Bourbaki

§ 2. Các họ khả tổng của các độ đo dương

1. Định nghĩa về họ khả tổng của các độ đo

Cho (λα)α∈A(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} là một họ các độ đo dương trên một không gian địa phương compact X; họ (λα)α∈A(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} được gọi là một họ độ đo khả tổng nếu nó khả tổng trong không gian vectơ M(X)\mathscr{M}(X) các độ đo thực trên X, được trang bị tôpô mơ hồ (GT, III, §5, No. 1). Điều này tương đương với việc nói rằng với mọi hàm f∈K(X)f \in \mathscr{K}(X), họ các số λα(f)\lambda_\alpha(f) khả tổng trong R\mathbf{R}. Thật vậy, điều kiện này hiển nhiên là cần thiết; ngược lại, nếu nó được thỏa mãn thì dạng tuyến tính f↦∑α∈Aλα(f)f \mapsto \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(f) trên K(X)\mathscr{K}(X) là dương, do đó là một độ đo dương ν\nu (Chương III, §1, No. 5, Định lý 1), và ta kiểm tra ngay lập tức rằng các tổng riêng hữu hạn của họ (λα)(\lambda_\alpha) hội tụ mơ hồ đến ν\nu, theo bộ lọc tiết diện của tập hợp các tập con hữu hạn của A (GT, III, §5, No. 1, Định nghĩa 1).

Vì mỗi phần tử của K(X)\mathscr{K}(X) là hiệu của hai phần tử của K+(X)\mathscr{K}_+(X), họ (λα)(\lambda_\alpha) khả tổng nếu và chỉ nếu

∑α∈Aλα(f)<+∞ \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(f) < +\infty

với mọi hàm f∈K+(X)f \in \mathscr{K}_+(X). Điều kiện này cũng tương đương với điều sau đây:

(2)

∑α∈Aλα(K)<+∞ \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(K) < +\infty
với mọi tập compact K⊂XK \subset X.

Thật vậy, (2) suy ra (1) vì f≤∥f∥⋅φSf \leq \|f\| \cdot \varphi_S, trong đó S ký hiệu giá đỡ compact của ff. Ngược lại, nếu K là một tập compact, tồn tại một hàm f∈K+(X)f \in \mathscr{K}_+(X) sao cho φK≤f\varphi_K \leq f (Chương III, §1, No. 2, Bổ đề 1), và suy ra rằng (1) suy ra (2).

Nhận xét 1

Ngay lập tức thấy rằng, khi họ (λα)α∈A(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} khả tổng, tổng của nó là cận trên đúng trong M+(X)\mathscr{M}_+(X) của các tổng riêng hữu hạn ∑α∈Jλα\sum_{\alpha \in J} \lambda_\alpha, trong đó J chạy qua tập hợp các tập con hữu hạn của A.

Nhận xét 2

Cho (θα)α∈A(\theta_\alpha)_{\alpha \in A} là một họ các độ đo phức trên X; họ (θα)(\theta_\alpha) được gọi là khả tổng nếu họ (∣θα∣)(|\theta_\alpha|) của các độ đo dương khả tổng; điều này chưa đủ để họ (θα)(\theta_\alpha) khả tổng trong không gian vectơ M(X;C)\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) được trang bị tôpô mơ hồ (xem Bài tập 3).

2. Tích phân đối với một tổng của các độ đo dương

Trong suốt số này, X ký hiệu một không gian địa phương compact, (λα)α∈A(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} một họ khả tổng các độ đo dương trên X, và ν\nu là độ đo ∑α∈Aλα\sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha.

Mệnh đề 1

— Cho f là một hàm số lượng dương xác định trên X. Khi đó

ν∙(f)=∑α∈Aλα∙(f). \nu^\bullet(f) = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^\bullet(f).

Điều này suy ra ngay từ Nhận xét 1, Mđ. 11 của §1, No. 3 và Mđ. 3 của §1, No. 1.

Hệ quả 1

— *Với mọi tập con compact (tương ứng mở và tương đối compact) M của X,

ν(M)=∑α∈Aλα(M). \nu(M) = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha(M).

Hệ quả 2

— *Để một tập con N của X là địa phương ν\nu-không đáng kể, cần và đủ rằng, với mọi α∈A\alpha \in A, N là địa phương λα\lambda_\alpha-không đáng kể.

Hệ quả 3

— *Với mọi hàm f∈F+(X)f \in \mathscr{F}_+(X),

ν∗(f)≥∑α∈Aλα∗(f). \nu^*(f) \geq \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^*(f).

Bất đẳng thức là hiển nhiên nếu ff không ν\nu-điều tiết, vì khi đó ν∗(f)=+∞\nu^*(f) = +\infty (§1§ 1, No. 2, Mệnh đề 7). Nếu ff là ν\nu-điều tiết thì ff là λα\lambda_\alpha-điều tiết với mọi α∈A\alpha \in A, vì mọi tập mở khả tích theo ν\nu đều khả tích theo λα\lambda_\alpha; quan hệ (4) khi đó suy ra ngay từ (3) và từ Mệnh đề 7 của §1§ 1, No. 2.

