Montrons d’abord que tout sous-groupe non discret de $\mathbf{R}$ est partout dense. Si un sous-groupe $G$ de $\mathbf{R}$ n’est pas discret, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un point $x \neq 0$ de $G$ appartenant à l’intervalle $(-\varepsilon, +\varepsilon)$; comme les multiples entiers de $x$ appartiennent à $G$, tout intervalle de longueur $> \varepsilon$ contient un tel multiple, c’est-à-dire que $G$ est partout dense dans $\mathbf{R}$.

Tout sous-groupe fermé distinct de $\mathbf{R}$ est donc discret. Reste à montrer que tout sous-groupe discret $G$ de $\mathbf{R}$, non réduit à $0$, est de la forme $a.\mathbf{Z}$, où $a > 0$. Or, la relation $-G = G$ montre que l’ensemble $H$ des éléments $> 0$ de $G$ n’est pas vide; si $b \in H$, l’intersection de l’intervalle $[0, b]$ et de $G$ est un ensemble compact et discret, donc fini; soit $a$ le plus petit des éléments de $H$ contenus dans $[0, b]$; pour tout $x \in G$, posons $m = [x/a]$ (partie entière de $x/a$); on a $x - ma \in G$ et $0 \leq x - ma < a$; d’après la définition de $a$, $x - ma = 0$, ce qui prouve que $G = a.\mathbf{Z}$.

Si $a$ et $b$ sont des nombres $> 0$, l’automorphisme $x \mapsto (b/a)x$ de $\mathbf{R}$ transforme $a\mathbf{Z}$ en $b\mathbf{Z}$; donc (III, p. 17, Remarque 3) les groupes quotients $\mathbf{R}/a\mathbf{Z}$ et $\mathbf{R}/b\mathbf{Z}$ sont isomorphes; en d’autres termes:

En effet, tout $x \in \mathbf{R}$ est congru (mod. 1) à un nombre de l’intervalle $[a, a + 1]$, savoir $x - [x - a]$; donc $\mathbf{T}$ est image de cet intervalle par l’application canonique $\varphi$ de $\mathbf{R}$ sur $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$, et par suite est compact et connexe (I, p. 62, th. 2 et I, p. 82, prop. 4). D’autre part, deux éléments distincts de l’intervalle $[a, a + 1]$ ne peuvent être congrus (mod. 1) que si ce sont les extrémités; de la compacité de $\mathbf{T}$, on conclut donc que $\mathbf{T}$ est homéomorphe à l’espace quotient de $[a, a + 1]$ obtenu en identifiant ses extrémités (I, p. 63, cor. 4 et I, p. 78, prop. 8). Enfin, comme $\mathbf{Z}$ est un sous-groupe discret de $\mathbf{R}$, $\mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ est localement isomorphe à $\mathbf{R}$ (III, p. 13, prop. 19), et en particulier localement connexe (ce qui est aussi conséquence de I, p. 85, prop. 12).

En effet, pour tout $x \in \mathbf{R}$ et tout entier $p \in \mathbf{Z}$, on a $f(px) = pf(x)$; en remplaçant $x$ par $(1/p)x$, on en tire $f\left(\frac{1}{p}x\right) = \frac{1}{p}f(x)$, si $p \neq 0$; d’où quels que soient les entiers $p$ et $q \neq 0$, $f\left(\frac{p}{q}x\right) = \frac{p}{q}f(x)$; autrement dit, pour tout nombre rationnel $r$, $f(rx) = rf(x)$. Si maintenant $t$ est un nombre réel quelconque, on a, en vertu de la continuité de $f$ dans $\mathbf{R}$,

En particulier, si $a = f(1)$, on a $f(t) = at$, d’où la proposition.

Le groupe des automorphismes du groupe topologique $\mathbf{R}$ est donc isomorphe au groupe multiplicatif $\mathbf{R}^*$ des nombres réels non nuls.

L’unicité du prolongement de $f$ (s’il existe) résulte des remarques qui précédent, puisque I engendre le groupe $\mathbf{R}$; reste à en démontrer l’existence.

