Introduction

La notion de mesure des grandeurs est fondamentale, aussi bien dans la vie de tous les jours (longueur, surface, volume, poids) que dans la science expérimentale (charge électrique, masse magnétique, etc.). Le caractère commun aux « mesures » de ces diverses grandeurs réside dans l’association d’un nombre à chaque portion d’espace remplissant certaines conditions, de sorte qu’à la réunion de deux telles portions (supposées sans point commun) correspond la somme des nombres affectés à chacune d’elles (additivité de la mesure) (). Le plus souvent, en outre, la mesure est un nombre positif, et cela entraîne qu’elle est fonction croissante de la portion d’espace mesurée (*). On notera d’autre part que, dans la pratique, on ne se soucie guère de préciser quelles sont les portions d’espace que l’on considère comme « mesurables » ; bien entendu, il est indispensable de fixer ce point sans ambiguïté dans toute théorie mathématique de la mesure ; c’est ce qu’on fait par exemple quand, en géométrie élémentaire, on définit l’aire des polygones ou le volume des polyèdres ; dans tous les cas, la famille des ensembles « mesurables » doit naturellement être telle que la réunion de deux quelconques d’entre eux sans point commun soit encore « mesurable ».

Dans la plupart des exemples qui précèdent, la mesure d’une portion d’espace tend vers 0 avec son diamètre : classiquement, un point « n’a pas de longueur », ce qui signifie qu’il est contenu

(*) Il n’est pas évident a priori que les grandeurs d’espèces différentes puissent être mesurées par les mêmes nombres, et c’est sans doute en approfondissant la notion de mesure des grandeurs que les Grecs ont abouti à leur théorie des rapports de grandeurs, équivalente à celle des nombres réels > 0 (cf. Top. gén., chap. V, § 2 et Note historique du chap. IV).

(**) Cela ne s’applique pas, par exemple, à la charge électrique d’un corps ; mais la mesure de la charge électrique totale peut être considérée comme différence de la mesure des charges électriques positives et de la mesure des charges électriques négatives, qui sont toutes deux des mesures positives.

dans un intervalle de longueur arbitrairement petite, et par suite qu’on ne peut lui attribuer que la longueur 0 ; on dit que les mesures de telles grandeurs sont « diffuses ». Mais les développements de la mécanique et de la physique ont introduit la conception de grandeurs pour lesquelles un objet de dimensions négligeables a encore une mesure non négligeable : « masses ponctuelles » gravifiques ou électriques, qui sont à vrai dire en grande partie des fictions mathématiques plus que des notions strictement expérimentales. On est ainsi amené, en Mathématique, à considérer des mesures définies comme suit : à chaque point $a_i$ ($1 \leq i \leq n$) d’un ensemble fini F est attaché un nombre $m_i$, sa « masse » ou son « poids », et la mesure d’un ensemble quelconque A est la somme des masses $m_i$ des points $a_i$ qui appartiennent à A.

A la notion de mesure est étroitement liée celle de somme pondérée. Considérons par exemple, dans l’espace, un nombre fini de masses (gravifiques ou électriques) $m_i$, placées en des points $a_i$ (de coordonnées $x_i, y_i, z_i$); la composante sur Oz (par exemple) de l’attraction exercée sur un point b (de masse 1 et de coordonnées $\alpha, \beta, \gamma$) par l’ensemble de ces masses, est (pour un système d’unités convenable) la somme $\sum_i m_i \frac{(z_i - \gamma)}{r_i^3}$,

étant le carré de la distance des points $a_i$ et b. Autrement dit, on considère la valeur de la fonction

en chaque point $a_i$, on la multiplie par le « poids » de ce point, et on fait la somme des « valeurs pondérées » de $f$ ainsi obtenues. On sait que de telles sommes interviennent sans cesse en mécanique : centres de gravité et moments d’inertie en donnent les exemples les plus connus.

Si l’on veut étendre la notion de « somme pondérée » du cas des masses ponctuelles à celui d’une mesure « diffuse », où tout point a une mesure nulle, on se trouve en présence du problème, d’aspect si paradoxal, qui a donné naissance au Calcul intégral : donner un sens à une « somme » d’une infinité de termes, dont chacun, pris isolément, est nul. Reprenons l’exemple du calcul de l’attraction exercée sur un point, lorsque les masses attirantes sont « réparties continûment » dans un volume V. Si V est décomposé en un nombre fini de parties $V_i$ (sans point commun deux à deux), on admet que la composante sur Oz de l’attraction exercée par $V$ sur un point $b$ est la somme des composantes des attractions exercées sur $b$ par chacun des $V_i$. Mais si le diamètre de chaque $V_i$ est petit, la fonction continue $f(x, y, z)$ varie peu dans $V_i$, et on est amené à assimiler l’attraction exercée par $V_i$ à celle qu’exercerait une masse ponctuelle égale à la masse $m_i$ de $V_i$ et placée en un point quelconque $a_i$ du volume $V_i$. On est ainsi conduit à prendre pour valeur approchée du nombre cherché la « somme de Riemann » $\sum_i m_i f(x_i, y_i, z_i)$; pour que cela soit justifié du point de vue mathématique, il faut naturellement prouver que ces valeurs approchées tendent vers une limite lorsque le diamètre maximum des $V_i$ tend vers 0, ce qui est une conséquence facile de la continuité uniforme de la fonction $f$ dans $V$ (en supposant $V$ compact et le point $b$ non dans $V$).

