Chương IX

Các độ đo trên các không gian tôpô Hausdorff

Nếu T là một tập hợp, và A là một tập con của T, ta ký hiệu bởi $\varphi_A$ hàm đặc trưng của A, miễn là điều đó không gây ra sự lẫn lộn nào. Tập $\overline{\mathbf{R}}_+^T$ các hàm số $\geq 0$ (hữu hạn hoặc không) xác định trên T sẽ được ký hiệu bởi $\mathscr{F}_+(T)$, hoặc đơn giản là $\mathscr{F}_+$ nếu không có sự nhập nhằng về T; tập này luôn luôn được trang bị cấu trúc thứ tự tự nhiên của nó. Nhắc lại rằng tích của hai phần tử của $\mathscr{F}_+$ luôn luôn được xác định, nhờ quy ước $0 \cdot (+\infty) = 0$. Nếu A là một tập con của T, và f là một hàm xác định trên T, hạn chế $f|A$ của f lên A có thể được ký hiệu là $f_A$ trong chương này, nếu điều đó không gây ra sự lẫn lộn nào; một ký hiệu tương tự sẽ được dùng cho các độ đo cảm sinh. Mặt khác, nếu $f \in \mathscr{F}_+(A)$ thì ta sẽ ký hiệu bởi $f^0$ mở rộng bởi 0 của f lên T, nghĩa là hàm xác định trên T trùng với f trên A và bằng 0 trên $T - A$.

Mọi không gian tôpô được xét trong chương này đều được giả thiết là Hausdorff, nếu không nói rõ ngược lại. Từ §1, No. 4 trở đi, trừ §5, mọi độ đo sẽ được giả thiết là dương, nếu không nói rõ ngược lại.