Bài tập 6, § 1

Cho T là một tập hợp, $\mathscr{I}_+$ là một tập con của $\mathscr{F}_+(T)$, và M là một ánh xạ từ $\mathscr{I}_+$ vào $\overline{\mathbf{R}}_+$. Ta đặt ra các giả thiết sau: a) Với mọi $f \in \mathscr{I}_+$ và mọi số thực $t \geq 0$, hàm $t \cdot f$ thuộc $\mathscr{I}_+$ và $M(t \cdot f) = t \cdot M(f)$. b) Nếu $f$ và $g$ thuộc $\mathscr{I}_+$, thì $f + g$, $\sup(f, g)$ và $\inf(f, g)$ cũng thuộc $\mathscr{I}_+$, và ta có $M(f + g) = M(f) + M(g)$. c) Với mọi dãy tăng $(f_n)_{n \geq 1}$ các phần tử của $\mathscr{I}_+$, hàm $f = \sup_n f_n$ thuộc $\mathscr{I}_+$, và $M(f) = \lim_{n \to \infty} M(f_n)$. Với mọi hàm $f \in \mathscr{F}_+(T)$, ta đặt $p(f) = \inf_{g \in \mathscr{I}_+, g \geq f} M(g)$. Chứng minh rằng $p$ là một độ tải trên T (xem Ch. IV, §1, No. 3). Nếu $f$ và $g$ thuộc $\mathscr{F}_+(T)$ và nếu A và B là các tập con của T, thì $p(\sup(f, g)) + p(\inf(f, g)) \leq p(f) + p(g)$ và $p(A \cup B) + p(A \cap B) \leq p(A) + p(B)$.