Bài tập 2, § 1

Cho T là một tập hợp và p là một trọng phụ trên T. Một hàm $f \in \mathscr{F}_+(T)$ (tương ứng, một tập con A của T) được gọi là p-không đáng kể nếu $p(f) = 0$ (tương ứng, $p(A) = 0$). a) Cho f và g thuộc $\mathscr{F}_+(T)$ và cho t là một số thực dương sao cho $f \leq t \cdot g$. Nếu g là p-không đáng kể, thì f cũng vậy. Tổng và bao trên của một dãy các hàm p-không đáng kể là p-không đáng kể. b) Mọi tập con của một tập hợp p-không đáng kể đều là p-không đáng kể, cũng như hợp của một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập hợp p-không đáng kể. c) Cho $f \in \mathscr{F}_+(T)$. Với mọi số thực hữu hạn $a > 0$, ký hiệu $T_a$ là tập hợp các $t \in T$ sao cho $f(t) \geq a$. Chứng minh rằng $p(T_a) \leq a^{-1} \cdot p(f)$. Từ đó, suy ra rằng f là p-không đáng kể khi và chỉ khi tập hợp các $t \in T$ sao cho $f(t) \neq 0$ là p-không đáng kể. d) Cho $f \in \mathscr{F}_+(T)$. Nếu $p(f)$ là hữu hạn, thì tập hợp các $t \in T$ sao cho $f(t)$ là vô hạn là p-không đáng kể. e) Cho f và g thuộc $\mathscr{F}_+(T)$. Nếu tập hợp các $t \in T$ sao cho $f(t) \neq g(t)$ là p-không đáng kể, thì $p(f) = p(g)$.