Exemple 3

Soit $B$ une A-algèbre, et soit $m : B \otimes_A B \to B$ l’application $A$-linéaire définissant la multiplication dans $B$ (III, p. 5). La transposée $^t m$ est donc une application $A$-linéaire du dual $B^*$ du $A$-module $B$ dans le dual $(B \otimes_A B)^*$ du $A$-module $B \otimes_A B$. Si de plus $B$ est un $A$-module projectif de type fini, l’application canonique $\mu : B^* \otimes_A B^* \to (B \otimes_A B)^*$ est un isomorphisme de $A$-modules (II, p. 80); l’application $c = \mu^{-1} \circ ^t m$ est alors un coproduit définissant sur le dual $B^*$ du $A$-module $B$ une structure de cogèbre.