Bài tập 3, § 8

c) Trên không gian $X \times X = Y$, xét độ đo tích $\rho = \nu \times \nu$. Chứng minh rằng trong Y tồn tại một tập hợp A, địa phương $\rho$-không đáng kể, sao cho với mọi $x \in X$, $A(x)$ và $-1$ $A(x)$ là đo được đối với $\nu$ và không địa phương không đáng kể. (Nếu $x = (t,t')$, trong đó $t \in T, t' \in T'$, lấy A sao cho $A(x)$ chứa tất cả các điểm $(s,t) \in X$, với $0 \leq s \leq 1$.)

3) Cho T là một không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương trên T, $f$ là một hàm số $\geq 0$ xác định trên T. Trong không gian tích $T \times \mathbf{R}$, ký hiệu $D_f$ là tập hợp các điểm $(t,x)$ sao cho $0 \leq x \leq f(t)$; mặt khác, cho $\nu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$.

a) Chứng minh rằng để $f$ là $\mu$-đo được, điều kiện cần và đủ là $D_f$ là một tập hợp đo được đối với độ đo tích $\lambda = \mu \otimes \nu$. (Để thấy rằng điều kiện là cần, hãy chứng minh rằng nếu $f$ là $\mu$-đo được, thì với mọi tập con compact K của T, $D_f \cap (K \times \mathbf{R}_+)$ là hợp của một tập hợp $\lambda$-không đáng kể và một họ đếm được các tập hợp có dạng $A \times I$, trong đó A là $\mu$-đo được và I là một khoảng của $\mathbf{R}_+$. Để chứng minh rằng điều kiện là đủ, hãy chứng minh rằng nếu điều kiện đó được thỏa mãn thì, với mọi tập con compact K của T, tồn tại một tập hợp trù mật $H \subset \mathbf{R}_+$ sao cho, với mọi $\alpha \in H$, $K \cap f([\alpha,+\infty])$ là $\mu$-đo được, sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 7.)

b) Chứng minh rằng để $f$ là $\mu$-khả tích, điều kiện cần và đủ là $D_f$ là $\lambda$-khả tích, và khi đó có $\lambda(D_f) = \int f d\mu$. Hơn nữa, ký hiệu g là hàm số giảm trên $\mathbf{R}_+$ được xác định bởi $g(t) = \mu(f([t,+\infty]))$ (có thể bằng $+\infty$ với $t = 0$ (Ch. IV, §5, Bài tập 29)), ta có $\int f d\mu = \int_0^{+\infty} g(t) dt$.