On sait que la « méthode d’exhaustion » des Grecs et le « principe de Cavalieri » pour le calcul systématique des aires planes et des volumes sont basés sur un procédé analogue, après décomposition en « tranches » des aires et volumes considérés; les « sommes pondérées » auxquelles on parvient ainsi ne sont autres que les intégrales $\int_a^b f(x) dx$ (cf. Note historique des chap. I-II-III du Livre IV). Ici encore, c’est la continuité uniforme de $f$ qui entraîne l’existence de la limite des « sommes de Riemann »; plus généralement, elle entraîne l’existence d’une limite pour les sommes analogues $\sum_i f(\xi_i)(g(x_{i+1}) - g(x_i))$ ($x_i \leq \xi_i \leq x_{i+1}$), où l’on suppose seulement que $g$ est une fonction bornée croissante dans $(a, b)$. Cette limite, notée $\int_a^b f(x) dg(x)$, et appelée intégrale de Stieltjes de $f$ par rapport à $g$, peut être considérée comme la « somme pondérée » de la fonction $f$ pour la mesure $\mu$ définie dans l’ensemble des intervalles semi-ouverts $]\alpha, \beta[$ par la relation $\mu([]\alpha, \beta[)) = g(\beta+) - g(\alpha+)$; elle n’est plus liée au Calcul différentiel aussi étroitement que la notion usuelle d’intégrale (*). Il en est de même des intégrales « doubles » et « triples » classiques, associées respectivement à la mesure des aires planes et à celle des

(*) Si on prend en particulier pour $g$ une fonction en escalier croissante et continue à droite, l’intégrale de Stieltjes correspondante n’est autre que la somme pondérée de $f$ pour les masses ponctuelles $m_i = g(a_i+) - g(a_i-)$ placées aux points de discontinuité $a_i$ de $g$.

volumes. Mais toutes ces notions d’intégrale s’apparentent entre elles, non seulement par leur définition, mais par les caractères suivants : l’« intégrale » $\mu(f)$ d’une fonction numérique $f$ continue dans une certaine partie compacte $K$ de la droite, du plan ou de l’espace à 3 dimensions, est un nombre associé à l’élément $f$ de l’espace $C(K)$ des fonctions continues dans $K$; $f \mapsto \mu(f)$ est donc une application de $C(K)$ dans $\mathbf{R}$ (une « fonctionnelle », comme on dit parfois), qui est : 1° linéaire (c’est-à-dire que $\mu(\alpha f + \beta g) = \alpha \mu(f) + \beta \mu(g)$ quels que soient les scalaires $\alpha, \beta$ et les fonctions continues $f$ et $g$); 2° positive (c’est-à-dire que $\mu(f) \geqslant 0$ pour toute fonction continue $f \geqslant 0$).

Il est remarquable qu’inversement ces deux propriétés suffisent à caractériser les intégrales de Stieltjes dans un intervalle $[a, b]$ (théorème de F. Riesz). S’il en est ainsi, c’est qu’à partir des valeurs de l’intégrale des fonctions continues, on peut reconstituer la mesure qui lui a donné naissance. Cela revient (si on songe à l’interprétation de $\int_a^b f(x)\, dx$ comme une aire plane) à calculer l’intégrale d’une fonction caractéristique d’intervalle, en la supposant connue pour les fonctions continues. En d’autres termes, il s’agit de prolonger de façon convenable la fonctionnelle $\mu(f)$ à un ensemble de fonctions contenant $C(K)$ et assez vaste pour contenir aussi toutes les fonctions caractéristiques d’intervalle.

