Exercice 9, § 4

a) Soit $\mu$ une mesure positive sur un espace localement compact $X$. Dans l’espace de Banach $\tilde{\mathscr{F}}^1$ des classes d’équivalence des fonctions de $\mathscr{F}^1$, soit $G$ un sous-espace vectoriel fermé contenant le sous-espace $L^1$; soit $\mathscr{G}$ le sous-espace vectoriel fermé de $\mathscr{F}^1$ formé des fonctions dont la classe appartient à $G$. Montrer qu’on peut prolonger à $\mathscr{G}$ la forme linéaire $\mu(f)$ de sorte que l’inégalité $|\mu(f)| \leq N_1(f)$ soit encore vérifiée (utiliser le th. de Hahn-Banach). Montrer que pour l’intégrale ainsi prolongée, le th. 3 du § 3 est encore valable.

b) On suppose que $G$ est somme directe de $L^1$ et d’un sous-espace $H$ de dimension finie. Montrer que, dans $\mathscr{G}$, le th. de Lebesgue (th. 2) est encore valable. (Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathscr{G}$, tendant presque partout vers $f$ et telles que $|f_n| \leq g$, où $g \geq 0$ et $N_1(g) < +\infty$. Soit $(\tilde{u}_k)_{1 \leq k \leq m}$ une base de $H$, et soit $f_n = \sum_{k=1}^m \alpha_{nk} u_k + h_n$, où $h_n \in \mathscr{L}^1$. En utilisant le fait que G est somme directe topologique de L^1 et de H, montrer que les $\alpha_{nk}$ sont uniformément bornés; en extrayant au besoin une suite partielle de $(f_n)$, se ramener au cas où chacune des suites $(\alpha_{nk})_{n \geq 1}$ admet une limite; en déduire alors que $h_n(x)$ tend presque partout vers une limite, et appliquer à la suite $(h_n)$ le th. de Lebesgue; remarquer enfin que deux suites extraites de $(\tilde{f}_n)$ ne peuvent tendre vers des limites distinctes dans G).