Exercice 4, § 1

On suppose k de caractéristique zéro. Soit $g = \mathfrak{sl}(3, k)$ et soit $a$ la sous-algèbre de g engendrée par une matrice diagonale de valeurs propres 1, -1 et 0. Montrer que $a$ est réductive dans g, que le commutant m de a dans g est formé des matrices diagonales de trace nulle, et que le commutant de m dans g est égal à m, donc distinct de a (cf. n° 5, Remarque).