Si $n$ est un entier $> 0$, et si on a $x \in I$ et $nx \in I$, on a $f(nx) = (f(x))^n$, comme on le voit par récurrence sur $n$, en observant que, dans ces conditions, on a $mx \in I$ pour tout entier $m$ tel que $1 \leq m \leq n$. Posons $J = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} nI$; $J$ est la droite $\mathbf{R}$, ou bien l’un des intervalles $\{0, +\infty[\text{ ou }]-\infty, 0\}$, suivant que 0 est ou non intérieur à $I$; si $x \in J$, on a $x/n \in I$ dès que $n$ est un entier $> 0$ assez grand. Soit $x \in J$, et soient $m, n$ deux entiers $> 0$ tels que $x/n \in I$ et $x/m \in I$; on a $x/mn \in I$, donc

par conséquent, l’élément $(f(x/n))^n$ de G est le même pour tous les entiers $n > 0$ satisfaisant à la condition $x/n \in I$. Désignons cet élément par $f_1(x)$; $f_1$ est une application de $J$ dans G, qui coïncide avec $f$ dans I et est donc continue au point 0 (par rapport à $J$). Soient $x, y$ deux éléments de $J$, $n$ un entier $> 0$ assez grand pour que l’on ait $x/n \in I, y/n \in I, (x+y)/n \in I$; on a

ce qui prouve que $f(x/n)$ et $f(y/n)$ sont permutables; par définition de $f_1$, on a donc $f_1(x+y) = f_1(x)f_1(y)$. Si $J = \mathbf{R}$, la proposition est démontrée. Sinon, supposons par exemple qu’on ait $J = (0, +\infty[$; pour tout $x < 0$, posons

La relation $f_1(x+y) = f_1(x)f_1(y)$ reste alors valable quels que soient $x \in \mathbf{R}$, $y \in \mathbf{R}$; c’est immédiat pour $x < 0$ et $y < 0$; pour $x \geq 0, y < 0, x+y \geq 0$, on a $f_1(x) = f_1(x+y)f_1(-y)$, d’où la propriété annoncée; de même pour $x \geq 0, y < 0, x+y < 0$, car on a alors $f_1(-y) = f_1(-x-y)f_1(x)$; démonstrations analogues pour $x < 0$ et $y \geq 0$. On voit donc que $f_1$ est un homomorphisme de $\mathbf{R}$ dans G; on a par suite $f_1(0) = e$ (élément neutre de G), et comme $f_1$ est une fonction continue par rapport à $J$, elle a au point 0 une limite à droite égale à $e$; comme $f_1(-x) = (f_1(x))^{-1}$, $f_1$ a aussi au point 0 une limite à gauche égale à $e$; elle est donc continue en 0, ce qui achève la démonstration.

En effet, soit $\bar{f}$ l’homomorphisme continu de $\mathbf{R}$ dans G qui coïncide avec $f$ en tous les points d’un intervalle ouvert I contenant 0 et contenu dans l’ensemble où est défini $f$; $\bar{f}(\mathbf{R})$ contient par hypothèse un voisinage de l’élément neutre de G, donc (III, p. 7, corollaire) est un sous-groupe ouvert de G; en outre, $\bar{f}$ est un morphisme strict de $\mathbf{R}$ sur $\bar{f}(\mathbf{R})$, d’après III, p. 16, prop. 24.

En effet, un isomorphisme local de $\mathbf{R}$ à G se prolonge en un morphisme strict de $\mathbf{R}$ sur un sous-groupe ouvert de G (cor. de la prop. 6), donc sur G lui-même puisque G est connexe. Il s’ensuit que G est isomorphe à un groupe quotient de $\mathbf{R}$; comme il est séparé et non réduit à l’élément neutre (puisqu’il est localement isomorphe à $\mathbf{R}$), il est isomorphe à $\mathbf{R}$ ou à $\mathbf{T}$ d’après la prop. 3 de V, p. 2.