theta)^+$ , $\theta_4 = (\Im \theta)^-$ . Pour qu’une application $f$ de $X$ dans un espace topologique $G$ (resp. dans un espace de Banach $F$ ) soit mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour la mesure $\theta$ , il faut et il suffit qu’elle soit mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour chacune des mesures $\theta_i$ ( $i = 1, 2, 3, 4$ ).

Si $f$ est mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour $\theta$ , $f$ est par définition mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour la mesure $|\theta|$ , donc aussi pour les mesures $\theta_i$ , qui sont majorées par $|\theta|$ . Inversement, si $f$ est mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour les mesures $\theta_i$ , la prop. 2 (resp. la prop. 3, le cor. 1 de la prop. 3) entraîne que $f$ est mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour la mesure $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4$ , qui majore $|\theta|$ .

3. Décomposition d’une mesure en somme de mesures à supports compacts

Proposition 4

Soit $\mu$ une mesure positive sur un espace localement compact $T$ , et soit $\mathscr{R}$ un ensemble $\mu$ -dense de parties compactes de $T$ . Il existe une famille sommable $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ de mesures positives sur $T$ , telle qu’on ait $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$ , que les supports des mesures $\mu_\alpha$ appartiennent à $\mathscr{R}$ , et forment une famille localement dénombrable de compacts deux à deux disjoints.

Si la mesure $\mu$ est modérée, l’ensemble d’indices $A$ peut être supposé dénombrable.

En effet, considérons une famille localement dénombrable $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ d’éléments de $A$ deux à deux disjoints, telle que l’ensemble $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$ soit localement $\mu$ -négligeable (chap. IV, 2e éd., , n° 9, prop. 14). Pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(T)$ , posons

\mu_\alpha(f) = \mu(f \varphi_{K_\alpha});

la forme linéaire $\mu_\alpha$ sur $\mathscr{K}(T)$ est positive, c’est donc une mesure positive, de support contenu dans $K_\alpha$ . Comme tout compact contenu dans un élément de $A$ appartient à $A$ , on a $\operatorname{Supp}(\mu_\alpha) \in A$ pour tout $\alpha \in A$ . Il reste seulement à montrer que la famille $(\mu_\alpha)$ est sommable, et que sa somme est égale à $\mu$ ; autrement dit, qu’on a $\sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha(f) = \mu(f)$ pour toute fonction $f \in \mathscr{K}_+(T)$ . Or, soit S le support (compact) de $f$ , et soit $A'$ l’ensemble dénombrable constitué par les $\alpha \in A$ tels que $S \cap K_\alpha \neq \varnothing$ . L’ensemble $N \cap S$ étant $\mu$ -négligeable, on a

\begin{align*} \mu(f) &= \mu(f \varphi_S) = \sum_{\alpha \in A'} \mu(f \varphi_{S \cap K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A'} \mu(f \varphi_{K_\alpha}) \\ &= \sum_{\alpha \in A} \mu(f \varphi_{K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha(f). \end{align*}

Cela achève la démonstration du cas général. Si $\mu$ est modérée, l’ensemble $T$ est $\mu$ -modéré, et $T$ est donc réunion d’une suite $(L_n)$ de compacts et d’un ensemble négligeable ( $§ 1$ , n° 2, prop. 5); soit $A'$ l’ensemble dénombrable des $\alpha \in A$ tels que $K_\alpha$ rencontre l’un des $L_n$ . On a $\mu_\alpha = 0$ pour $\alpha \notin A'$ , et la dernière phrase de l’énoncé en résulte immédiatement.

Remarque

Une mesure positive peut être somme d’une suite de mesures à support compact, et ne pas être modérée (voir l’exerc. 4a) du § 1).

Exercices

See the exercises for § 2.