Exercice 15, § 6

Soient X un espace compact, $\mu$ une mesure positive sur X. Pour deux fonctions $f, g$ de $\mathscr{L}_\mathbf{C}^2$, on pose $(f|g) = (\tilde{f}|\tilde{g}) = \int f \bar{g} \, d\mu$. On dit qu’une suite de fonctions $f_n \in \mathscr{L}_\mathbf{C}^2$ est orthonormale si la suite des $\tilde{f}_n$ est orthonormale dans l’espace hilbertien $L_\mathbf{C}^2$, c’est-à-dire (Esp. vect. top., chap. V, § 2) si on a $(f_m|f_n) = \delta_{mn}$ (indice de Kronecker) pour tout couple d’indices. Pour toute fonction $g \in \mathscr{L}_\mathbf{C}^2$, les nombres complexes $c_n = (g|f_n)$ sont appelés les composantes de g par rapport à la suite orthonormale $(f_n)$; on a $\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 \leq \int |g|^2 \, d\mu$.

Pour tout couple de points $x, y$ de X et tout entier $n \geq 0$, on pose

pour toute fonction $g \in \mathscr{L}_\mathbf{C}^2$, on a On pose $H_n(x) = \int |K_n(x, y)| \, d\mu(y)$ (n-ième fonction de Lebesgue de la suite orthonormale $(f_n)$).

a) Soit $(\alpha_n)$ une suite décroissante de nombres $> 0$ telle que la série de terme général $\alpha_n$ soit convergente. Montrer que, pour presque tout $x \in X$, on a $\sum_{k=0}^n |f_k(x)|^2 = o(1/\alpha_n)$ (en utilisant la prop. 6 du § 3, montrer que la série de terme général $\alpha_n |f_n(x)|^2$ est convergente presque partout, et utiliser l’exerc. 10 de Top. gén., chap. IV, § 7). En déduire que l’on a $H_n(x) = o(1/\sqrt{\alpha_n})$ pour presque tout $x \in X$.

b) Soit $x_0$ un point de X. Afin que, pour toute fonction g à valeurs complexes, définie et continue dans X, les sommes partielles $s_n(g)$ soient bornées au point $x_0$ (par un nombre dépendant de g et de $x_0$), il faut et il suffit que l’ensemble des nombres $H_n(x_0)$ soit borné (utiliser la prop. 3 et le fait que dans le dual d’un espace de Banach, tout ensemble faiblement borné est fortement borné).

c) Afin que, pour toute fonction g à valeurs complexes, définie et continue dans X, la série de terme général $(g|f_n)f_n(x)$ soit uniformément convergente dans X et ait pour somme $g(x)$, il faut et il suffit que : 1° toute fonction continue dans X et à valeurs complexes puisse être approchée uniformément par des combinaisons linéaires des $f_k$; 2° il existe une constante $a$ telle que $|H_n(x)| \leq a$ quels que soient $n$ et $x \in X$.

(Remarquer que pour tout $n$, on a identiquement $f_n(x) = \sum_{m=0}^\infty (f_n|f_m)f_m(x)$; d’autre part, pour prouver la nécessité de la condition 2°, remarquer que, pour toute suite croissante $(n_k)$ d’entiers et toute suite $(x_k)$ de points de X, la suite des nombres $\int K_{n_k}(x_k, y)g(y) \, d\mu(y)$ est bornée (par un nombre dépendant de g) et raisonner comme dans b)).