Exercice 7, § 8

a) Soient $T, T'$ deux espaces localement compacts; on suppose que $T'$ admet une base dénombrable. Soient $\mu$ une mesure positive sur $T$, $\mu'$ une mesure positive sur $T'$. Soit $f$ une fonction numérique $\geq 0$ définie dans $T \times T'$, bornée dans toute partie compacte de $T \times T'$, et telle que: $1^\circ$ pour presque tout $t \in T$, la fonction $t' \mapsto f(t, t')$ soit $\mu'$-mesurable; $2^\circ$ pour toute fonction $h \in \mathscr{H}(T')$, la fonction

définie presque partout, soit $\mu$-mesurable. Montrer que, dans ces conditions, il existe une fonction $g$, mesurable pour $\mu \otimes \mu'$, telle que, pour tout $t \in T$, on ait $f(t, t') = g(t, t')$ sauf aux points d’un ensemble $\mu'$-négligeable $A_t$ (dépendant de $t$). (Montrer que, pour toute fonction $\varphi \in \mathscr{H}(T \times T')$, la fonction $t' \mapsto f(t, t') \varphi(t, t')$ est $\mu'$-intégrable pour presque tout $t \in T$, et que la fonction $t \mapsto \int f(t, t') \varphi(t, t') \, d\mu'(t')$, définie presque partout, est $\mu$-intégrable; on utilisera le lemme 1 du chap. III, 2e éd., § 4, n° 1. Remarquer ensuite que $\varphi \mapsto \int d\mu(t) \int f(t, t') \varphi(t, t') \, d\mu'(t')$ est une mesure positive sur $T \times T'$, de base $\mu \otimes \mu'$, et appliquer le th. de Lebesgue-Nikodym; utiliser enfin le fait qu’il existe dans $\mathscr{H}(T')$ un ensemble dénombrable partout dense.)

b) On supposons en outre $T$ métrisable. Montrer que les conditions de a) sont satisfaites si: $1^\circ$ pour presque tout $t' \in T'$, la fonction $t \mapsto f(t, t')$ est $\mu$-mesurable; $2^\circ$ pour presque tout $t \in T$, la fonction $t' \mapsto f(t, t')$ est continue presque partout (pour $\mu'$). (Utiliser l’exerc. 13 du chap. IV, § 5.)

c) On prend $T = T' = [0, 1]$. Admettant l’hypothèse du continu (Ens., chap. III, § 6, n° 4), soit $x < y$ une relation de bon ordre sur $T$, pour laquelle il n’y a pas de plus grand élément, et telle que, pour tout $x \in T$, l’ensemble des $z < x$ soit dénombrable. Si on prend pour $\mu = \mu'$ la mesure de Lebesgue, montrer que la fonction caractéristique $f$ de l’ensemble des couples $(t, t')$ tels que $t < t'$ satisfait aux conditions de a), mais que l’on a $\int f(t, t') \, d\mu(t) = 0$ pour tout $t' \in T'$, et $\int f(t, t') \, d\mu'(t') = 1$ pour tout $t \in T$.