Exercice 4, § 1

Soient T, X, Y trois espaces localement compacts, X étant dénombrable à l'infini. Soient $\mu$ une mesure positive sur T, $(\lambda_t)_{t \in T}$ une famille $\mu$-adéquate de mesures positives sur X, et $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$. On suppose remplie l'une des deux conditions suivantes : a) Y admet une base dénombrable ; b) la mesure $\nu$ est bornée.

Dans ces conditions, si $\pi$ est une application $\nu$-propre de X dans Y, l'ensemble des $t \in T$ tels que $\pi$ ne soit pas $\lambda_t$-propre est localement $\mu$-négligeable ; en outre, la famille $(\pi(\lambda_t))_{t \in T}$ de mesures positives sur Y (définie localement presque partout dans T) est $\mu$-adéquate, et l'on a

(Dans le cas a), appliquer l'exerc. 2 à $\rho_x = \varepsilon_{\pi(x)}$. Dans le cas b), remarquer que $\lambda_t$ est bornée localement presque partout, et se réduire à montrer que l'application $t \to \pi(\lambda_t)$ est vaguement $\mu$-mesurable (cf. chap. V, § 3, no 3, prop. 3). Étant donnés un nombre $\varepsilon > 0$ et une partie compacte K de T, remarquer d'abord qu'il existe dans X une suite croissante $(F_m)$ d'ensembles compacts tels que la restriction de $\pi$ à chacun des $F_m$ soit continue et que l'on ait, en posant $N_m = X - F_m$, $\nu(N_m) \leq \varepsilon / 4^m$. Soit $A_m$ l'ensemble des $t \in K$ tels que $N_m$ ne soit pas $\lambda_t$-intégrable, ou que l'on ait $\lambda_t(N_m) > 1/2^m$; si A est la réunion des $A_m$, on a $\mu(A) \leq \varepsilon / 2$. Soit $K_1$ une partie compacte de $K - A$ telle que $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$ et que, pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(X)$, la restriction de $t \to \int g(x) d\lambda_t(x)$ à $K_1$ soit continue. En utilisant le th. d'Urysohn, montrer que, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(Y)$, la restriction à $K_1$ de $t \to \int f(\pi(x)) d\lambda_t(x)$ est limite uniforme de fonctions continues).