Bài tập 5, § 3

Cho E là một tập hợp, $\mathscr{T}$ là một họ các tập con của E, m là một độ đo trừu tượng trên $(E, \mathscr{T})$, và $p \geq 1$ là một số thực hữu hạn. Với mọi hàm số f trên E, ta đặt $N_p(f) = m^*(|f|^p)^{1/p}$ và ký hiệu $\mathscr{F}^p$ là tập hợp các hàm f sao cho $N_p(f)$ là hữu hạn (xem §1, Bài tập 4). Ta trang bị cho không gian vectơ $\mathscr{F}^p$ chuẩn nửa $N_p$, đối với chuẩn này nó là đầy đủ.

a) Gọi $\mathscr{N}$ là tập hợp các hàm f sao cho $m^*(|f|) = 0$, $\mathscr{V}$ là không gian vectơ sinh bởi các hàm hữu hạn thuộc $\mathscr{M}$, và $\mathscr{L}^p$ là không gian con tuyến tính đóng nhỏ nhất của $\mathscr{F}^p$ chứa các hàm đặc trưng của các tập hợp $A \in \mathscr{T}$ sao cho $m^*(A)$ là hữu hạn. Chứng minh rằng $\mathscr{L}^p = \mathscr{N} + (\mathscr{V} \cap \mathscr{F}^p)$.

b) Mở rộng định lý Lebesgue (Ch. IV, §3, No. 7, Đl.