Bài tập 9, § 4

(a) Cho $\mu$ là một độ đo dương trên một không gian địa phương compact $X$. Trong không gian Banach $\widetilde{\mathscr{F}}^1$ của các lớp tương đương của các hàm trong $\mathscr{F}^1$, cho $G$ là một không gian con tuyến tính đóng chứa không gian con $L^1$; cho $\mathscr{G}$ là không gian con tuyến tính đóng của $\mathscr{F}^1$ tạo bởi các hàm có lớp thuộc $G$. Chứng minh rằng có thể mở rộng lên $\mathscr{G}$ dạng tuyến tính $\mu(f)$ sao cho bất đẳng thức $|\mu(f)| \leq N_1(f)$ vẫn được thỏa mãn (sử dụng định lý Hahn–Banach). Chứng minh rằng đối với tích phân được mở rộng như vậy, Th. 3 của §3 vẫn đúng.

(b) Giả sử rằng $G$ là tổng trực tiếp của $L^1$ và một không gian con $H$ có hữu hạn chiều. Chứng minh rằng, trong $\mathscr{G}$, định lý Lebesgue (Th. 2) vẫn đúng. (Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{G}$, hội tụ hầu khắp nơi đến $f$ và sao cho $|f_n| \leq g$, trong đó $g \geq 0$ và $N_1(g) < +\infty$. Cho $(\tilde{u}_k)_{1 \leq k \leq m}$ là một cơ sở của $H$, và cho $f_n = \sum_{k=1}^m \alpha_{nk} u_k + h_n$, trong đó $h_n \in \mathscr{L}^1$. Sử dụng sự kiện rằng $G$ là tổng trực tiếp tôpô của $L^1$ và $H$, chứng minh rằng các $\alpha_{nk}$ bị chặn đều; khi chuyển qua, nếu cần thiết, một dãy con của $(f_n)$, rút gọn về trường hợp mỗi một trong các dãy $(\alpha_{nk})_{n \geq 1}$ có một giới hạn; từ đó, suy ra rằng $h_n(x)$ khi đó hội tụ đến một giới hạn hầu khắp nơi, và áp dụng định lý Lebesgue cho dãy $(h_n)$; cuối cùng chú ý rằng hai dãy con của $(\tilde{f}_n)$ không thể hội tụ đến các giới hạn khác nhau trong $G$.)