Exercice 5, § 3

Soient E un ensemble, $\mathfrak{T}$ une tribu de parties de E, $m$ une mesure abstraite sur $(E, \mathfrak{T})$ et $p \geq 1$ un nombre réel fini. Pour toute fonction numérique $f$ sur E, on pose $N_p(f) = m^*(|f|^p)^{1/p}$ et l’on note $\mathscr{F}^p$ l’ensemble des fonctions $f$ telles que $N_p(f)$ soit fini (cf. § 1, exerc. 4). On munit l’espace vectoriel $\mathscr{F}^p$ de la semi-norme $N_p$ pour laquelle il est complet.

a) Soit $\mathscr{N}$ l’ensemble des fonctions $f$ telles que $m^*|f| = 0$, $\mathscr{V}$ l’espace vectoriel engendré par les fonctions finies appartenant à $\mathscr{M}$, et $\mathscr{L}^p$ le plus petit sous-espace vectoriel fermé de $\mathscr{F}^p$ contenant les fonctions caractéristiques des ensembles $A \in \mathfrak{T}$ tels que $m^*(A)$ soit fini. Montrer que l’on a $\mathscr{L}^p = \mathscr{N} + (\mathscr{V} \cap \mathscr{F}^p)$.

b) Etendre au cas actuel le théorème de Lebesgue (chap. IV, § 3, n° 7, th. 6) et examiner en particulier le cas $p = 1$ (on définira l’intégrale d’une fonction $f \in \mathscr{L}^1$).

c) On dit qu’une partie A de E est $m$-intégrable si l’on a $\varphi_A \in \mathscr{L}^1$. Montrer qu’il existe alors un ensemble $A' \in \mathfrak{T}$ tel que $m^*(A \cap CA') = m^*(A' \cap CA) = 0$. Réciproque dans le cas où $m(E)$ est fini.