Bài tập 15, § 6

Cho X là một không gian compact, $\mu$ là một độ đo dương trên X. Với hai hàm $f, g$ của $\mathscr{L}_C^2$, ta đặt $(f|g) = (\widetilde{f}|\widetilde{g}) = \int f \overline{g} d\mu$. Một dãy các hàm $f_n \in \mathscr{L}_C^2$ được gọi là trực chuẩn nếu dãy $\widetilde{f}_n$ là trực chuẩn trong không gian Hilbert $L_C^2$, nghĩa là (TVS, V, §2) nếu $(f_m|f_n) = \delta_{mn}$ (ký hiệu Kronecker) với mọi cặp chỉ số. Với mọi hàm $g \in \mathscr{L}_C^2$, các số phức $c_n = (g|f_n)$ được gọi là các thành phần của $g$ đối với dãy trực chuẩn $(f_n)$; ta có $\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 \leq \int |g|^2 d\mu$.

Với mọi cặp điểm $x, y$ của X và mọi số nguyên $n \geq 0$, ta đặt $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n f_k(x) \overline{f_k(y)}$ (hạt nhân thứ n của dãy trực chuẩn $(f_n)$); với mọi hàm $g \in \mathscr{L}_C^2$,

Đặt $H_n(x) = \int |K_n(x, y)|\,d\mu(y)$ (được gọi là hàm Lebesgue thứ n của dãy trực chuẩn $(f_n)$).

a) Cho $(\alpha_n)$ là một dãy giảm các số $> 0$ sao cho chuỗi có số hạng tổng quát $\alpha_n$ là hội tụ. Chứng minh rằng, với hầu hết mọi $x \in X$, $\sum_{k=0}^n |f_k(x)|^2 = o(1/\alpha_n)$ (dùng Mệnh đề 6 của §3, chứng minh rằng chuỗi có số hạng tổng quát $\alpha_n|f_n(x)|^2$ là hội tụ hầu khắp nơi, và sử dụng Bài tập 10 của GT, IV, §7). Suy ra từ đó rằng $H_n(x) = o(1/\sqrt{\alpha_n})$ với hầu hết mọi $x \in X$.

b) Cho $x_0$ là một điểm của X. Để với mọi hàm giá trị phức $g$, xác định và liên tục trên X, các tổng riêng $s_n(g)$ bị chặn tại điểm $x_0$ (bởi một số phụ thuộc vào $g$ và $x_0$), điều kiện cần và đủ là tập hợp các số $H_n(x_0)$ bị chặn (sử dụng Mệnh đề 3 và sự kiện rằng trong đối ngẫu của một không gian Banach, mọi tập hợp bị chặn yếu đều bị chặn mạnh).

c) Để với mọi hàm giá trị phức $g$, xác định và liên tục trên X, chuỗi có số hạng tổng quát $(g|f_n)f_n(x)$ hội tụ đều trong X và có tổng $g(x)$, điều kiện cần và đủ là: 1° mọi hàm giá trị phức liên tục trên X đều có thể xấp xỉ đều bởi các tổ hợp tuyến tính của các $f_k$; 2° tồn tại một hằng số $a$ sao cho $|H_n(x)| \leq a$ với mọi $n$ và $x \in X$. (Chú ý rằng với mọi $n$, $f_n(x) = \sum_{m=0}^\infty (f_n|f_m)f_m(x)$ đồng nhất; mặt khác, để chứng minh tính cần thiết của điều kiện $2^\circ$, chú ý rằng với mọi dãy tăng $(n_k)$ các số nguyên và mọi dãy $(x_k)$ các điểm của X, dãy các số $\int K_{n_k}(x_k, y)g(y)\, d\mu(y)$ bị chặn (bởi một số phụ thuộc vào $g$) và lập luận như trong b).)