Introduction

A côté des structures algébriques (groupes, anneaux, corps, etc.) qui ont fait l’objet du Livre d’Algèbre, interviennent, dans toutes les parties de l’Analyse, des structures d’une autre sorte: ce sont celles où l’on donne un sens mathématique aux notions intuitives de limite, de continuité et de voisinage. C’est l’étude de ces structures qui va faire l’objet du présent Livre.

Historiquement, les notions de limite et de continuité sont apparues très tôt dans la mathématique, notamment en Géométrie, et leur rôle n’a fait que grandir avec le développement de l’Analyse et ses applications aux sciences expérimentales. C’est qu’en effet ces notions sont intimement liées à celles de détermination expérimentale et d’approximation. Mais comme la plupart des déterminations expérimentales se ramènent à des mesures, c’est-à-dire à la détermination d’un ou plusieurs nombres, il était naturel qu’en mathématiques les notions de limite et de continuité ne jouent de rôle tout d’abord que dans la théorie des nombres réels avec ses ramifications ou champs d’application divers (nombres complexes, fonctions réelles ou complexes de variables réelles ou complexes, géométrie euclidienne ou géométries derivées).

A une époque récente, on a compris que la portée des notions dont il s’agit dépasse de loin les nombres réels et complexes de l’Analyse classique (voir Note historique du chap. I). Par un effort d’analyse et de dissociation, on a été amené à en dégager l’essentiel, et à forger un outil dont l’efficacité s’est révélée dans de nombreuses branches des Mathématiques.

Pour faire comprendre ce qu’il y a d’essentiel dans les notions de limite, de continuité et de voisinage, nous commencerons par analyser celle de voisinage, bien qu’historiquement elle soit plus tardive que les deux autres. Si nous partons du concept physique d’approximation, il sera naturel de dire qu’une partie A d’un ensemble E est un voisinage d’un élément $a$ de A, si lorsqu’on remplace $a$ par un élément « approché », ce nouvel élément appartient encore à A, pourvu toutefois que l’« erreur » commise soit assez petite; ou encore, si tous les points de E « suffisamment proches » de $a$ appartiennent à A. Cette définition a un sens précis chaque fois que l’on aura précisé la notion d’erreur assez petite, ou d’élément suffisamment proche d’un autre. Pour y arriver, la première idée consiste à supposer qu’on a été amené à mesurer l’« écart » de deux éléments par un nombre réel (positif). Chaque fois que, dans un ensemble, on aura défini, pour tout couple d’éléments, un « écart » ou une « distance », on pourra définir les « voisinages » d’un élément $a$: sera voisinage de $a$ tout sous-ensemble qui contient tous les éléments dont la distance à $a$ est inférieure à un nombre strictement positif convenable. Bien entendu, pour qu’à partir de cette définition puisse se développer une théorie intéressante, on devra supposer que la « distance » satisfait à certaines conditions ou axiomes (par exemple, les inégalités qui, en géométrie euclidienne, existent entre les distances mutuelles de trois sommets d’un triangle, devront encore être vérifiées pour notre distance généralisée). On obtient ainsi une vaste généralisation de la géométrie euclidienne; aussi est-il commode de se servir d’un langage géométrique, d’appeler points les éléments de l’ensemble sur lequel a été définie une « distance », cet ensemble prenant lui-même le nom d’espace. De tels espaces seront étudiés au chapitre IX.

Dans cette conception, on n’a pas encore réussi à se débarrasser des nombres réels. Pourtant les espaces ainsi définis possèdent un grand nombre de propriétés qui peuvent s’énoncer indépendamment de la « distance » qui leur a donné naissance. Par exemple: tout sous-ensemble qui contient un voisinage de $a$ est encore un voisinage de $a$; l’intersection de deux voisinages de $a$ est un voisinage de $a$. Ces propriétés et quelques autres entraînent une foule de conséquences qu’on en déduit indépendamment de tout recours à la « distance » qui a permis initialement la définition des voisinages. On obtiendra ainsi des énoncés dans lesquels il ne sera jamais question de grandeur, de distance, etc.

