Introduction aux chapitres IV, V et VI

L’étude des groupes semi-simples (analytiques ou algébriques) et de leurs algèbres de Lie conduit à la considération des structures de systèmes de racines, groupes de Coxeter et systèmes de Tits. Les chapitres IV, V et VI sont consacrés à ces structures.

Pour orienter le lecteur, nous en donnons ci-dessous quelques exemples.

I. Soient $g$ une algèbre de Lie semi-simple complexe et $\mathfrak{h}$ une sous-algèbre de Cartan de $g$ (*). Une racine de $g$ par rapport à $\mathfrak{h}$ est une forme linéaire non nulle $\alpha$ sur $\mathfrak{h}$ telle qu’il existe un élément $x$ non nul de $g$ avec $[h, x] = \alpha(h)x$ pour tout $h \in \mathfrak{h}$. Ces racines forment dans l’espace vectoriel $\mathfrak{h}^*$ dual de $\mathfrak{h}$ un système de racines réduit $R$. La donnée de $R$ détermine $g$ à un isomorphisme près et tout système de racines réduit est isomorphe à un système de racines obtenu de cette manière. Un automorphisme de $g$ laissant stable $\mathfrak{h}$ définit un automorphisme de $\mathfrak{h}^*$ laissant $R$ invariant, et l’on obtient ainsi tout automorphisme de $R$. Le groupe de Weyl de $R$ se compose des automorphismes de $\mathfrak{h}^*$ définis par les automorphismes intérieurs de $g$ laissant stable $\mathfrak{h}$; c’est un groupe de Coxeter.

Soient $G$ un groupe de Lie complexe connexe, d’algèbre de Lie $g$, et $\Gamma$ le sous-groupe de $\mathfrak{h}$ formé des éléments $h$ tels que $\exp_G(2\pi i h) = 1$. Soit $R^\vee$ le système de racines dans $\mathfrak{h}$ inverse de $R$, soit $Q(R^\vee)$ le sous-groupe de $\mathfrak{h}$ engendré par $R^\vee$ et soit $P(R^\vee)$ le sous-groupe associé au sous-groupe $Q(R)$ de $\mathfrak{h}^*$ engendré par $R$ (i.e. l’ensemble des $h \in \mathfrak{h}$ tels que $\lambda(h)$ soit entier pour tout $\lambda \in Q(R)$). On a alors $P(R^\vee) \supset \Gamma \supset Q(R^\vee)$. De plus le centre de $G$ est canoniquement isomorphe à $P(R^\vee)/\Gamma$ et le groupe fondamental de $G$ à $\Gamma/Q(R^\vee)$. En particulier, $\Gamma$ est égal à $P(R^\vee)$ si $G$ est le groupe adjoint et $\Gamma$ est égal à $Q(R^\vee)$ si $G$ est simplement connexe. Enfin les poids des représentations linéaires de dimension finie de $G$ sont les éléments du sous-groupe de $\mathfrak{h}^*$ associé à $\Gamma$.

(*) Nous utilisons librement dans cette Introduction la terminologie traditionnelle ainsi que les notions définies dans les chapitres IV, V et VI.

II. Soit G un groupe de Lie réel compact connexe semi-simple et soit g son algèbre de Lie. Soient T un tore maximal de G, d’algèbre de Lie t, et X le groupe des caractères de T. Soit R l’ensemble des éléments α non nuls de X tels qu’il existe un élément x non nul de g avec (Ad t).x = α(t)x pour tout t ∈ T. Identifions X à un réseau de l’espace vectoriel réel V = X ⊗_Z R; alors R est un système de racines réduit dans V. Soit N le normalisateur de T dans G; l’action de N sur T définit un isomorphisme du groupe N/T sur le groupe de Weyl de R. On a P(R) ⊃ X ⊃ Q(R); de plus, on a X = P(R) si G est simplement connexe et X = Q(R) si le centre de G est réduit à l’élément neutre.

L’algèbre de Lie g_{(C)} complexifiée de g est semi-simple et t_{(C)} en est une sous-algèbre de Cartan. Il existe un isomorphisme canonique de V_{(C)} sur le dual de t_{(C)} qui transforme R en le système de racines de g_{(C)} par rapport à t_{(C)}.

III. Soit G un groupe algébrique semi-simple connexe sur un corps commutatif k. Soient T un élément maximal de l’ensemble des tores de G déployés sur k et X le groupe des caractères de T (homomorphismes de T dans le groupe multiplicatif). On identifie X à un réseau de l’espace vectoriel réel V = X ⊗_Z R. Les racines de G par rapport à T sont les éléments α non nuls de X tels qu’il existe un élément x non nul de l’algèbre de Lie g de G avec (Ad t).x = α(t)x pour tout point t de T. On obtient ainsi un système de racines R dans V, qui n’est pas nécessairement réduit. Soient N le normalisateur et Z le centralisateur de T dans G et soient N(k) et Z(k) leurs groupes de points rationnels sur k. L’action de N(k) sur T définit un isomorphisme de N(k)/Z(k) sur le groupe de Weyl de R.

Soit U un élément maximal de l’ensemble des sous-groupes unipotents de G, définis sur k et normalisés par Z. Posons P = Z . U. On a P(k) = Z(k) . U(k) et P(k) ∩ N(k) = Z(k). De plus, il existe une base (α₁, ..., αₙ) de R telle que les poids de T dans U soient les racines de R positives pour cette base; le quadruplet (G(k), P(k), N(k), S), où S désigne l’ensemble des éléments de N(k)/Z(k) correspondant grâce à l’isomorphisme défini plus haut aux symétries s_{αᵢ} ∈ W(R) associées aux racines αᵢ, est un système de Tits.

IV. Dans la théorie des groupes algébriques semi-simples sur un corps local, on rencontre des systèmes de Tits dont le groupe W est le groupe de Weyl affine d’un système de racines. Soit, par exemple, G = SL(n + 1, Q_p) (avec n ≥ 1). Soit B le groupe des matrices (a_{ij}) ∈ SL(n + 1, Z_p) telles que a_{ij} ∈ pZ_p pour i < j et soit N le sous-groupe de G formé des matrices n’ayant qu’un seul élément non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne. Il existe alors une partie S de N/(B ∩ N) telle que le quadruplet (G, N, B, S) soit un système de Tits. Le groupe W = N/(B ∩ N) est le groupe de Weyl affine d’un système de racines de type A_n; c’est un groupe de Coxeter infini.

Pour la rédaction de ces trois chapitres, de nombreuses conversations avec J. Tits nous ont apporté une aide précieuse. Nous l’en remercions très amicalement.