Exercice 2, § 1

Soient T un ensemble et $p$ un encombrement sur T. On dit qu'une fonction $f \in \mathscr{F}_+(T)$ (resp. une partie A de T) est $p$-négligeable si l'on a $p(f) = 0$ (resp. $p(A) = 0$). a) Soient $f$ et $g$ dans $\mathscr{F}_+(T)$ et t un nombre réel positif tels que $f \leq t \cdot g$. Si $g$ est $p$-négligeable, il en est de même de $f$. La somme et l'enveloppe supérieure d'une suite de fonctions $p$-négligeables sont $p$-négligeables. b) Toute partie d'un ensemble $p$-négligeable est $p$-négligeable, ainsi que la réunion d'une suite (finie ou infinie) d'ensembles $p$-négligeables. c) Soit $f \in \mathscr{F}_+(T)$. Pour tout nombre réel fini $a > 0$, on note $T_a$ l'ensemble des $t \in T$ tels que $f(t) \geq a$. Montrer que l'on a $p(T_a) \leq a^{-1} \cdot p(f)$. En déduire que $f$ est $p$-négligeable si et seulement si l'ensemble des $t \in T$ tels que $f(t) \neq 0$ est $p$-négligeable. d) Soit $f \in \mathscr{F}_+(T)$. Si $p(f)$ est fini, l'ensemble des $t \in T$ tels que $f(t)$ soit infini est $p$-négligeable. e) Soient $f$ et $g$ dans $\mathscr{F}_+(T)$. Si l'ensemble des $t \in T$ tels que $f(t) \neq g(t)$ est $p$-négligeable, on a $p(f) = p(g)$.