Ceci nous amène enfin à la conception générale d’espace topologique, conception indépendante de toute théorie préalable des nombres réels. Nous dirons qu’un ensemble E est muni d’une structure topologique chaque fois que, par un moyen ou par un autre, on aura associé à chaque élément de E une famille de parties de E, appelées voisinages de cet élément, pourvu toutefois que ces voisinages satisfassent à certaines conditions (les axiomes des structures topologiques). Le choix des axiomes à imposer aux voisinages est évidemment quelque peu arbitraire, et historiquement il a donné lieu à de longs tâtonnements (voir Note historique du chap. I). Le système d’axiomes auquel on s’est finalement arrêté couvre sensiblement les besoins actuels de l’Analyse, sans tomber dans une généralité excessive et sans objet.

Un ensemble muni d’une structure topologique prend le nom d’espace topologique, ses éléments prennent le nom de points. La branche des mathématiques qui étudie les structures topologiques porte le nom de Topologie (étymologiquement « science du lieu », nom peu expressif par lui-même) que l’on préfère aujourd’hui à celui d’Analysis Situs qui en est synonyme.

On remarquera que, pour arriver à la notion de voisinage, nous étions partis du concept vague d’élément « suffisamment proche » d’un autre. Inversement une structure topologique permet maintenant de donner un sens précis à la phrase : « telle propriété a lieu pour tous les points suffisamment voisins de $a$ »; cela signifie, par définition, que l’ensemble des points qui possèdent cette propriété est un voisinage de $a$ dans la structure topologique en question.

De la notion de voisinage découle une série d’autres notions dont l’étude est le propre de la Topologie : intérieur d’un ensemble, adhérence d’un ensemble, frontière d’un ensemble, ensemble ouvert, ensemble fermé, etc. (voir chap. I, § 1). Par exemple, une partie $A$ est un ensemble ouvert si, chaque fois qu’un point $a$ appartient à $A$, tous les points suffisamment voisins de $a$ appartiennent à $A$, autrement dit, si $A$ est voisinage de chacun de ses points. Pour toutes ces notions, les axiomes des voisinages comportent diverses conséquences : par exemple, l’intersection de deux ensembles ouverts est un ensemble ouvert (parce qu’on a supposé que l’intersection de deux voisinages de $a$ est un voisinage de $a$). Inversement, partons d’une de ces notions dérivées au lieu de partir de celle de voisinage ; par exemple, supposons connus les ensembles ouverts, et érigeons en axiomes les propriétés de la famille des ensembles ouverts (une de ces propriétés vient d’être indiquée à titre d’exemple). On constate que l’on peut alors, de la connaissance des ensembles ouverts, remonter à celle des voisinages, les axiomes des voisinages se trouvant vérifiés comme conséquences des nouveaux axiomes pris comme point de départ. On voit qu’une structure topologique peut être définie de plusieurs manières différentes, mais équivalentes au fond (cf. E, IV, p. 9). Dans ce traité nous partons de la notion d’ensemble ouvert, pour des raisons de commodité, parce que les axiomes correspondants offrent un caractère de plus grande simplicité.

Une fois définies les structures topologiques, il est facile de préciser la notion de continuité. Intuitivement une fonction est continue en un point si sa valeur varie aussi peu qu’on veut lorsque l’argument reste suffisamment voisin du point considéré. On voit que la notion de continuité aura un sens précis chaque fois que l’espace des arguments et l’espace des valeurs seront des espaces topologiques. La définition précise qui s’impose alors sera donnée dans I, p. 8.