Có thể xảy ra rằng hai vế của (4) không bằng nhau, ngay cả khi A đếm được và mỗi của λα\lambda_\alpha là một độ đo điểm (§1§ 1, Bài tập 4 a)).

Mệnh đề 2

— *Cho ff là một ánh xạ từ XX vào một không gian tôpô GG. Để ff là ν\nu-đo được, cần và đủ là ff là λα\lambda_\alpha-đo được với mọi α∈A\alpha \in A.

Điều này suy ra ngay từ Hệ quả 2 của Mệnh đề 11 của §1§ 1.

Mệnh đề 3

— *Để một ánh xạ ff từ XX vào một không gian Banach FF là khả tích thiết yếu theo ν\nu, cần và đủ là ff khả tích thiết yếu theo λα\lambda_\alpha với mọi α∈A\alpha \in A và

∑α∈A∫∙∣f∣ dλα<+∞. \sum_{\alpha \in A} \int^\bullet |f| \, d\lambda_\alpha < +\infty .

Họ (∫f dλα)α∈A(\int f \, d\lambda_\alpha)_{\alpha \in A} khi đó là khả tổng tuyệt đối trong FF, và

∫f dν=∑α∈A∫f dλα. \int f \, d\nu = \sum_{\alpha \in A} \int f \, d\lambda_\alpha .

Thật vậy, để ff khả tích thiết yếu theo ν\nu (tương ứng khả tích thiết yếu theo λα\lambda_\alpha), cần và đủ là ff đo được theo độ đo ν\nu (tương ứng λα\lambda_\alpha) và ν∙(∣f∣)<+∞\nu^\bullet(|f|) < +\infty (tương ứng λα∙(∣f∣)<+∞\lambda_\alpha^\bullet(|f|) < +\infty), theo Mệnh đề 9 của §1§ 1, No. 3. Phần đầu của mệnh đề do đó suy ra ngay từ các Mệnh đề 2 và 1. Nếu ff khả tích thiết yếu theo ν\nu, bất đẳng thức

∑α∈A∣∫f dλα∣≤∑α∈A∫∣f∣ dλα=ν(∣f∣) \sum_{\alpha \in A} \left| \int f \, d\lambda_\alpha \right| \leq \sum_{\alpha \in A} \int |f| \, d\lambda_\alpha = \nu(|f|)

suy ra rằng họ (∫f dλα)(\int f \, d\lambda_\alpha) là khả tổng tuyệt đối trong FF, và chuẩn của tổng không lớn hơn chuẩn của ff trong LF1(ν)\mathscr{L}_F^1(\nu). Tập hợp các f∈LF1(ν)f \in \mathscr{L}_F^1(\nu) thỏa mãn (6) vì thế là một không gian con tuyến tính đóng H\mathscr{H} của LF1(ν)\mathscr{L}_F^1(\nu); mà không gian con này cũng trù mật trong LF1(ν)\mathscr{L}_F^1(\nu), vì nó chứa các hàm dạng f⋅af \cdot a, trong đó a∈Fa \in F và ff là một hàm dương hữu hạn khả tích (Mệnh đề 1). Do đó H=LF1(ν)\mathscr{H} = \mathscr{L}_F^1(\nu) và mệnh đề được chứng minh.

Mệnh đề 3 cũng có thể được suy ra từ định lý tổng quát về tích phân sẽ được chứng minh ở §3 (No. 3, Định lý 1).

Hệ quả 1

— Giả sử rằng ff là ν\nu-khả tích; khi đó ff là λα\lambda_\alpha-khả tích với mọi α∈A\alpha \in A, và công thức (6) đúng. Ngược lại, nếu tập hợp AA là hữu hạn và ff là λα\lambda_\alpha-khả tích với mọi α∈A\alpha \in A, thì hàm ff là ν\nu-khả tích.

Nếu ff khả tích theo ν\nu, thì ff khả tích thực chất theo ν\nu và ν\nu-điều độ (§ 1, No. 3, Cor. of Prop. 9); ff do đó khả tích thực chất theo λα\lambda_\alpha và λα\lambda_\alpha-điều độ, suy ra λα\lambda_\alpha-khả tích, với mọi α∈A\alpha \in A. Ngược lại, nếu AA là hữu hạn và nếu ff là λα\lambda_\alpha-khả tích với mọi α∈A\alpha \in A, thì ff khả tích thực chất theo ν\nu theo Prop. 3, và chỉ cần kiểm tra rằng ν∗(∣f∣)<+∞\nu^*(|f|) < +\infty; điều này suy ra ngay từ quan hệ ν∗=∑α∈Aλα∗\nu^* = \sum_{\alpha \in A} \lambda_\alpha^* (Ch. IV, §1, No. 3, Prop. 15).