Il y a plusieurs méthodes pour réaliser ce prolongement ; une des plus intéressantes fait appel à la notion d’espace fonctionnel. On sait que, sur l’espace $\mathbf{R}^n$, les normes $\|x\|_\infty = \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ et $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$ définissent la même topologie. Par « passage du fini à l’infini », on est amené à considérer, sur l’espace $C(K)$ des fonctions continues dans un intervalle compact $K = [a, b]$ de $\mathbf{R}$, les normes $\|f\|_\infty = \sup_{x \in K} |f(x)|$ et $\|f\|_1 = \int_a^b |f(x)|\, dx$ (ou $\int_a^b |f|\, dg$ s’il s’agit d’une intégrale de Stieltjes). Mais ici, les topologies définies par ces deux normes sont distinctes, et l’espace $C(K)$, qui est complet pour la première norme (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 1, n°6, th. 2), ne l’est plus pour la seconde. De façon précise, on peut identifier les éléments du complété de $C(K)$ pour la norme $\|f\|_1$, à des classes de fonctions non nécessairement continues, et le prolongement de l’intégrale se fait alors simplement en prolongeant par continuité la fonctionnelle $\mu(f)$ définie dans $\mathscr{C}(K)$, au complété de cet espace (les détails techniques de ce procédé sont exposés au chap. IV). Bien entendu, nous avons supposé que l’intégrale des fonctions continues était définie à partir d’une mesure (par le procédé des « sommes de Riemann » rappelé plus haut); pour obtenir le théorème de F. Riesz, il faut opérer de la même manière, mais en définissant la norme par $\mu(|f|)$, si $\mu(f)$ est la fonctionnelle linéaire et positive définie dans $\mathscr{C}(K)$.

Non seulement la méthode de prolongement que nous venons d’esquisser conduit au théorème de Riesz, mais elle permet par surcroît de définir l’intégrale de classes de fonctions « beaucoup plus discontinues » que les fonctions caractéristiques d’intervalles; en considérant les fonctions caractéristiques d’ensemble qui sont des fonctions « intégrables », elle permet du même coup d’étendre aux ensembles correspondants la mesure donnée initialement pour les seuls intervalles, en posant $\mu(A) = \mu(\varphi_A)$; extension qui conserve bien entendu les propriétés fondamentales d’additivité et de positivité de la mesure.

Ce qui précède concerne l’intégrale de Stieltjes sur la droite, mais la méthode de prolongement s’étend aussitôt aux mesures définies dans le plan ou dans l’espace, ou sur des courbes ou surfaces. Plus généralement, en analysant les démonstrations, on s’aperçoit qu’elles sont valables en réalité pour toute fonctionnelle linéaire et positive, définie dans l’espace $\mathscr{H}(X)$ des fonctions continues dans un espace localement compact quelconque $X$, et dont chacune est nulle hors d’un ensemble compact (dépendant de la fonction considérée).

Cette catégorie d’espaces auxquels s’applique donc la théorie de l’intégration comprend naturellement les espaces numériques $\mathbf{R}^n$ et les variétés; elle comprend aussi les espaces discrets (où la théorie de l’intégration se confond avec celle des familles sommables de nombres réels (Top. gén., chap. IV, § 7)), ainsi que les produits (finis ou infinis) d’espaces compacts identiques à un intervalle de $\mathbf{R}$ ou à un ensemble fini; nous verrons plus tard que la théorie de la mesure dans de tels produits joue un rôle important dans le Calcul des probabilités.

L’extension de la notion de mesure aux espaces localement compacts généraux s’est montrée particulièrement féconde dans la théorie des groupes localement compacts; d’une façon générale, la notion d’intégrale semble bien être l’outil approprié chaque fois qu’on veut, en Algèbre topologique, « passer du fini à l’infini », c’est-à-dire généraliser des procédés d’algèbre pure faisant intervenir des sommes finies, à des cas où la « sommation » doit porter sur une infinité de termes. Par exemple, on sait (Alg., chap. III, 3e éd., § 2) que les éléments de l’algèbre d’un groupe fini G (sur le corps $\mathbf{R}$) sont les applications $s \mapsto \alpha(s)$ de G dans $\mathbf{R}$, avec la loi de multiplication $\alpha * \beta = \gamma$, $\gamma$ étant la fonction définie par $\gamma(s) = \sum_{t \in G} \alpha(t) \beta(t^{-1}s)$. Ce qui apparaît comme une généralisation naturelle de cette algèbre pour un groupe localement compact G quelconque, c’est l’ensemble des applications de G dans $\mathbf{R}$, intégrables pour une certaine mesure particulière $\mu$ sur G (la « mesure de Haar »), la multiplication dans l’algèbre étant donnée par

D’ailleurs, lorsqu’on est engagé dans cette voie, on se trouve rapidement gêné par l’obligation de ne « sommer » que des fonctions à valeurs réelles ; dans de nombreux cas, il est utile de savoir définir l’intégrale de fonctions définies dans X et à valeurs dans un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$, par exemple un espace de Banach ou un espace d’opérateurs dans un espace de Banach. On constate que cette extension peut se faire aisément sans apporter de modifications profondes à la théorie de l’intégration.

