Bài tập 23, § 1

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $T$, được mang bởi một hợp đếm được của các tập compact. a) Cho $H$ là một tập hợp các hàm số đo được theo $\mu$, sao cho với mọi $t \in T$, $\sup_{f \in H} f(t) < +\infty$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số hữu hạn đo được theo $\mu$ $g$ sao cho $f(t) \leq g(t)$ hầu khắp nơi đối với mọi hàm $f \in H$. (Rút gọn về trường hợp $\mu$ bị chặn và các hàm trong $H$ nhận giá trị trong $[-1, +1]$, bằng một đồng phôi tăng của $\overline{\mathbf{R}}$ lên khoảng này. Sau đó xét supremum $\widetilde{g}$ trong $L^1(\mu)$ của tập hợp các lớp của các hàm trong $H$ (Ch. IV, §3, No. 6, Prop. 14) và nhận xét rằng tồn tại một dãy các hàm trong $H$ hội tụ hầu khắp nơi tới $g$.) b) Cho $f$ là một ánh xạ đo được theo $\mu$ từng vô hướng của $T$ vào một không gian lồi địa phương Hausdorff $F$. Đối với mọi tập con $B'$ của $F'$, bị chặn đối với $\sigma(F', F)$, hãy chứng minh rằng tồn tại một hàm số đo được và hữu hạn $g_{B'}$ sao cho, đối với mọi $z' \in B'$, $|\langle f(t), z' \rangle| \leq g_{B'}(t)$ hầu khắp nơi. c) Cho $F$ là một không gian Fréchet, $f$ là một ánh xạ đo được theo $\mu$ từng vô hướng của $T$ vào $F$. Chứng minh rằng đối với mọi tập compact $K$ của $T$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K' \subset K$ sao cho $\mu(K - K') \leq \varepsilon$ và hạn chế của $f$ lên $K'$ là bị chặn (sử dụng b)).