Bài tập 4, § 1

Cho T, X, Y là ba không gian compact địa phương, với X là đếm được tại vô cực. Cho $\mu$ là một độ đo dương trên T, $(\lambda_t)_{t \in T}$ là một họ $\mu$-thích hợp$^1$ các độ đo dương trên X, và $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$. Giả sử một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: a) Y có một cơ sở đếm được; b) độ đo $\nu$ bị chặn. Dưới các điều kiện này, nếu $\pi$ là một ánh xạ $\nu$-thực sự của X vào Y, thì tập hợp các $t \in T$ sao cho $\pi$ không là $\lambda_t$-thực sự là địa phương $\mu$-không đáng kể; hơn nữa, họ $(\pi(\lambda_t))_{t \in T}$ các độ đo dương trên Y (được xác định địa phương hầu khắp nơi trong T) là $\mu$-thích hợp, và

(Trong trường hợp a), áp dụng Bài tập 2 cho $\rho_x = \varepsilon_{\pi(x)}$. Trong trường hợp b), chú ý rằng $\lambda_t$ bị chặn địa phương hầu khắp nơi, và rút gọn về việc chứng minh rằng ánh xạ $t \mapsto \pi(\lambda_t)$ là đo được $\mu$ theo nghĩa mờ (xem Ch. V, §3, No. 2, Mệnh đề 4). Cho một số $\varepsilon > 0$ và một tập con compact K của T, trước hết nhận thấy rằng tồn tại trong X một dãy tăng $(F_m)$ các tập compact sao cho hạn chế của $\pi$ trên mỗi $F_m$ là liên tục và sao cho, khi đặt $N_m = X - F_m$, ta có $\nu(N_m) \leq \varepsilon/4^m$. Gọi $A_m$ là tập hợp các $t \in K$ sao cho $N_m$ không $\lambda_t$-khả tích hoặc sao cho $\lambda_t(N_m) > 1/2^m$; nếu A là hợp của các $A_m$, thì $\mu(A) \leq \varepsilon/2$. Cho $K_1$ là một tập con compact của $K - A$ sao cho $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$ và sao cho, với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(X)$, hạn chế trên $K_1$ của $t \mapsto \int g(x) d\lambda_t(x)$ là liên tục. Sử dụng định lý Urysohn, hãy chỉ ra rằng với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(Y)$, hạn chế trên $K_1$ của $t \mapsto \int f(\pi(x)) d\lambda_t(x)$ là giới hạn đều của các hàm liên tục.