Bài tập 7, § 8

a) Cho T, T' là hai không gian compact địa phương; giả sử rằng T' có một cơ sở đếm được. Cho $\mu$ là một độ đo dương trên T, $\mu'$ là một độ đo dương trên T'. Cho $f$ là một hàm số $\geq 0$ xác định trên $T \times T'$, bị chặn trên mọi tập con compact của $T \times T'$, và sao cho: $1^\circ$ với hầu hết mọi $t \in T$, hàm $t' \mapsto f(t, t')$ là $\mu'$-đo được; $2^\circ$ với mọi hàm $h \in \mathscr{K}(T')$, hàm

xác định hầu khắp nơi, là $\mu$-đo được. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, tồn tại một hàm $g$, đo được đối với $\mu \otimes \mu'$, sao cho với mọi $t \in T$, ta có $f(t, t') = g(t, t')$ trừ tại các điểm của một tập hợp $A_t$ không đáng kể đối với $\mu'$ (phụ thuộc vào $t$). (Chứng minh rằng với mọi hàm $\varphi \in \mathscr{K}(T \times T')$, hàm $t' \mapsto f(t, t') \varphi(t, t')$ là $\mu'$-khả tích đối với hầu hết mọi $t \in T$, và hàm $t \mapsto \int f(t, t') \varphi(t, t') d\mu'(t')$, xác định hầu khắp nơi, là $\mu$-khả tích; dùng Bổ đề 1 của Ch. III, §4, No. 1. Tiếp theo nhận xét rằng $\varphi \mapsto \int d\mu(t) \int f(t, t') \varphi(t, t') d\mu'(t')$ là một độ đo dương trên $T \times T'$, có cơ sở $\mu \otimes \mu'$, và áp dụng định lý Lebesgue–Nikodym; cuối cùng, sử dụng sự kiện rằng tồn tại một tập hợp trù mật đếm được trong $\mathscr{K}(T')$.)

b) Giả sử thêm rằng T là mêtric hóa được. Chứng minh rằng các điều kiện của a) được thỏa mãn nếu: $1^\circ$ với hầu hết mọi $t' \in T'$, hàm $t \mapsto f(t, t')$ là $\mu$-đo được; $2^\circ$ với hầu hết mọi $t \in T$, hàm $t' \mapsto f(t, t')$ là liên tục hầu khắp nơi (đối với $\mu'$). (Dùng Bài tập 13 của Ch. IV, §5.)

c) Lấy $T = T' = [0, 1]$. Thừa nhận giả thiết continuum (S, Ch. III, §6, No. 4), cho $x \prec y$ là một quan hệ thứ tự tốt trên T không có phần tử lớn nhất, và sao cho với mọi $x \in T$, tập hợp các $z \prec x$ là đếm được. Nếu lấy $\mu = \mu'$ là độ đo Lebesgue, chứng minh rằng hàm đặc trưng $f$ của tập hợp các cặp $(t, t')$ sao cho $t \prec t'$ thỏa mãn các điều kiện của a), nhưng $\int f(t, t') d\mu(t) = 0$ với mọi $t' \in T'$, và $\int f(t, t') d\mu'(t') = 1$ với mọi $t \in T$.