Comme la notion de continuité, la notion de limite fait intervenir deux ensembles munis respectivement de structures convenables, et une application de l’un dans l’autre. Par exemple, lorsqu’on parle de la limite d’une suite de nombres réels $a_n$, il intervient d’une part l’ensemble $\mathbf{N}$ des entiers naturels, d’autre part l’ensemble $\mathbf{R}$ des nombres réels, enfin une application du premier ensemble dans le second. On dit alors qu’un nombre réel $a$ est limite de la suite si, quel que soit le voisinage V de $a$, ce voisinage contient tous les $a_n$, sauf pour un nombre fini de valeurs de $n$; autrement dit, si l’ensemble des $n$ pour lesquels $a_n$ appartient à V est une partie de $\mathbf{N}$ dont le complémentaire est fini. On voit que $\mathbf{R}$ est supposé muni d’une structure topologique, puisqu’il s’agit de voisinages; quant à l’ensemble $\mathbf{N}$, on y fait jouer un rôle particulier à une certaine famille de sous-ensembles, ceux dont le complémentaire est fini. C’est là un fait général. Chaque fois que l’on parle de limite, il est question d’une application $f$ d’un ensemble E dans un espace topologique F; on dit alors que $f$ a pour limite un point $a$ de F si l’ensemble des éléments $x$ de E dont l’image $f(x)$ appartient à un voisinage V de $a$ (cet ensemble n’est autre que l’« image réciproque » $f^{-1}(V)$) appartient, quel que soit V, à une certaine famille $\mathfrak{F}$ de sous-ensembles de E, donnée à l’avance. Pour que la notion de limite possède les propriétés essentielles qu’on lui attribue d’ordinaire, on impose à la famille $\mathfrak{F}$ de satisfaire à certains axiomes qui seront énoncés dans I, p. 35. Une telle famille $\mathfrak{F}$ de partie de E s’appelle un filtre sur E. La notion de filtre, qui est donc inséparable de celle de limite, intervient d’ailleurs à plus d’un titre en Topologie: par exemple, les voisinages d’un point dans un espace topologique forment un filtre.

L’étude générale de toutes les notions précédentes constitue l’objet essentiel du Chapitre I. On y étudiera aussi certaines classes particulières d’espaces topologiques: espaces satisfaisant à des axiomes plus restrictifs que les axiomes généraux, ou espaces obtenus par des procédés particuliers à partir d’autres espaces supposés donnés.

Comme on l’a déjà dit, une structure topologique sur un ensemble permet de donner un sens précis à la phrase: « dès que $x$ est suffisamment voisin de $a$, $x$ possède la propriété P$\{x\}$. Mais, sauf dans le cas où aurait été définie une « distance », on ne voit pas quel sens attribuer à la phrase: « tout couple de points $x, y$ suffisamment voisins possède la propriété P$\{x, y\}$. Cela tient à ce qu’on ne possède a priori aucun moyen de comparer entre eux les voisinages de deux points différents. Or, la notion de couple de points voisins intervient fréquemment dans l’Analyse classique (entre autres dans les énoncés où il est question de continuité uniforme). Il importe donc de lui donner un sens précis en toute généralité; pour cela, on est amené à définir des structures plus riches que les structures topologiques, les structures uniformes. Elles seront étudiées au chapitre II.

Les autres chapitres du Livre de Topologie générale seront consacrés à des questions où, en plus d’une structure topologique ou uniforme, interviennent simultanément d’autres structures. Par exemple, un groupe sur lequel on a défini une topologie convenable (c’est-à-dire compatible en un certain sens avec la structure du groupe) prend le nom de groupe topologique. Les groupes topologiques seront étudiés au chapitre III; on y verra en particulier comment tout groupe topologique peut être muni de certaines structures uniformes.

Au chapitre IV, on appliquera les principes précédents au corps des nombres rationnels (défini d’une manière purement algébrique dans A, I, p. 111), ce qui permettra de définir le corps des nombres réels; en raison de son importance, on en fera aussitôt une étude détaillée. À partir des nombres réels, on définira, dans les chapitres suivants, certains espaces topologiques particulièrement intéressants du point de vue des applications de la Topologie à la géométrie classique: espaces vectoriels à un nombre fini de dimensions, sphères, espaces projectifs, etc. On étudiera aussi certains groupes topologiques étroitement liés au groupe additif des nombres réels, que l’on caractérisera axiomatiquement; ceci conduira à la définition et aux propriétés élémentaires des fonctions les plus importantes de l’Analyse classique: exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques.

Dans le chapitre IX, on reviendra aux espaces topologiques généraux en se servant de l’instrument nouveau qu’est le nombre réel; on étudiera en particulier les espaces dont la topologie est définie au moyen d’une « distance », espaces qui possèdent des propriétés dont certaines n’ont pu encore être étendues aux espaces plus généraux. Au chapitre X, on se propose d’étudier les ensembles d’applications d’un espace topologique dans un espace uniforme (espaces fonctionnels); ces ensembles, munis à leur tour de structures topologiques convenables, possèdent des propriétés intéressantes qui jouent, jusque dans l’Analyse classique, un rôle important. Enfin, le dernier chapitre est consacré à l’étude des notions de revêtement et d’espace simplement connexe.