Exercice 3, § 8

Soient T un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur T, f une fonction numérique $\geq 0$ définie dans T. Dans l’espace produit $T \times \mathbf{R}$, on désigne par $D_f$ l’ensemble des points $(t, x)$ tels que $0 \leq x \leq f(t)$; soit d’autre part $\nu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$.

a) Montrer que, pour que f soit $\mu$-mesurable, il faut et il suffit que $D_f$ soit un ensemble mesurable pour la mesure produit $\lambda = \mu \otimes \nu$. (Pour voir que la condition est nécessaire, prouver que, si f est $\mu$-mesurable, pour toute partie compacte K de T, $D_f \cap (K \times \mathbf{R}_+)$ est réunion d’un ensemble $\lambda$-négligeable et d’une famille dénombrable d’ensembles de la forme $A \times I$, où A est $\mu$-mesurable et I un intervalle de $\mathbf{R}_+$. Pour montrer que la condition est suffisante, prouver que, si elle est satisfaite, pour toute partie compacte K de T, il existe un ensemble partout dense $H \subset \mathbf{R}_+$ tel que, pour tout $\alpha \in H$, $K \cap f^{-1}([\alpha, +\infty])$ soit $\mu$-mesurable, en utilisant le cor. 2 de la prop. 7).

b) Montrer que, pour que f soit $\mu$-intégrable, il faut et il suffit que $D_f$ soit $\lambda$-intégrable, et on a alors $\lambda(D_f) = \int f \, d\mu$. En outre, si on désigne par g la fonction numérique décroissante dans $\mathbf{R}_+$, définie par $g(t) = \mu(f^{-1}([t, +\infty]))$ (éventuellement égale à $+\infty$ pour $t = 0$ (chap. IV, 2e éd., § 5, exerc. 29) on a $\int f \, d\mu = \int_0^{+\infty} g(t) \, dt$.