Chapitre IX

Mesures sur les espaces topologiques séparés

Si T est un ensemble, et A une partie de T, on notera $\varphi_A$ la fonction caractéristique de A, si cela n’entraîne pas de confusion. L’ensemble $\overline{\mathbf{R}}_+^T$ des fonctions numériques $\geqslant 0$ (finies ou non) définies dans T sera désigné par $\mathscr{F}_+(T)$, ou simplement $\mathscr{F}_+$ s’il n’y a pas d’ambiguïté sur T; cet ensemble sera toujours muni de sa structure d’ordre naturelle. On rappelle que le produit de deux éléments de $\mathscr{F}_+$ est toujours défini, grâce à la convention $0 . (+\infty) = 0$. Si A est une partie de T, et f une fonction définie dans T, la restriction $f|A$ de f à A pourra être notée $f_A$ dans ce chapitre, si cela ne crée pas de confusion; on emploiera une notation analogue pour les mesures induites. D’autre part, si $f \in \mathscr{F}_+(A)$, on notera $f^0$ le prolongement par 0 de f à T, c’est-à-dire la fonction définie sur T qui coïncide avec f dans A, avec 0 dans T — A.

Tous les espaces topologiques envisagés dans ce chapitre sont supposés séparés, sauf mention expresse du contraire. À partir du § 1, n° 4, et sauf au § 5, toutes les mesures seront supposées positives, sauf mention expresse du contraire.