Bài tập 4, § 1

Cho T là một tập hợp, M là một độ đo trên T, E là một không gian Banach thực hoặc phức, và p là một số thực hữu hạn sao cho $p \geq 1$. Ký hiệu $\mathscr{F}$ là tập hợp các ánh xạ từ T vào E, và, với $f$ thuộc $\mathscr{F}$ hoặc thuộc $\mathscr{F}_+(T)$, đặt $N_p(f) = M(|f|^p)^{1/p}$.

a) Với mọi dãy $(f_n)_{n \geq 1}$ các phần tử của $\mathscr{F}_+(T)$, $N_p\left( \sum_{n \geq 1} f_n \right) \leq \sum_{n \geq 1} N_p(f_n)$.

b) Gọi $\mathscr{F}^p$ là tập hợp các $f \in \mathscr{F}$ sao cho $N_p(f)$ là hữu hạn. Chứng minh rằng $\mathscr{F}^p$ là một không gian con tuyến tính của $\mathscr{F}$, và $N_p$ là một bán chuẩn trên $\mathscr{F}^p$. Chứng minh rằng tập hợp $\mathscr{N}$ gồm các $f \in \mathscr{F}^p$ sao cho $N_p(f) = 0$ bằng với tập hợp các $f \in \mathscr{F}$ bằng không bên ngoài một tập hợp M-không đáng kể. Chứng minh rằng không gian định chuẩn $\mathscr{F}^p / \mathscr{N}$ là đầy đủ (xem Ch. IV, §3, No. 3).