Exercice 4, § 1

Soient T un ensemble, M un encombrement sur T, E un espace de Banach réel ou complexe et $p$ un nombre réel fini tel que $p \geq 1$. On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des applications de T dans E, et pour $f$ dans $\mathscr{F}$ ou dans $\mathscr{F}_+(T)$, on pose $N_p(f) = M(|f|^p)^{1/p}$. a) Pour toute suite $(f_n)_{n \geq 1}$ d'éléments de $\mathscr{F}_+(T)$, on a $N_p\left( \sum_{n \geq 1} f_n \right) \leq \sum_{n \geq 1} N_p(f_n)$. b) Soit $\mathscr{F}^p$ l'ensemble des $f \in \mathscr{F}$ tels que $N_p(f)$ soit fini. Montrer que $\mathscr{F}^p$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}$, et $N_p$ une semi-norme sur $\mathscr{F}^p$. Montrer que l'ensemble $\mathscr{N}$ des $f \in \mathscr{F}^p$ tels que $N_p(f) = 0$ est égal à l'ensemble des $f \in \mathscr{F}$ nulles en dehors d'un ensemble M-négligeable. Montrer que l'espace normé $\mathscr{F}^p / \mathscr{N}$ est complet (cf. chap. IV, § 3, no 3).