Exercice 6, § 1

Soient T un ensemble, $\mathscr{J}_+$ une partie de $\mathscr{F}_+(T)$ et M une application de $\mathscr{J}_+$ dans $\overline{\mathbf{R}}_+$. On fait les hypothèses suivantes: a) Pour tout $f \in \mathscr{J}_+$ et tout nombre réel $t \geqslant 0$, la fonction $t.f$ appartient à $\mathscr{J}_+$ et l’on a $M(t.f) = t.M(f)$. b) Si $f$ et $g$ appartiennent à $\mathscr{J}_+$, il en est de même de $f + g$, sup $(f, g)$ et inf $(f, g)$ et l’on a $M(f + g) = M(f) + M(g)$. c) Pour toute suite croissante $(f_n)_{n \geqslant 1}$ d’éléments de $\mathscr{J}_+$, la fonction $f = \sup_n f_n$ appartient à $\mathscr{J}_+$ et l’on a $M(f) = \lim_{n \to \infty} M(f_n)$. Pour toute fonction $f \in \mathscr{F}_+(T)$, on pose $p(f) = \inf_{g \in \mathscr{J}_+^{g \geqslant f}} M(g)$. Montrer que $p$ est un encombrement sur T (cf. chap. IV, § 1, n° 3). Si $f$ et $g$ appartiennent à $\mathscr{F}_+(T)$ et si A et B sont des parties de T, on a $p(\sup(f,g)) + p(\inf(f,g)) \leqslant p(f) + p(g)$ et $p(A \cup B) + p(A \cap B) \leqslant p(A) + p(B)$.