Hệ quả 2

— Cho θ\theta là một độ đo phức trên XX; đặt θ1=(ℜθ)+\theta_1 = (\Re \theta)^+, θ2=(ℜθ)−\theta_2 = (\Re \theta)^-, θ3=(ℑθ)+\theta_3 = (\Im \theta)^+, θ4=(ℑθ)−\theta_4 = (\Im \theta)^-. Để một ánh xạ ff của XX vào một không gian tôpô GG (tương ứng vào một không gian Banach FF) là đo được (tương ứng khả tích thực chất, khả tích) đối với độ đo θ\theta, điều kiện cần và đủ là nó đo được (tương ứng khả tích thực chất, khả tích) đối với từng độ đo θi\theta_i (i=1,2,3,4i = 1, 2, 3, 4).

Nếu ff là đo được (tương ứng khả tích thực chất, khả tích) đối với θ\theta, thì theo định nghĩa ff đo được (tương ứng khả tích thực chất, khả tích) đối với độ đo ∣θ∣|\theta|, do đó cũng đối với các độ đo θi\theta_i, mà ≤∣θ∣\leq |\theta|. Ngược lại, nếu ff đo được (tương ứng khả tích thực chất, khả tích) đối với các độ đo θi\theta_i, thì Prop. 2 (tương ứng Prop. 3, Cor. 1 of Prop. 3) suy ra rằng ff đo được (tương ứng khả tích thực chất, khả tích) đối với độ đo θ1+θ2+θ3+θ4\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4, mà ≥∣θ∣\geq |\theta|.

3. Phân tích một độ đo thành tổng các độ đo có giá đỡ compact

Mệnh đề 4

— Cho μ\mu là một độ đo dương trên một không gian compact địa phương TT, và cho K\mathfrak{K} là một tập trù mật theo μ\mu gồm các tập con compact của TT. Tồn tại một họ khả tổng (μα)α∈A(\mu_\alpha)_{\alpha \in A} gồm các độ đo dương trên TT sao cho μ=∑α∈Aμα\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha, và sao cho các giá đỡ của các độ đo μα\mu_\alpha thuộc K\mathfrak{K} và tạo thành một họ đếm được địa phương gồm các tập compact rời nhau từng đôi một.

Nếu độ đo μ\mu là điều độ, thì tập chỉ số AA có thể lấy đếm được.

Xét một họ đếm được địa phương (Kα)α∈A(K_\alpha)_{\alpha \in A} gồm các phần tử của K\mathfrak{K} rời nhau từng đôi một sao cho tập N=T−⋃α∈AKαN = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha là không đáng kể địa phương đối với μ\mu

(Ch. IV, §5, No. 9, Mệnh đề 14). Với mọi hàm f∈K(T)f \in \mathscr{K}(T), đặt

μα(f)=μ(fφKα); \mu_\alpha(f) = \mu(f \varphi_{K_\alpha});
dạng tuyến tính μα\mu_\alpha trên K(T)\mathscr{K}(T) là dương, do đó là một độ đo dương, có giá đỡ được chứa trong KαK_\alpha. Vì mọi tập compact được chứa trong một phần tử của K\mathfrak{K} đều thuộc K\mathfrak{K}, nên Supp⁡(μα)∈K\operatorname{Supp}(\mu_\alpha) \in \mathfrak{K} với mọi α∈A\alpha \in A. Chỉ còn phải chứng minh rằng họ (μα)(\mu_\alpha) là khả tổng và tổng của nó bằng μ\mu, nói cách khác là ∑α∈Aμα(f)=μ(f)\sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha(f) = \mu(f) với mọi hàm f∈K+(T)f \in \mathscr{K}_+(T).

Bây giờ, cho SS là giá đỡ compact của ff, và cho A′A' là tập đếm được gồm các α∈A\alpha \in A sao cho S∩Kα≠∅S \cap K_\alpha \neq \varnothing. Vì tập N∩SN \cap S là μ\mu-không đáng kể,

μ(f)=μ(fφS)=∑α∈A′μ(fφS∩Kα)=∑α∈A′μ(fφKα)=∑α∈Aμ(fφKα)=∑α∈Aμα(f). \begin{align*} \mu(f) &= \mu(f \varphi_S) = \sum_{\alpha \in A'} \mu(f \varphi_{S \cap K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A'} \mu(f \varphi_{K_\alpha}) \\ &= \sum_{\alpha \in A} \mu(f \varphi_{K_\alpha}) = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha(f). \end{align*}
Điều đó hoàn tất chứng minh của trường hợp tổng quát. Nếu μ\mu là điều độ, thì tập TT là μ\mu-điều độ và do đó TT là hợp của một dãy (Ln)(L_n) các tập compact và một tập không đáng kể (§ 1, No. 2, Mệnh đề 5); cho A′A' là tập đếm được gồm các α∈A\alpha \in A sao cho KαK_\alpha cắt một trong các LnL_n. Khi đó μα=0\mu_\alpha = 0 với α∉A′\alpha \notin A', và câu cuối cùng của mệnh đề suy ra ngay lập tức.

Nhận xét

Một độ đo dương có thể là tổng của một dãy các độ đo có giá đỡ compact, mà không điều độ (xem Bài tập 4 a) của § 1).

Bài tập

Xem các bài tập cho § 2.

Machine translation of the English, by gpt-5.4-mini, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.