Dans l’esquisse qui précède, nous avons fait jouer un rôle prépondérant aux fonctions continues ; il est naturel de se demander si la notion de mesure est effectivement liée d’une façon essentielle à l’existence d’une topologie sur l’ensemble X où elle est définie. Un examen attentif de la théorie montre qu’il n’en est rien, et que les méthodes de prolongement s’appliquent aussi bien à une fonctionnelle linéaire et positive $\mu(f)$ définie sur un espace vectoriel $\mathscr{V}$ formé de fonctions numériques définies dans un ensemble quelconque X, moyennant un certain nombre de conditions supplémentaires imposées à $\mathscr{V}$ et à $\mu(f)$; ces conditions sont automatiquement vérifiées lorsque $\mathscr{V}$ est un espace $\mathscr{H}(X)$ de fonctions continues à support compact, mais elles le sont aussi dans des cas plus généraux. Toutefois, cette plus grande généralité est à certains égards illusoire : on a pu en effet montrer que toute « mesure abstraite » est, en un certain sens, « isomorphe » à une mesure définie (à partir des fonctions continues) sur un espace localement compact convenable; d’autre part, dans la plupart des applications, il s’agit d’ensembles X munis d’une topologie intervenant naturellement dans la question; nous nous occupons donc exclusivement, jusqu’au chapitre V, de mesures définies sur des espaces localement compacts.

Les deux premiers chapitres sont des préliminaires à la théorie : ils sont consacrés à la démonstration d’inégalités fondamentales pour le prolongement, et à l’étude de certains espaces vectoriels ordonnés, les espaces de Riesz, qui jouent un rôle important dans plusieurs questions ultérieures.

La notion de mesure sur un espace localement compact est définie au chapitre III ; nous y avons pris comme point de départ le théorème de Riesz, qui devient ainsi définition : l’intégrale des fonctions continues est donc définie avant la mesure des ensembles, comme fonctionnelle linéaire et positive sur $\mathscr{K}(X)$. Cette présentation offre certains avantages techniques (dus notamment au fait que les fonctions continues forment un espace vectoriel, alors qu’il n’en est pas de même des fonctions caractéristiques d’ensemble); d’ailleurs, c’est sous forme de fonctionnelle définie sur $\mathscr{K}(X)$ que s’introduit naturellement l’intégrale dans de nombreuses questions. Enfin, les différences de deux fonctionnelles linéaires et positives sur $\mathscr{K}(X)$ (que nous appelons encore des mesures sur X) peuvent être caractérisées comme des formes linéaires sur $\mathscr{K}(X)$ satisfaisant à certaines conditions de continuité; la théorie de l’intégration est ainsi reliée, d’une part à la théorie générale de la dualité dans les espaces vectoriels topologiques (cf. Livre V), de l’autre à la théorie des distributions, qui généralise certains aspects de la notion de mesure, et que nous exposerons dans un Livre ultérieur.

Le chapitre IV est consacré au prolongement de l’intégrale; on y définit à la fois les fonctions intégrables et la mesure des ensembles, ainsi que les espaces fonctionnels $L^p$, dont l’importance est considérable dans les applications; on y montre aussi comment l’introduction de la notion de fonction mesurable permet d’obtenir des critères commodes d’intégrabilité.

Dans les deux chapitres suivants, on verra comment les fonctions mesurables apparaissent aussi comme des « densités » permettant de définir sur un espace X de nouvelles mesures à partir d’une mesure donnée. Cette étude, qui conduit entre autres à des résultats importants dans la théorie de la dualité des espaces $L^p$, est liée d’autre part à la notion de mesure vectorielle, que l’on peut, dans les cas les plus favorables, faire rentrer dans la théorie de l’intégration des fonctions à valeurs vectorielles (par rapport à une mesure positive).

Nous développerons aussi ce qui peut être considéré comme l’aboutissement moderne de l’idée de « décomposition en tranches » des aires planes et des volumes, introduite par les fondateurs du Calcul intégral : sous certaines conditions, une mesure sur un espace X peut être décomposée en une « somme » de mesures dont chacune est portée par une « tranche » de l’espace X (c’est-à-dire une classe d’équivalence suivant une certaine relation R); en outre, une telle décomposition permet de calculer l’intégrale d’une fonction, par rapport à la mesure initiale, en l’intégrant d’abord « sur chaque tranche », puis en intégrant (par rapport à une mesure appropriée) la fonction obtenue dans l’espace quotient X/R (généralisation de la « double sommation » dans la somme d’une famille où les indices parcourent un ensemble produit).

Le chapitre VII est consacré à l’étude de la mesure de Haar sur un groupe localement compact, qui est caractérisée à un facteur près par la propriété d’être invariante par toute translation à gauche du groupe.

Au chapitre VIII est exposée la notion de convolution des mesures, qui joue un rôle de premier plan dans l’Analyse fonctionnelle moderne.